Введение
Обобщения подмногообразий кодименсиональности 1 алгебраических многообразий
В алгебраической геометрии делители являются обобщением подмногообразий кодименсиональности 1 алгебраических многообразий. Существует два основных обобщения, используемых повсеместно: делители Картье и делители Вейля (названные в честь Пьера Картье и Андре Вейля Дэвидом Мамфордом). Оба они происходят из понятия делимости в целых числах и алгебраических числовых полях. Глобально, каждое подмногообразие проективного пространства кодименсиональности 1 определяется исчезновением одного однородного многочлена; в отличие от этого, подмногообразие кодименсиональности r не обязательно может быть определено только r уравнениями, когда r больше 1. (То есть, не каждое подмногообразие проективного пространства является полным пересечением.) Локально, каждое подмногообразие кодименсиональности 1 гладкого многообразия может быть определено одним уравнением в окрестности каждой точки. Однако аналогичное утверждение неверно для подмногообразий более высокой кодименсиональности. В силу этого свойства, значительная часть алгебраической геометрии изучает произвольное многообразие, анализируя его подмногообразия кодименсиональности 1 и соответствующие линейные расслоения. На сингулярных многообразиях это свойство также может не выполняться, поэтому необходимо различать подмногообразия кодименсиональности 1 и многообразия, которые могут быть локально определены одним уравнением. Первые являются делителями Вейля, а вторые – делителями Картье. Топологически, делители Вейля играют роль классов гомологии, в то время как делители Картье представляют классы когомологий. На гладком многообразии (или, более общо, на регулярной схеме) результат, аналогичный двойственности Пуанкаре, утверждает, что делители Вейля и делители Картье совпадают. Название "делитель" восходит к работам Дедекинда и Вебера, которые показали применимость областей Дедекинда к изучению алгебраических кривых. Группа делителей на кривой (свободная абелева группа, порожденная всеми делителями) тесно связана с группой дробных идеалов для области Дедекинда. Алгебраический цикл является обобщением делителя на более высокую кодименсиональность; по определению, делитель Вейля – это цикл кодименсиональности 1.
In algebraic geometry, divisors are a generalization of codimension 1 subvarieties of algebraic varieties. Two different generalizations are in common use, Cartier divisors and Weil divisors (named for Pierre Cartier and André Weil by David Mumford). Both are derived from the notion of divisibility in the integers and algebraic number fields. Globally, every codimension 1 subvariety of projective space is defined by the vanishing of one homogeneous polynomial; by contrast, a codimension r subvariety need not be definable by only r equations when r is greater than 1. (That is, not every subvariety of projective space is a complete intersection.) Locally, every codimension 1 subvariety of a smooth variety can be defined by one equation in a neighborhood of each point. Again, the analogous statement fails for higher codimension subvarieties. As a result of this property, much of algebraic geometry studies an arbitrary variety by analysing its codimension 1 subvarieties and the corresponding line bundles. On singular varieties, this property can also fail, and so one has to distinguish between codimension 1 subvarieties and varieties which can locally be defined by one equation. The former are Weil divisors while the latter are Cartier divisors. Topologically, Weil divisors play the role of homology classes, while Cartier divisors represent cohomology classes. On a smooth variety (or more generally a regular scheme), a result analogous to Poincaré duality says that Weil and Cartier divisors are the same. The name "divisor" goes back to the work of Dedekind and Weber, who showed the relevance of Dedekind domains to the study of algebraic curves. The group of divisors on a curve (the free abelian group generated by all divisors) is closely related to the group of fractional ideals for a Dedekind domain. An algebraic cycle is a higher codimension generalization of a divisor; by definition, a Weil divisor is a cycle of codimension 1.
