Кіріспе
Алгебралық түрлердің кодименсиялық 1 субтүрлерінің жалпылануы Алгебралық геометрияда бөлгіштер — алгебралық түрлердің кодименсиялық 1 субтүрлерінің жалпылануы болып табылады. Екі түрлі жалпылау жиі қолданылады: Картье бөлгіштері және Вейль бөлгіштері (Пьер Картье мен Андре Вейльдің есімдерімен Дэвид Мамфорд аталған). Екеуі де бүтін сандар мен алгебралық сандар өрістеріндегі бөліну ұғымынан туындайды. Жалпы алғанда, проективті кеңістіктің кез келген кодименсиялық 1 субтүрі бір гомогенді полиномның нөлге теңесуімен анықталады; ал кодименсиялық r субтүрі, r 1-ден үлкен болғанда, тек r теңдеумен анықталуы міндетті емес. (Яғни, проективті кеңістіктің кез келген субтүрі толық қиылыс бола бермейді.) Жергілікті түрде, тегіс түрдің кез келген кодименсиялық 1 субтүрін әрбір нүкте маңындағы бір теңдеумен анықтауға болады. Қайтадан, осыған ұқсас тұжырым жоғары кодименсиялық субтүрлер үшін дұрыс емес. Осы қасиеттің нәтижесінде алгебралық геометрияның көп бөлігі кез келген түрді оның кодименсиялық 1 субтүрлерін және сәйкес келетін түзу шоғырларын талдау арқылы зерттейді. Сингулярлы түрлерде бұл қасиет те орындалмауы мүмкін, сондықтан кодименсиялық 1 субтүрлерді және жергілікті түрде бір теңдеумен анықталатын түрлерді ажырату қажет. Алғашқылары — Вейль бөлгіштері, ал екіншілері — Картье бөлгіштері. Топологиялық тұрғыдан алғанда, Вейль бөлгіштері гомологиялық кластар рөлін атқарады, ал Картье бөлгіштері кохомологиялық кластарды көрсетеді. Тегіс түрде (немесе жалпы алғанда, тұрақты схемада) Пуанкаре дуалдығына ұқсас нәтиже Вейль және Картье бөлгіштерінің бірдей екенін айтады. «Бөлгіш» атауы Дедекинд пен Вебердің жұмысына қатысты, олар Дедекинд домендерінің алгебралық қисықтарды зерттеуге қатысын көрсетті. Қисықтағы бөлгіштер тобы (барлық бөлгіштер тудыратын еркін абелдік топ) Дедекинд доменінің бөлшек идеалдар тобымен тығыз байланысты. Алгебралық цикл — бөлгіштің жоғары кодименсиялық жалпылануы; анықтамасы бойынша, Вейль бөлгіші — кодименсиялық 1 цикл.
In algebraic geometry, divisors are a generalization of codimension 1 subvarieties of algebraic varieties. Two different generalizations are in common use, Cartier divisors and Weil divisors (named for Pierre Cartier and André Weil by David Mumford). Both are derived from the notion of divisibility in the integers and algebraic number fields. Globally, every codimension 1 subvariety of projective space is defined by the vanishing of one homogeneous polynomial; by contrast, a codimension r subvariety need not be definable by only r equations when r is greater than 1. (That is, not every subvariety of projective space is a complete intersection.) Locally, every codimension 1 subvariety of a smooth variety can be defined by one equation in a neighborhood of each point. Again, the analogous statement fails for higher codimension subvarieties. As a result of this property, much of algebraic geometry studies an arbitrary variety by analysing its codimension 1 subvarieties and the corresponding line bundles. On singular varieties, this property can also fail, and so one has to distinguish between codimension 1 subvarieties and varieties which can locally be defined by one equation. The former are Weil divisors while the latter are Cartier divisors. Topologically, Weil divisors play the role of homology classes, while Cartier divisors represent cohomology classes. On a smooth variety (or more generally a regular scheme), a result analogous to Poincaré duality says that Weil and Cartier divisors are the same. The name "divisor" goes back to the work of Dedekind and Weber, who showed the relevance of Dedekind domains to the study of algebraic curves. The group of divisors on a curve (the free abelian group generated by all divisors) is closely related to the group of fractional ideals for a Dedekind domain. An algebraic cycle is a higher codimension generalization of a divisor; by definition, a Weil divisor is a cycle of codimension 1.
