Кіріспе
Топологиялық инвариант түйін теориясында түйіннің қолтаңбасы түйін теориясындағы топологиялық инвариант болып табылады. Оны Сейферт бетінен есептеуге болады. 3 сферадағы K түйіні үшін, оның шекарасы K болатын S Сейферт беті болады. S-тің Сейферт формасы – бұл S-ке нормальді бундельдің оң және теріс бағыттарында a және b-нің жылжуларын ескере отырып, байланыстырушы сан арқылы берілген жұптасу. (g – беттің туысы) негізін беру арқылы Сейферт формасы 2g x 2g Сейферт матрицасы V ретінде көрсетілуі мүмкін. Симметриялық билинейрлік форма ретінде қарастырылатын матрицаның қолтаңбасы – K түйінінің қолтаңбасы болып табылады.
The signature of a knot is a topological invariant in knot theory. It may be computed from the Seifert surface. Given a knot K in the 3 sphere, it has a Seifert surface S whose boundary is K. The Seifert form of S is the pairing given by taking the linking number where and indicate the translates of a and b respectively in the positive and negative directions of the normal bundle to S.
Given a basis for (where g is the genus of the surface) the Seifert form can be represented as a 2g by 2g Seifert matrix V, The signature of the matrix , thought of as a symmetric bilinear form, is the signature of the knot K.
Slice knots are known to have zero signature.
Түйреу түйіндерінің қолтаңбасы нөлге тең екені белгілі.
The signature of a knot is a topological invariant in knot theory. It may be computed from the Seifert surface. Given a knot K in the 3 sphere, it has a Seifert surface S whose boundary is K. The Seifert form of S is the pairing given by taking the linking number where and indicate the translates of a and b respectively in the positive and negative directions of the normal bundle to S.
Given a basis for (where g is the genus of the surface) the Seifert form can be represented as a 2g by 2g Seifert matrix V, The signature of the matrix , thought of as a symmetric bilinear form, is the signature of the knot K.
Slice knots are known to have zero signature.
Александр модулі формуласы
Тораптардың қолтаңбаларын тораптың толықтығының Александр модулі арқылы да анықтауға болады. толықтыру түйінінің жалпы абельдік жабыны болсын. Александр модулін түйін толықтығының жалпы абельдік жабынының бірінші гомология тобы деп қарастырайық: модуль берілген болса, оның негізгі модулі болып табылатын модулін деп белгілейік, бірақ онда жабынның кері түрленуі әрекет етеді. Бланчфилдтің Poincaré дуалдығының формуласы канондық изоморфизм береді, мұнда – компактты тіректері және коэффициенттері бар толықтыруының 2-ші когомология тобы. Универсалды коэффициент теоремасы канондық изоморфизм береді (өйткені Александр модулі бұрылыстық). Сонымен қатар, Poincaré дуалдығының квадраттық формасындай, модульдердің канондық изоморфизмі бар, мұнда – бөлшектер өрісін білдіреді. Бұл изоморфизмді сесквилинейлік дуалдық жұптастыру деп қарастыруға болады, мұнда – бөлшектер өрісін білдіреді. Бұл форма түйіннің Александр полиномы болып табылатын рационал полиномдарға ие, ол модуль ретінде -ке изоморфты. болып табылатын кез келген сызықтық функцияны қарастырайық, ол инволюциясы бойынша инвариантты, оны сесквилинейлік дуалдық жұптастырумен құрастыру -тағы симметриялық билинейлік форманы береді, оның қолтаңбасы түйіннің инварианты болып табылады. Мұндай барлық қолтаңбалар конкорданция инварианттары болып табылады, сондықтан барлық кесілген түйіндердің қолтаңбалары нөлге тең. Сесквилинейлік дуалдық жұптастыру -дың жай қуаттық ыдырауын сақтайды, яғни: жай қуаттық ыдырау -тың ортогональды ыдырауын береді. Черри Киртон осы жұптасудан Милнор қолтаңбасының инварианттарын қалай есептеуге болатынын көрсетті, олар Tristram-Levine инвариантына тең.