Дивизоры на поверхности Римана
Поверхность Римана — это 1-мерное комплексное многообразие, и поэтому её подмножества кодименсиональности 1 имеют размерность 0. Группа делителей на компактной поверхности Римана X является свободной абелевой группой по точкам X. Эквивалентно, делитель на компактной поверхности Римана X — это конечное линейное сочетание точек X с целочисленными коэффициентами. Степень делителя на X — это сумма его коэффициентов. Для любой ненулевой мероморфной функции f на X можно определить порядок исчезновения f в точке p из X, обозначаемый ordp(f). Это целое число, отрицательное, если f имеет полюс в p. Делитель ненулевой мероморфной функции f на компактной поверхности Римана X определяется как
Equivalently, a divisor on a compact Riemann surface X is a finite linear combination of points of X with integer coefficients. The degree of a divisor on X is the sum of its coefficients. For any nonzero meromorphic function f on X, one can define the order of vanishing of f at a point p in X, ordp(f). It is an integer, negative if f has a pole at p. The divisor of a nonzero meromorphic function f on the compact Riemann surface X is defined as
which is a finite sum. Divisors of the form (f) are also called principal divisors. Since (fg) = (f) + (g), the set of principal divisors is a subgroup of the group of divisors. Two divisors that differ by a principal divisor are called linearly equivalent. On a compact Riemann surface, the degree of a principal divisor is zero; that is, the number of zeros of a meromorphic function is equal to the number of poles, counted with multiplicity. As a result, the degree is well defined on linear equivalence classes of divisors. Given a divisor D on a compact Riemann surface X, it is important to study the complex vector space of meromorphic functions on X with poles at most given by D, called H0(X, O(D)) or the space of sections of the line bundle associated to D. The degree of D says a lot about the dimension of this vector space. For example, if D has negative degree, then this vector space is zero (because a meromorphic function cannot have more zeros than poles). If D has positive degree, then the dimension of H0(X, O(mD)) grows linearly in m for m sufficiently large. The Riemann–Roch theorem is a more precise statement along these lines. On the other hand, the precise dimension of H0(X, O(D)) for divisors D of low degree is subtle, and not completely determined by the degree of D. The distinctive features of a compact Riemann surface are reflected in these dimensions. One key divisor on a compact Riemann surface is the canonical divisor. To define it, one first defines the divisor of a nonzero meromorphic 1 form along the lines above. Since the space of meromorphic 1 forms is a 1 dimensional vector space over the field of meromorphic functions, any two nonzero meromorphic 1 forms yield linearly equivalent divisors. Any divisor in this linear equivalence class is called the canonical divisor of X, KX. The genus g of X can be read from the canonical divisor: namely, KX has degree 2g − 2. The key trichotomy among compact Riemann surfaces X is whether the canonical divisor has negative degree (so X has genus zero), zero degree (genus one), or positive degree (genus at least 2). For example, this determines whether X has a Kähler metric with positive curvature, zero curvature, or negative curvature. The canonical divisor has negative degree if and only if X is isomorphic to the Riemann sphere CP1.
и является конечной суммой. Делители вида (f) также называются главными делителями. Поскольку (fg) = (f) + (g), множество главных делителей является подгруппой группы делителей. Два делителя, отличающиеся главным делителем, называются линейно эквивалентными. На компактной поверхности Римана степень главного делителя равна нулю; то есть, число нулей мероморфной функции равно числу полюсов, считанных с кратностью. В результате степень хорошо определена на классах линейной эквивалентности делителей. Для заданного делителя D на компактной поверхности Римана X важно изучить комплексное векторное пространство мероморфных функций на X с полюсами, определяемыми не более чем D, обозначаемое H0(X, O(D)) или пространством сечений линейного расслоения, ассоциированного с D. Степень D многое говорит об измерении этого векторного пространства. Например, если D имеет отрицательную степень, то это векторное пространство равно нулю (поскольку мероморфная функция не может иметь больше нулей, чем полюсов). Если D имеет положительную степень, то размерность H0(X, O(mD)) линейно растёт с m при достаточно больших m. Теорема Римана — Роха является более точным утверждением в этом направлении. С другой стороны, точная размерность H0(X, O(D)) для делителей D малой степени является тонким вопросом и не полностью определяется степенью D. Характерные особенности компактной поверхности Римана отражаются в этих размерностях. Один ключевой делитель на компактной поверхности Римана — канонический делитель. Чтобы его определить, сначала определяют делитель ненулевой мероморфной 1-формы, следуя вышеописанной логике. Поскольку пространство мероморфных 1-форм является 1-мерным векторным пространством над полем мероморфных функций, любые две ненулевые мероморфные 1-формы порождают линейно эквивалентные делители. Любой делитель в этом классе линейной эквивалентности называется каноническим делителем X, KX. Род g поверхности X можно прочитать из канонического делителя: а именно, KX имеет степень 2g − 2. Ключевая трихотомия среди компактных поверхностей Римана X заключается в том, имеет ли канонический делитель отрицательную степень (так что X имеет род ноль), нулевую степень (род один) или положительную степень (род не меньше 2). Например, это определяет, имеет ли X кэлерову метрику с положительной, нулевой или отрицательной кривизной. Канонический делитель имеет отрицательную степень тогда и только тогда, когда X изоморфна сфере Римана CP1.