Риман бетіндегі бөлгіштер
Риман беті – 1 өлшемді күрделі көптүрлілік, сондықтан оның кодименсиялық 1 субкөптүрліліктері 0 өлшемді болады. X компактты Риман беті бойынша бөлгіштер тобы – X нүктелеріндегі еркін абельдік топ. Басқаша айтқанда, X компактты Риман беті бойынша бөлгіш – X нүктелерінің бүтін сандық коэффициенттері бар шекті сызықтық комбинациясы. X-тегі бөлгіштің дәрежесі – оның коэффициенттерінің қосындысы. X-тегі f кез келген нөлден өзге мероморфтық функциясы үшін f-тің X-тегі p нүктесінде жоғалу реттілігін ordp(f) деп анықтауға болады. Бұл бүтін сан, егер f-тің p-де полюсі болса, онда теріс сан. Риманның тығыз X бетіндегі f нөлден өзге мероморфтық функциясының бөлгіші – шекті сома ретінде анықталады. (f) формасындағы бөлгіштер де негізгі бөлгіштер деп аталады. (fg) = (f) + (g) болғандықтан, негізгі бөлгіштер жиыны бөлгіштер тобының кіші тобы болып табылады. Негізгі бөлгішпен ерекшеленетін екі бөлгіш сызықтық түрде эквивалентті деп аталады. Риманның тығыз бетінде негізгі бөлгіштің дәрежесі нөлге тең; яғни, мероморфтық функцияның нөлдер саны полюстер санына тең, көптігімен есептегенде. Осылайша, дәрежесі бөлгіштердің сызықтық эквиваленттілік кластарында жақсы анықталған. Риманның X тығыз бетіндегі D бөлгіші берілген болса, D-мен берілген полюстері бар X-тегі мероморфтық функциялардың кешенді векторлық кеңістігін зерттеу маңызды, ол H0(X, O(D)) деп аталады немесе D-ге қатысты сызықтық шоғырдың қималарының кеңістігі. D дәрежесі осы векторлық кеңістіктің өлшемі туралы көп нәрсені айтады. Мысалы, егер D теріс дәрежеге ие болса, онда бұл векторлық кеңістік нөлге тең (өйткені мероморфтық функцияда полюстерден артық нөлдер болуы мүмкін емес). Егер D оң дәрежеге ие болса, онда H0(X, O(mD)) өлшемі m жеткілікті үлкен болғанда m-ге сызықтық түрде өседі. Риман-Рох теоремасы осы бағыттағы толыққанды тұжырымдама болып табылады. Екінші жағынан, H0(X, O(D))-нің төмен дәрежелі D бөлгіштері үшін нақты өлшемдері өте нәзік және D дәрежесімен толық анықталмайды. Риманның тығыз бетінің ерекшеліктері осы өлшемдерде көрінеді. Риманның тығыз бетіндегі маңызды бөлгіштердің бірі – каноникалық бөлгіш. Оны анықтау үшін алдымен нөлден өзге мероморфтық 1-форманың бөлгішін жоғарыда аталғандай анықтаймыз. Мероморфтық 1-формалар кеңістігі мероморфтық функциялар өрісі бойынша 1 өлшемді векторлық кеңістік болғандықтан, кез келген екі нөлден өзге мероморфтық 1-форма сызықтық түрде эквивалентті бөлгіштерді тудырады. Осы сызықтық эквиваленттілік класындағы кез келген бөлгіш X-тің каноникалық бөлгіші, KX деп аталады. X-тің g-жынысы каноникалық бөлгіштен оқылады: атап айтқанда, KX-тің дәрежесі 2g – 2-ге тең. Риманның тығыз бетіндегі негізгі үштік – каноникалық бөлгіштің теріс дәрежеде болуы (яғни, X-тің 0-ге тең жынысы бар), нөлдік дәрежеде (бірінші жынысы) немесе оң дәрежеде (кемінде 2-ге тең жынысы) болуы. Мысалы, бұл X-тің оң қисықтығы, нөлдік қисықтығы немесе теріс қисықтығы бар Келер метрикасы бар-жоғын анықтайды. Каноникалық бөлгіш теріс дәрежеге ие, егер және тек егер X Риман сферасы CP1-ге изоморфты болса.
