Кіріспе
Математикалық функция, қателік функциясының керісі
Ықтималдықтар теориясы мен статистикада пробит функциясы – стандартты қалыпты үлестірімге қатысты квантиль функциясы. Ол деректерді талдау және машиналық оқыту салаларында, әсіресе зерттеу статистикалық графикасында және бинарлық жауап айнымалыларының арнайы регрессиялық модельдеуінде қолданылады. Математикалық тұрғыдан алғанда, пробит – стандартты қалыпты үлестірімнің жинақталған үлестіру функциясының кері функциясы, ол арқылы белгіленеді, сондықтан пробит былай анықталады:
Негізінен орталық шектеу теоремасының арқасында стандартты қалыпты үлестірім ықтималдықтар теориясы мен статистикада маңызды рөл атқарады. Егер стандартты қалыпты үлестірімнің 95% ықтималдығы -1,96 мен 1,96 аралығында орналасқанын және нөлге қатысты симметриялы екенін ескерсек, онда
Пробит функциясы «кері» есептеуді жүзеге асырады, берілген жинақталған ықтималдыққа сәйкес стандартты қалыпты кездейсоқ айнымалының мәнін шығарады. Мысалды жалғастыратын болсақ,
Жалпы,
және
Тұжырымдамалық даму
Пробит функциясының идеясын 1934 жылы Честер Иттнер Блис пестицидтерден өлген зиянкестердің пайыздық көрсеткіштері сияқты деректерді өңдеу туралы мақаласында жариялады. Блис өлтірілген пайызды «ықтималдық бірлігіне» (немесе «пробитке») түрлендіруді ұсынды, ол қазіргі анықтамамен сызықтық байланыста болды (ол оны 0,0001 үшін 0 және 0,9999 үшін 1 деп шартты түрде анықтады):
Ол басқа зерттеушілерге өлтіру пайыздарын оның пробитіне түрлендіруге көмектесетін кесте енгізді, одан кейін олар дозаның логарифміне қарсы сызба салып, осылайша көбінесе тура сызық ала алады деп үміттенді. Мұндай «пробит» моделі токсикологияда және басқа да салаларда маңызды болып табылады. Егер жауаптың өзгеруін сынақтан өткен субъектілер арасындағы төзімділіктің логнормальді таралуы ретінде түсіндіруге болады, онда белгілі бір субъектінің төзімділігі – қызығушылық тудыратын жауапқа жеткілікті доза болып табылады. Блис ұсынған әдіс Д. Дж. Финнидің токсикологиялық қолданысқа арналған маңызды еңбегі «Пробит-талдау» кітабында жалғастырылды. Финни ұсынған мәндерді осы жерде анықталған пробиттерден 5 мәнін қосу арқылы алуға болады. Бұл айырмашылықты Коллетт (55-бет) былай түйіндейді: «Пробиттің бастапқы анықтамасы [5 қосылған] негізінен теріс пробиттермен жұмыс істеуден аулақ болу үшін жасалған; Бұл анықтама әлі де кейбір жерлерде қолданылады, бірақ «пробит-талдау» деп аталатын негізгі статистикалық бағдарламалық пакеттерде пробиттер 5 қосылмай анықталады». Пробит әдістемесі, соның ішінде пробит функцияларын сәйкестендіру үшін сандық оптимизация, электрондық есептеулер кеңінен қолданысқа түсер алдында енгізілгенін атап өту керек. Кестелерді пайдаланғанда, пробиттердің біркелкі оң болуы ыңғайлы болды. Көпте қолданылатын салалар оң пробиттерді қажет етпейді.
Таралудың қалыптыдан ауытқу диагнозы
Регрессияның маңызды түрлеріне негіз болудан басқа, пробит функциясы Q–Q графигі әдісімен қалыпты үлестірімнен ауытқуды анықтау үшін статистикалық талдауда қолданылады. Егер деректер жиынтығы шын мәнінде қалыпты үлестірімнен алынған үлгі болса, оның мәндері мен пробит балдарының арасындағы графиктің сызығы шамамен түзу болады. Асимметрия, қалың құйрықтар немесе бимодальдық сияқты қалыпты үлестірімнен нақты ауытқулар, сызықтықтан ауытқуларды анықтау арқылы диагностикаланады. Q–Q графигін кез келген үлестірім отбасымен (қалыпты үлестірім ғана емес) салыстыруға болады, бірақ қалыпты Q–Q графигі – талдаудың бастапқы кезеңінде қалыптылық туралы болжамды тексеру үшін қолданылатын жиі кездесетін зерттеулік деректерді талдау әдісі болып табылады.
Есептеу
Нормалды үлестірудің CDF және оның керісі жабық түрде қол жетімді емес, ал есептеу үшін сандық процедураларды сақтықпен қолдану қажет. Дегенмен, бұл функциялар статистика және ықтималдық модельдеуге арналған бағдарламалық қамтамасызда және электрондық кестелерде кеңінен қолданылады. Мысалы, Microsoft Excel-де probit функциясы norm.s.inv(p) түрінде қол жетімді. Егер есептеу ортасында кері қателік функциясының сандық реализациясы болса, probit функциясын алуға болады.
An example is MATLAB, where an 'erfinv' function is available. The language Mathematica implements 'InverseErf'. Other environments directly implement the probit function as is shown in the following session in the R programming language. > qnorm(0.025)
[1] 1.959964
> pnorm( 1.96)
[1] 0.02499790
Details for computing the inverse error function can be found at Wichura gives a fast algorithm for computing the probit function to 16 decimal places; this is used in R to generate random variates for the normal distribution.
Мысалы, MATLAB-та 'erfinv' функциясы бар. Mathematica тілі 'InverseErf' функциясын іске асырады. Басқа орталар тікелей probit функциясын іске асырады, мысалы R бағдарламалау тіліндегі келесі сессияда көрсетілгендей:
An example is MATLAB, where an 'erfinv' function is available. The language Mathematica implements 'InverseErf'. Other environments directly implement the probit function as is shown in the following session in the R programming language. > qnorm(0.025)
[1] 1.959964
> pnorm( 1.96)
[1] 0.02499790
Details for computing the inverse error function can be found at Wichura gives a fast algorithm for computing the probit function to 16 decimal places; this is used in R to generate random variates for the normal distribution.
> qnorm(0.025)
[1] 1.959964
> pnorm(1.96)
[1] 0.02499790
An example is MATLAB, where an 'erfinv' function is available. The language Mathematica implements 'InverseErf'. Other environments directly implement the probit function as is shown in the following session in the R programming language. > qnorm(0.025)
[1] 1.959964
> pnorm( 1.96)
[1] 0.02499790
Details for computing the inverse error function can be found at Wichura gives a fast algorithm for computing the probit function to 16 decimal places; this is used in R to generate random variates for the normal distribution.
Кері қателік функциясын есептеу туралы толық ақпаратты Wichura еңбегінен табуға болады. Wichura 16 ондық таңбаға дейін дәлдікпен probit функциясын есептеуге арналған жылдам алгоритм ұсынады; бұл R-де нормалды үлестіру үшін кездейсоқ мәндерді жасау үшін қолданылады.
An example is MATLAB, where an 'erfinv' function is available. The language Mathematica implements 'InverseErf'. Other environments directly implement the probit function as is shown in the following session in the R programming language. > qnorm(0.025)
[1] 1.959964
> pnorm( 1.96)
[1] 0.02499790
Details for computing the inverse error function can be found at Wichura gives a fast algorithm for computing the probit function to 16 decimal places; this is used in R to generate random variates for the normal distribution.