Equivalently, a divisor on a compact Riemann surface X is a finite linear combination of points of X with integer coefficients. The degree of a divisor on X is the sum of its coefficients. For any nonzero meromorphic function f on X, one can define the order of vanishing of f at a point p in X, ordp(f). It is an integer, negative if f has a pole at p. The divisor of a nonzero meromorphic function f on the compact Riemann surface X is defined as
which is a finite sum. Divisors of the form (f) are also called principal divisors. Since (fg) = (f) + (g), the set of principal divisors is a subgroup of the group of divisors. Two divisors that differ by a principal divisor are called linearly equivalent. On a compact Riemann surface, the degree of a principal divisor is zero; that is, the number of zeros of a meromorphic function is equal to the number of poles, counted with multiplicity. As a result, the degree is well defined on linear equivalence classes of divisors. Given a divisor D on a compact Riemann surface X, it is important to study the complex vector space of meromorphic functions on X with poles at most given by D, called H0(X, O(D)) or the space of sections of the line bundle associated to D. The degree of D says a lot about the dimension of this vector space. For example, if D has negative degree, then this vector space is zero (because a meromorphic function cannot have more zeros than poles). If D has positive degree, then the dimension of H0(X, O(mD)) grows linearly in m for m sufficiently large. The Riemann–Roch theorem is a more precise statement along these lines. On the other hand, the precise dimension of H0(X, O(D)) for divisors D of low degree is subtle, and not completely determined by the degree of D. The distinctive features of a compact Riemann surface are reflected in these dimensions. One key divisor on a compact Riemann surface is the canonical divisor. To define it, one first defines the divisor of a nonzero meromorphic 1 form along the lines above. Since the space of meromorphic 1 forms is a 1 dimensional vector space over the field of meromorphic functions, any two nonzero meromorphic 1 forms yield linearly equivalent divisors. Any divisor in this linear equivalence class is called the canonical divisor of X, KX. The genus g of X can be read from the canonical divisor: namely, KX has degree 2g − 2. The key trichotomy among compact Riemann surfaces X is whether the canonical divisor has negative degree (so X has genus zero), zero degree (genus one), or positive degree (genus at least 2). For example, this determines whether X has a Kähler metric with positive curvature, zero curvature, or negative curvature. The canonical divisor has negative degree if and only if X is isomorphic to the Riemann sphere CP1.
Группа классов делителя
Классовая группа делителей Вейля Cl(X) — это факторгруппа Div(X) по подгруппе всех главных делителей Вейля. Два делителя называются линейно эквивалентными, если их разность является главным делителем, поэтому классовая группа делителей — это группа делителей по модулю линейной эквивалентности. Для многообразия X размерности n над полем, классовая группа делителей является группой Чоу; а именно, Cl(X) — это группа Чоу CHn−1(X) (n−1)-мерных циклов. Пусть Z — замкнутое подмножество X. Если Z является неприводимым коразмерности один, то Cl(X − Z) изоморфна факторгруппе Cl(X) по классу Z. Если Z имеет коразмерность не меньше 2 в X, то ограничение Cl(X) → Cl(X − Z) является изоморфизмом. (Эти факты являются частными случаями последовательности локализации для групп Чоу.) На нормальной интегральной нётеровской схеме X два делителя Вейля D, E линейно эквивалентны тогда и только тогда, когда и изоморфны как -модули. Классы изоморфизма рефлексивных пучков на X образуют моноид с произведением, заданным как рефлексивная оболочка тензорного произведения. Тогда определяет моноидный изоморфизм из классовой группы делителей Вейля X в моноид классов изоморфизма рефлексивных пучков ранга один на X.