Equivalently, a divisor on a compact Riemann surface X is a finite linear combination of points of X with integer coefficients. The degree of a divisor on X is the sum of its coefficients. For any nonzero meromorphic function f on X, one can define the order of vanishing of f at a point p in X, ordp(f). It is an integer, negative if f has a pole at p. The divisor of a nonzero meromorphic function f on the compact Riemann surface X is defined as
which is a finite sum. Divisors of the form (f) are also called principal divisors. Since (fg) = (f) + (g), the set of principal divisors is a subgroup of the group of divisors. Two divisors that differ by a principal divisor are called linearly equivalent. On a compact Riemann surface, the degree of a principal divisor is zero; that is, the number of zeros of a meromorphic function is equal to the number of poles, counted with multiplicity. As a result, the degree is well defined on linear equivalence classes of divisors. Given a divisor D on a compact Riemann surface X, it is important to study the complex vector space of meromorphic functions on X with poles at most given by D, called H0(X, O(D)) or the space of sections of the line bundle associated to D. The degree of D says a lot about the dimension of this vector space. For example, if D has negative degree, then this vector space is zero (because a meromorphic function cannot have more zeros than poles). If D has positive degree, then the dimension of H0(X, O(mD)) grows linearly in m for m sufficiently large. The Riemann–Roch theorem is a more precise statement along these lines. On the other hand, the precise dimension of H0(X, O(D)) for divisors D of low degree is subtle, and not completely determined by the degree of D. The distinctive features of a compact Riemann surface are reflected in these dimensions. One key divisor on a compact Riemann surface is the canonical divisor. To define it, one first defines the divisor of a nonzero meromorphic 1 form along the lines above. Since the space of meromorphic 1 forms is a 1 dimensional vector space over the field of meromorphic functions, any two nonzero meromorphic 1 forms yield linearly equivalent divisors. Any divisor in this linear equivalence class is called the canonical divisor of X, KX. The genus g of X can be read from the canonical divisor: namely, KX has degree 2g − 2. The key trichotomy among compact Riemann surfaces X is whether the canonical divisor has negative degree (so X has genus zero), zero degree (genus one), or positive degree (genus at least 2). For example, this determines whether X has a Kähler metric with positive curvature, zero curvature, or negative curvature. The canonical divisor has negative degree if and only if X is isomorphic to the Riemann sphere CP1.
Бөлгіш кластық топ
Вейль бөлгіш кластық тобы Cl(X) – Div(X) бөлгіштері тобының барлық негізгі Вейль бөлгіштерінің кіші тобына қатысты quotient. Екі бөлгіш, егер олардың айырмасы негізгі бөлгіш болса, сызықтық эквивалентті деп аталады, сондықтан бөлгіш кластық тобы – сызықтық эквиваленттілік бойынша бөлгіштер тобы. n өлшемді X түрлілігі үшін бөлгіш кластық тобы Чоу тобы болып табылады; атап айтқанда, Cl(X) – (n-1) өлшемді циклдардың CHn−1(X) Чоу тобы. Z – X-тің жабық ішкі жиыны болсын. Егер Z кодименсиясы 1-ге тең болса және ирредукцияланбас болса, онда Cl(X − Z) Z класы бойынша Cl(X) quotient тобына изоморфты. Егер Z-дің X-тегі кодименсиясы кемінде 2 болса, онда Cl(X) → Cl(X − Z) шектеуі изоморфизм болып табылады. (Бұл фактілер Чоу топтарының локализация тізбегінің ерекше жағдайлары.) Нормалды интегралды Нотер схемасы X үшін екі Вейль бөлгіші D, E сызықтық эквивалентті болады, егер және тек егер олар модульдер ретінде изоморфты болса. X-тегі рефлексивті қаптамалардың изоморфизм кластары тензорлық көбейтіндінің рефлексивті корпусы ретінде берілген көбейтумен моноид құрайды. Содан кейін Cl(X) – X-тің Вейль бөлгіш кластық тобы, X-тегі бірінші дәрежелі рефлексивті қаптамалардың изоморфизм кластарының моноидына моноидтық изоморфизмді анықтайды.
