Введение
Характеризует гомеоморфизмы компактной ориентируемой поверхности. В математике классификационная теорема Турстона характеризует гомеоморфизмы компактной ориентируемой поверхности. Теорема Уильяма Турстона завершает работу, начатую ранее. Для заданного гомеоморфизма f : S → S существует отображение g, изотопное f, такое что выполняется хотя бы одно из следующих условий: g является периодическим, то есть некоторая степень g является тождественным отображением; g сохраняет некоторое конечное объединение непересекающихся простых замкнутых кривых на S (в этом случае g называется редуцируемым); или g является псевдо-Аносовым. Случай, когда S является тором (то есть поверхностью рода один), рассматривается отдельно (см. расслоение над тором) и был известен до работы Турстона. Если род S равен двум или больше, то S естественно гиперболичен, и инструменты теории Тейхмюллера оказываются полезными. В дальнейшем мы предполагаем, что род S не меньше двух, поскольку именно этот случай рассматривал Турстон. (Однако следует отметить, что случаи, когда S имеет границу или не ориентируема, также представляют интерес.) Три типа в этой классификации не являются взаимоисключающими, хотя псевдо-Аносов гомеоморфизм никогда не является периодическим или редуцируемым. Редуцируемый гомеоморфизм g можно дополнительно проанализировать, разрезав поверхность вдоль сохраненного объединения простых замкнутых кривых Γ. На каждой из полученных компактных поверхностей с границей действует некоторая степень (то есть итеративная композиция) g, и классификация может быть применена к этому гомеоморфизму снова.
In mathematics, Thurston's classification theorem characterizes homeomorphisms of a compact orientable surface. William Thurston's theorem completes the work initiated by
Given a homeomorphism f : S → S, there is a map g isotopic to f such that at least one of the following holds:
g is periodic, i. e. some power of g is the identity;
g preserves some finite union of disjoint simple closed curves on S (in this case, g is called reducible); or
g is pseudo Anosov. The case where S is a torus (i. e., a surface whose genus is one) is handled separately (see torus bundle) and was known before Thurston's work. If the genus of S is two or greater, then S is naturally hyperbolic, and the tools of Teichmüller theory become useful. In what follows, we assume S has genus at least two, as this is the case Thurston considered. (Note, however, that the cases where S has boundary or is not orientable are definitely still of interest.) The three types in this classification are not mutually exclusive, though a pseudo Anosov homeomorphism is never periodic or reducible. A reducible homeomorphism g can be further analyzed by cutting the surface along the preserved union of simple closed curves Γ. Each of the resulting compact surfaces with boundary is acted upon by some power (i. e. iterated composition) of g, and the classification can again be applied to this homeomorphism.
Группа классов отображения для поверхностей высшего рода
Классификация Тёрстона применима к гомеоморфизмам ориентируемых поверхностей рода ≥ 2, но тип гомеоморфизма зависит только от соответствующего ему элемента группы классов отображений Mod(S). Фактически, доказательство теоремы о классификации приводит к каноническому представителю каждого класса отображений с хорошими геометрическими свойствами. Например:
Если g периодичен, то существует элемент его класса отображений, являющийся изометрией гиперболической структуры на S.
Если g псевдо-Аносов, то существует элемент его класса отображений, сохраняющий пару поперечных сингулярных слоений S, растягивающий листья одного (неустойчивого слоения) и сжимающий листья другого (устойчивого слоения).
When g is periodic, there is an element of its mapping class that is an isometry of a hyperbolic structure on S.
When g is pseudo Anosov, there is an element of its mapping class that preserves a pair of transverse singular foliations of S, stretching the leaves of one (the unstable foliation) while contracting the leaves of the other (the stable foliation).