Примеры
Пусть k — поле, а n — положительное целое число. Поскольку кольцо многочленов k[x1, …, xn] является областью однозначной факторизации, группа классов делителей аффинного пространства An над k равна нулю. Следовательно, для проективной кривой X степень задает гомоморфизм deg: Cl(X) → Z. Для проективной прямой P1 над полем k степень задает изоморфизм Cl(P1) ≅ Z. Для любой гладкой проективной кривой X с k-рациональной точкой гомоморфизм степени сюръективен, а ядро изоморфно группе k-точек на якобиане X, который является абелевым многообразием размерности, равной роду X. Отсюда следует, например, что группа классов делителей комплексной эллиптической кривой является несчетной абелевой группой. Обобщая предыдущий пример: для любой гладкой проективной разновидности X над полем k, имеющей k-рациональную точку, группа классов делителей Cl(X) является расширением конечно порожденной абелевой группы, группы Néron–Severi, группой k-точек связной групповой схемы. Для k характеристики ноль, является абелевым многообразием, многообразием Пикара X. Для R — кольца целых чисел числового поля, группа классов делителей Cl(R) := Cl(Spec R) также называется группой классов идеалов R. Это конечная абелева группа. Понимание групп классов идеалов является центральной задачей алгебраической теории чисел. Пусть X — квадратичный конус размерности 2, заданный уравнением xy = z2 в аффинном 3-пространстве над полем. Тогда прямая D в X, определяемая условиями x = z = 0, не является принципиальной на X вблизи начала координат. Обратите внимание, что D можно определить как множество одним уравнением на X, а именно x = 0; но функция x на X обращается в нуль в порядке 2 вдоль D, и поэтому мы лишь находим, что 2D является Картье (в определении ниже) на X. Фактически, группа классов делителей Cl(X) изоморфна циклической группе Z/2, порожденной классом D.
Пусть X — квадратичный конус размерности 3, заданный уравнением xy = zw в аффинном 4-пространстве над полем. Тогда плоскость D в X, определяемая условиями x = z = 0, не может быть определена в X одним уравнением вблизи начала координат, даже как множество. Следовательно, D не является Q-Картье на X; то есть, никакое положительное кратное D не является Картье. Фактически, группа классов делителей Cl(X) изоморфна целым числам Z, порожденной классом D.
Сравнение делителей Вейля и делителей Картье
Делитель Вейля D называется делителем Картье тогда и только тогда, когда пучок является обратимым. Когда это происходит, (с его вложением в MX) является линейным пучком, ассоциированным с делителем Картье. Более точно, если обратим, то существует открытое покрытие {Ui} такое, что ограничивается тривиальным пучком на каждом открытом множестве. Для каждого Ui выберите изоморфизм . Образ под этим отображением является сечением на Ui. Поскольку определен как подпучок пучка рациональных функций, образ 1 можно отождествить с некоторой рациональной функцией fi. Тогда множество является делителем Картье. Это определение корректно, поскольку единственным выбором были покрытие и изоморфизм, ни один из которых не меняет делитель Картье. Этот делитель Картье можно использовать для построения пучка, который для отличия обозначим L(D). Существует изоморфизм с L(D), определяемый работой на открытом покрытии {Ui}. Ключевым фактом, который необходимо проверить здесь, является то, что переходные функции и L(D) согласованы, и это сводится к тому, что все эти функции имеют вид.
В обратном направлении, делитель Картье на интегральной нётеровой схеме X определяет делитель Вейля на X естественным образом, применяя к функциям fi на открытых множествах Ui. Если X нормальна, то делитель Картье определяется ассоциированным делителем Вейля, и делитель Вейля является делителем Картье тогда и только тогда, когда он локально главный. Нётерова схема X называется факториальной, если все локальные кольца X являются областями однозначной факторизации. На факториальной схеме X каждый делитель Вейля D локально главный, и поэтому всегда является линейным пучком. Однако, в общем случае, делителю Вейля на нормальной схеме не обязательно быть локально главным; см. примеры квадратичных конусов, приведенные выше.