Мысалдар
k өріс болсын, ал n – оң бүтін сан. Көпшелік сақина k[x₁, …, xₙ] бірегей жіктеу домені болғандықтан, k өрісіндегі аффиндік кеңістіктің An бөлгіш кластық тобы нөлге тең. Сәйкесінше, проективтік қисық X үшін дәреже гомоморфизмді береді: deg: Cl(X) → Z. k өрісіндегі проективтік түзу P₁ үшін дәреже Cl(P₁) ≅ Z изоморфизмін береді. Кез келген тегіс проективтік қисық X үшін, егер X-те k-рационалды нүкте болса, дәреже гомоморфизмі сюръективті болады, ал ядросы X-тің Якобиандық әртүрлілігіндегі k-нүктелер тобына изоморфты, бұл X-тің туысына тең өлшемді абельдік әртүрлілік. Мысалы, күрделі эллиптік қисықтың бөлгіш кластық тобы санауға болмайтын абельдік топ болып табылады. Бұрынғы мысалды жалпылау: егер X – k өрісіндегі тегіс проективтік әртүрлілік және X-те k-рационалды нүкте болса, онда бөлгіш кластық тобы Cl(X) – шекті түрде туындаған абельдік топ, Нэрон-Севери тобы, байланысты топ схемасының k-нүктелер тобына қатысты кеңейтім. Егер k-нің сипаттамасы нөл болса, онда бұл абельдік әртүрлілік, X-тің Пикард әртүрлілігі. Егер R – сан денесінің бүтін сандар сақинасы болса, онда бөлгіш кластық тобы Cl(R) := Cl(Spec R) R-дің идеалдық кластық тобы деп те аталады. Бұл шекті абельдік топ. Идеалдық кластық топтарды түсіну – алгебралық сан теориясының басты мақсаты. X – 2 өлшемді квадраттық конус болсын, ол xy = z² теңдеуімен анықталады, өріс үстіндегі 3 өлшемді аффиндік кеңістікте. Содан кейін X-тегі D түзуі x = z = 0 арқылы анықталады, бірақ ол X-тегі бастапқы нүктеге жақын негізгі болып табылмайды. D-ні X-те бір теңдеумен, атап айтқанда x = 0 арқылы жиын ретінде анықтауға болады; бірақ X-тегі x функциясы D бойында 2-рет жоғалады, сондықтан біз тек 2D-ні X-те Картье деп табамыз (төменде анықталғандай). Шын мәнінде, бөлгіш кластық тобы Cl(X) D класы арқылы туындаған Z/2 циклдік тобына изоморфты. X – өріс үстіндегі аффиндік 4 кеңістікте xy = zw теңдеуімен анықталған 3 өлшемді квадраттық конус болсын. Содан кейін X-те x = z = 0 арқылы анықталған D жазықтығын X-те бастапқы нүктеге жақын бір теңдеумен, тіпті жиын ретінде де анықтауға болмайды. Бұдан D X-те Q-Картье емес екендігі көрінеді; яғни D-нің оң еселігі Картье емес. Шын мәнінде, бөлгіш кластық тобы Cl(X) D класы арқылы туындаған Z бүтін сандарына изоморфты.
Let X be the quadric cone of dimension 3, defined by the equation xy = zw in affine 4 space over a field. Then the plane D in X defined by x = z = 0 cannot be defined in X by one equation near the origin, even as a set. It follows that D is not Q Cartier on X; that is, no positive multiple of D is Cartier. In fact, the divisor class group Cl(X) is isomorphic to the integers Z, generated by the class of D.
Вейль делімдері мен Картье делімдерінің салыстыруы
Вейльдің бөлгіші D Картье деп аталады, егер және тек қана егер оның қабығы инверттік болса. Мұндай жағдайда (MX-қа енгізілгенде) ол Картье бөлгішіне сәйкес келетін түзу бундель болады. Нақтырақ айтқанда, егер инверттік болса, онда әрбір ашық жиынтықта тривиальды бундельге шектелетін {Ui} ашық жабыны бар. Әр Ui үшін изоморфизмді таңдаңыз. Бұл карта астындағы кескін Ui-дегі қима болады. Рационалды функциялардың қабығының ішкі қабығы ретінде анықталғандықтан, 1-дің кескінін кейбір рационалды функция fi-мен сәйкестендіруге болады. Содан кейін {fi} жиыны Картье бөлгіші болып табылады. Бұл дұрыс анықталған, өйткені таңдаулар тек жабын мен изоморфизмге қатысты болды, олардың ешқайсысы Картье бөлгішін өзгертпейді. Бұл Картье бөлгішін қабық құру үшін пайдалануға болады, оны ажырату үшін L(D) деп белгілейміз. L(D) және берілген қабықтың {Ui} ашық жабынындағы изоморфизмі арасындағы изоморфизмді тексерудің негізгі мәселесі – олардың ауысу функцияларының үйлесімділігі, яғни бұл функциялардың бәрі келесі формада болуы керек.
Керісінше, интегралдық Нотериандық схема X-тегі Картье бөлгіші, ашық жиындардағы функциялар fi-ге қолданылатын арнайы тәсілмен X-тегі Вейль бөлгішін анықтайды. Егер X қалыпты болса, Картье бөлгіші байланысты Вейль бөлгішімен анықталады, ал Вейль бөлгіші жергілікті түрде негізгі болса ғана Картье болады. Нотериандық схема X, егер X-тің барлық жергілікті сақиналары бірегей жіктеу домендері болса, факторлық деп аталады. Факторлық схема X-тегі әрбір Вейль бөлгіші D жергілікті түрде негізгі болады, сондықтан ол әрқашан түзу бундель болады. Алайда, жалпы жағдайда, қалыпты схемадағы Вейль бөлгіші жергілікті түрде негізгі болуы міндетті емес; жоғарыда көрсетілген квадратикалық конустардың мысалдарын қараңыз.
Картье эффективті бөлгіштері
Картье эффективті бөлгіштері – идеалдық қаптарға сәйкес келетін бөлгіштер. Шындығында, тиімді Картье бөлгіштері теориясы рационалды функциялардың немесе бөлшектік идеалдық қаптардың қаптамаларына сілтеме жасамастан дамытылуы мүмкін. X схема болсын. X-тегі тиімді Картье бөлгіші – бұл I идеалдық қабы, ол инверттендіріледі және X-тегі кез келген x нүктесі үшін Ix сабағы негізгі болып табылады. Бұл талап, әр x нүктесінің маңында 1=U = Spec A ашық аффиндік ішкі жиынтығының болуымен тең, мұнда 1=U ∩ D = Spec A / (f), ал f – A сақинасындағы нөлдік емес бөлгіш. Екі тиімді Картье бөлгішінің қосындысы идеалдық қаптардың көбейтуіне сәйкес келеді. Тиімді Картье бөлгіштерінің отбасылары туралы жақсы теория бар. φ : X → S морфизм болсын. S бойынша X-тің салыстырмалы тиімді Картье бөлгіші – X-тегі D-нің тиімді Картье бөлгіші, ол S бойынша тегіс. Тегістік шартының арқасында, кез келген φ үшін D-нің кері тартылысы болады және бұл кері тартылыс тиімді Картье бөлгіші болып табылады. Атап айтқанда, бұл φ-тің талшықтары үшін де дұрыс.