Эффективные делители Картье
Эффективными делителями Картье являются те, которые соответствуют идеальным снопам. Фактически, теория эффективных делителей Картье может быть разработана без каких-либо ссылок на снопы рациональных функций или дробно-идеальные снопы. Пусть X – схема. Эффективный делитель Картье на X – это идеальный сноп I, который обратим и такой, что для каждой точки x в X, стебель Ix является главным. Это эквивалентно требованию, чтобы в окрестности каждой точки x существовало открытое аффинное подмножество U = Spec A, такое что U ∩ D = Spec A / (f), где f – ненулевой делитель в A. Сумма двух эффективных делителей Картье соответствует умножению идеальных снопов. Существует хорошо развитая теория семейств эффективных делителей Картье. Пусть φ : X → S – морфизм. Относительным эффективным делителем Картье для X над S является эффективный делитель Картье D на X, который плоский над S. В силу предположения о плоскости, для каждого существует обратное отображение D в и это обратное отображение является эффективным делителем Картье. В частности, это верно для волокон φ.
Функциональность
Пусть φ: X → Y — морфизм интегральных локально нётерианских схем. Часто, но не всегда, возможно использовать φ для переноса делителя D из одной схемы в другую. Возможность этого зависит от того, является ли делитель делителем Вейля или Картье, перемещается ли делитель из X в Y или наоборот, и какие дополнительные свойства может иметь φ. Если Z — простой делитель Вейля на X, то φ(Z) — замкнутая неприводимая подсхема Y. В зависимости от φ, она может быть или не быть простым делителем Вейля. Например, если φ — взрыв точки на плоскости, а Z — исключительный делитель, то его образ не является делителем Вейля. Поэтому φ*Z определяется как Z, если эта подсхема является простым делителем, и определяется как нулевой делитель в противном случае. Расширяя это линейностью, предполагая, что X квазикомпактна, определим гомоморфизм Div(X) → Div(Y), называемый прямым образом. (Если X не квазикомпактна, то прямой образ может не быть локально конечной суммой.) Это частный случай прямого образа на группах Чоу. Если Z — делитель Картье, то при умеренных гипотезах на φ существует теоретико-схемный откат. Когда существует карта отката, этот откат можно использовать для определения отката делителей Картье. В терминах локальных сечений откат определяется как φ*(Z). Откат всегда определен, если φ доминирует, но его нельзя определить в общем случае. Например, если X = Z и φ — включение Z в Y, то φ*Z не определено, поскольку соответствующие локальные сечения будут повсюду равны нулю. (Однако откат соответствующего линейного расслоения определен.) Если φ плоская, то определен откат делителей Вейля. В этом случае откат Z равен φ*Z = φ⁻¹(Z). Плоскостность φ гарантирует, что обратное изображение Z продолжает иметь коразмерность один. Это может не выполняться для морфизмов, которые не являются плоскими, например, для малого стягивания.
Глобальные секции пучков линий и линейных систем
Делитель Картье эффективен, если его локальные определяющие функции fi регулярны (а не только рациональные функции). В этом случае делитель Картье может быть отождествлен с замкнутой подсхемой кодименсионности 1 в X, подсхемой, определяемой локально условием fi = 0. Делитель Картье D линейно эквивалентен эффективному делителю тогда и только тогда, когда его ассоциированный линейный пучок имеет ненулевой глобальный сечение s; тогда D линейно эквивалентен нулевому локусу s. Пусть X — проективное многообразие над полем k. Тогда умножение глобального сечения на ненулевой скаляр в k не меняет его нулевой локус. В результате, проективное пространство линий в k-мерном векторном пространстве глобальных сечений H0(X, O(D)) может быть отождествлено с множеством эффективных делителей, линейно эквивалентных D, называемым полной линейной системой D. Проективное линейное подпространство этого проективного пространства называется линейной системой делителей. Одной из причин изучения пространства глобальных сечений линейного пучка является понимание возможных отображений с данного многообразия в проективное пространство. Это существенно для классификации алгебраических многообразий. В частности, морфизм из многообразия X в проективное пространство Pn над полем k определяет линейный пучок L на X, являющийся обратным образом стандартного линейного пучка на Pn. Более того, L снабжен n+1 сечениями, локус основания (пересечение их нулевых множеств) которых пуст. И наоборот, любой