Функционалдылық
φ: X → Y интегралды жергілікті Ноэтер схемаларының морфизмі болсын. Ф-ті бір схемадан екіншісіне D бөлгішін ауыстыру үшін жиі, бірақ әрқашан емес, қолдануға болады. Бұл мүмкін бола ма, жоқ па, бөлгіш Вейль немесе Картье бөлгіші болып табыла ма, бөлгіш X-тен Y-ге ауыстырыла ма, әлде керісінше ме, және φ қандай қосымша қасиеттерге ие бола ала ма, соған байланысты. Егер Z - X-тің бірінші Вейль бөлгіші болса, онда ол Y-дің жабық қайталанбайтын қосалқы схемасы болады. φ-ға байланысты ол бірінші Вейль бөлгіші болуы мүмкін немесе болмауы мүмкін. Мысалы, φ жазықтықтағы нүктелердің көтерілуі болса және Z ерекше бөлгіші болса, онда оның бейнесі Вейль бөлгіші емес. Сондықтан φ*Z егер бұл субсхема негізгі бөлгіш болса, деп анықталады, әйтпесе нөлдік бөлгіш деп анықталады. Оны сызықтықпен кеңейту, X квази-компакт деп есептегенде, алға жылжыту деп аталатын Div(X) → Div(Y) гомоморфизмін анықтайды. (Егер X квази-компакт болмаса, онда алға жылжыту жергілікті шекті сома бола алмайды.) Бұл - Чоу топтарындағы алға жылжытудың ерекше жағдайы. Егер Z Картье бөлгіші болса, онда φ-ға қатысты жұмсақ гипотезалар бойынша кері тартылу бар. Теориялық тұрғыда, кері тартылу картасы болған кезде, бұл кері тартылу Картье бөлгіштерінің кері тартылуын анықтауға пайдаланылуы мүмкін. Жергілікті кесінділер тұрғысынан алғанда, кері тартылуы φ басым болса әрқашан анықталады, бірақ оны жалпы анықтауға болмайды. Мысалы, егер 1=X = Z және φ - Z-ді Y-ге қосу болса, онда φ*Z анықталмаған, өйткені сәйкес келетін жергілікті кесінділер барлық жерде нөл болады. (Бірақ, сәйкес желілік бундельдің кері тартылуы анықталады.) Егер φ тегіс болса, онда Вейль бөлгіштерінің кері тартылуы анықталады. Бұл жағдайда Z-дің кері тартылуы 1=φ*Z = φ⁻¹(Z) болып табылады. φ-ның тегістігі Z-дің кері бейнесінің бір өлшемділігін сақтайтынын қамтамасыз етеді. Бұл, мысалы, кішігірім жиырылу үшін, тегіс емес морфизмдер үшін сәтсіз болуы мүмкін.
Желі топтамалары мен желілік жүйелердің жалпы кесінділері
Картье бөлгіші, егер оның жергілікті анықтауыш функциялары fi тұрақты болса (тек рационалды функциялар емес), тиімді болады. Мұндай жағдайда, Картье бөлгіші X-те 1 кодименсиялы жабық қосалқы схемамен сәйкес келеді, бұл қосалқы схема жергілікті түрде fi = 0 теңдігімен анықталады. Картье бөлгіші D, тиімді бөлгішке сызықтық түрде тең болады, егер және тек қана егер оның сәйкес сызық бунделінде нөлдік емес жаһандық қима s болса; сонда D, s-тің нөлдік локусына сызықтық түрде тең болады. Х k өрісіндегі проективті сорт болсын. Сонда, жаһандық қиманы k-дегі нөлдік емес скалярға көбейту оның нөлдік локусын өзгерте алмайды. Осының салдарынан, жаһандық қималардың k векторлық кеңістігіндегі сызықтардың проективті кеңістігін, D-ге сызықтық түрде тең тиімді бөлгіштер жиынымен сәйкес етуге болады, бұл D-нің толық сызықтық жүйесі деп аталады. Бұл проективті кеңістіктің кез келген проективті сызықтық кіші кеңістігі бөлгіштердің сызықтық жүйесі деп аталады. Сызық бунделінің жаһандық қималарын зерттеудің бір себебі – берілген сорттан проективті кеңістікке мүмкін болатын бейнелеулерді түсіну. Бұл алгебралық сорттарды жіктеу үшін маңызды. Нақтырақ айтқанда, X сортынан k өрісіндегі Pn проективті кеңістігіне бейнелеу, X-те L сызық бунделін анықтайды, бұл Pn-дегі стандартты сызық бунделінің кері бейнесі болады. Сонымен қатар, L, базалық локусы (олардың нөлдік жиындарының қиылысы) бос болатын n+1 қимамен бірге келеді. Керісінше, ортақ базалық локусы бос болатын n+1 жаһандық қимасы бар кез келген L бунделі X → Pn бейнелеуін анықтайды. Бұл байқаулар Картье бөлгіштерінің (немесе сызық бунделдерінің) оңдыққа қатысты бірнеше ұғымдарына әкеледі, мысалы, кең бөлгіштер және nef бөлгіштер. k өрісіндегі проективті сорттағы D бөлгіші үшін H0(X, O(D)) k векторлық кеңістігінің шекті өлшемі болады. Риманн-Рох теоремасы – X проективті қисық болғанда осы векторлық кеңістіктің өлшемін есептеу үшін негізгі құрал. Бір-бірінен туындайтын жалпылаулар, Хирцебрух-Риманн-Рох теоремасы және Гротендик-Риманн-Рох теоремасы, H0(X, O(D)) өлшемі туралы белгілі бір ақпарат береді. Каноникалық бөлгіш сортқа байланысты болғандықтан, сорттарды жіктеуде KX және оның оң еселіктері арқылы анықталатын проективті кеңістікке бейнелеулер маңызды рөл атқарады. X-тің Кодайра өлшемі – маңызды бирационалдық инвариант, ол H0(X, mKX) (яғни H0(X, O(mKX))) векторлық кеңістіктерінің өсуін өлшейді, мұнда m өседі. Кодайра өлшемі барлық n өлшемді сорттарды n+2 сыныпқа бөледі, олар (шамамен) оң қисықтықтан теріс қисықтыққа дейін өзгереді.