линейный пучок L с n+1 глобальными сечениями, общий локус основания которых пуст, определяет морфизм X → Pn. Эти наблюдения приводят к нескольким понятиям позитивности для делителей Картье (или линейных пучков), таким как обильные делители и nef-делители. Для делителя D на проективном многообразии X над полем k, k-мерное векторное пространство H0(X, O(D)) имеет конечную размерность. Теорема Римана — Роха является фундаментальным инструментом для вычисления размерности этого векторного пространства, когда X — проективная кривая. Последовательные обобщения, теорема Хирцебруха — Римана — Роха и теорема Гротендика — Римана — Роха, дают некоторую информацию о размерности H0(X, O(D)) для проективного многообразия X любой размерности над полем. Поскольку канонический делитель внутренне связан с многообразием, ключевую роль в классификации многообразий играют отображения в проективное пространство, задаваемые KX и его положительными кратными. Размерность Кодайры X является ключевым бирациональным инвариантом, измеряющим рост векторных пространств H0(X, mKX) (то есть H0(X, O(mKX))) при увеличении m. Размерность Кодайры разделяет все n-мерные многообразия на n+2 класса, которые (очень грубо) переходят от положительной кривизны к отрицательной кривизне.
Let X be a projective variety over a field k. Then multiplying a global section of by a nonzero scalar in k does not change its zero locus. As a result, the projective space of lines in the k vector space of global sections H0(X, O(D)) can be identified with the set of effective divisors linearly equivalent to D, called the complete linear system of D. A projective linear subspace of this projective space is called a linear system of divisors. One reason to study the space of global sections of a line bundle is to understand the possible maps from a given variety to projective space. This is essential for the classification of algebraic varieties. Explicitly, a morphism from a variety X to projective space Pn over a field k determines a line bundle L on X, the pullback of the standard line bundle on Pn. Moreover, L comes with n+1 sections whose base locus (the intersection of their zero sets) is empty. Conversely, any line bundle L with n+1 global sections whose common base locus is empty determines a morphism X → Pn. These observations lead to several notions of positivity for Cartier divisors (or line bundles), such as ample divisors and nef divisors. For a divisor D on a projective variety X over a field k, the k vector space H0(X, O(D)) has finite dimension. The Riemann–Roch theorem is a fundamental tool for computing the dimension of this vector space when X is a projective curve. Successive generalizations, the Hirzebruch–Riemann–Roch theorem and the Grothendieck–Riemann–Roch theorem, give some information about the dimension of H0(X, O(D)) for a projective variety X of any dimension over a field. Because the canonical divisor is intrinsically associated to a variety, a key role in the classification of varieties is played by the maps to projective space given by KX and its positive multiples. The Kodaira dimension of X is a key birational invariant, measuring the growth of the vector spaces H0(X, mKX) (meaning H0(X, O(mKX))) as m increases. The Kodaira dimension divides all n dimensional varieties into n+2 classes, which (very roughly) go from positive curvature to negative curvature.
Теорема гиперплоскости Гротендика-Лефшеца
Теорема Лефшеца о гиперплоскости утверждает, что для гладкого комплексного проективного многообразия X размерности не менее 4 и гладкого обильного делителя Y в X ограничение Pic(X) → Pic(Y) является изоморфизмом. Например, если Y — гладкое полное пересечение размерности не менее 3 в комплексном проективном пространстве, то группа Пикара Y изоморфна Z, порожденная ограничением прямой связки O(1) в проективном пространстве. Гротендик обобщил теорему Лефшеца в нескольких направлениях, включая произвольные базовые поля, сингулярные многообразия и результаты о локальных кольцах вместо проективных многообразий. В частности, если R — полное локальное кольцо с полным пересечением, которое является факториальным в коразмерности не более 3 (например, если нерегулярное множество R имеет коразмерность не менее 4), то R является областью однозначной факторизации (и, следовательно, каждый делитель Вейля на Spec(R) является картьевым). Ограничение на размерность здесь оптимально, что показано на примере трехмерного квадратичного конуса, приведенном выше.