Let X be a projective variety over a field k. Then multiplying a global section of by a nonzero scalar in k does not change its zero locus. As a result, the projective space of lines in the k vector space of global sections H0(X, O(D)) can be identified with the set of effective divisors linearly equivalent to D, called the complete linear system of D. A projective linear subspace of this projective space is called a linear system of divisors. One reason to study the space of global sections of a line bundle is to understand the possible maps from a given variety to projective space. This is essential for the classification of algebraic varieties. Explicitly, a morphism from a variety X to projective space Pn over a field k determines a line bundle L on X, the pullback of the standard line bundle on Pn. Moreover, L comes with n+1 sections whose base locus (the intersection of their zero sets) is empty. Conversely, any line bundle L with n+1 global sections whose common base locus is empty determines a morphism X → Pn. These observations lead to several notions of positivity for Cartier divisors (or line bundles), such as ample divisors and nef divisors. For a divisor D on a projective variety X over a field k, the k vector space H0(X, O(D)) has finite dimension. The Riemann–Roch theorem is a fundamental tool for computing the dimension of this vector space when X is a projective curve. Successive generalizations, the Hirzebruch–Riemann–Roch theorem and the Grothendieck–Riemann–Roch theorem, give some information about the dimension of H0(X, O(D)) for a projective variety X of any dimension over a field. Because the canonical divisor is intrinsically associated to a variety, a key role in the classification of varieties is played by the maps to projective space given by KX and its positive multiples. The Kodaira dimension of X is a key birational invariant, measuring the growth of the vector spaces H0(X, mKX) (meaning H0(X, O(mKX))) as m increases. The Kodaira dimension divides all n dimensional varieties into n+2 classes, which (very roughly) go from positive curvature to negative curvature.
Гротендик-Лефшец гипержапсары теоремасы
Лефшец гипержазықтығы теоремасы, кем дегенде 4 өлшемді тегіс күрделі проективті X түрлілігі және X-тегі тегіс кең бөлгіш Y үшін, Pic(X) → Pic(Y) шектеуі изоморфизм екенін көрсетеді. Мысалы, егер Y күрделі проективті кеңістікте кем дегенде 3 өлшемді тегіс толық қиылыс түрлілігі болса, онда Y-дің Пикар тобы проективті кеңістіктегі O(1) түзу шоғының шектеуімен туындаған Z-ге изоморфты болады. Гротендик Лефшец теоремасын бірнеше бағытта жалпылады, онда кез келген базалық өрістер, сингулярлық түрліліктер және проективті түрліліктерден гөрі жергілікті сақиналардағы нәтижелер қарастырылады. Атап айтқанда, егер R толық қиылыс жергілікті сақинасы болса және оның кодименсиясы 3-тен кем немесе тең болса факторлы болса (мысалы, егер R-дың тұрақсыз локусы кем дегенде 4 кодименсияға ие болса), онда R бірегей факторлау домені болады (соның салдарынан Spec(R)-дегі әрбір Вейль бөлгіші Картье болады). Бұл жердегі өлшем шегі, жоғарыда келтірілген 3 өлшемді квадраттық конус мысалы көрсеткендей, ең жақсы нәтиже болып табылады.