Введение

Топологический инвариант в теории узлов. Подпись узла — это топологический инвариант в теории узлов. Её можно вычислить, используя поверхность Зейферта. Для заданного узла K в 3-сфере существует поверхность Зейферта S, границей которой является K. Форма Зейферта поверхности S — это спаривание, задаваемое через связность, где и обозначают сдвиги кривых a и b соответственно в положительном и отрицательном направлениях нормального расслоения к S.

Задав базис для (где g — род поверхности), форму Зейферта можно представить в виде матрицы Зейферта V размера 2g x 2g. Подпись матрицы V, рассматриваемой как симметричная билинейная форма, является подписью узла K.

Известно, что разрезаемые узлы имеют нулевую подпись.

Формулировка модуля Александра

Подписи узлов также могут быть определены в терминах модуля Александра дополнения узла. Пусть – универсальное абелево накрытие дополнения узла. Рассмотрим модуль Александра как первую гомологическую группу универсального абелева накрытия дополнения узла: для данного модуля , обозначим модуль, базовый модуль которого равен , но на котором действует обратное покрывающее преобразование. Формулировка Бланчфилда двойственности Пуанкаре для дает канонический изоморфизм , где обозначает вторую когомологическую группу с компактными носителями и коэффициентами в . Теорема об универсальных коэффициентах для дает канонический изоморфизм с (поскольку модуль Александра является кручением). Более того, как и в квадратичной форме двойственности Пуанкаре, существует канонический изоморфизм модулей , где обозначает поле частных от . Этот изоморфизм можно рассматривать как сесквилинейное двойственное спаривание , где обозначает поле частных от . Эта форма принимает значения в рациональных многочленах, знаменателями которых являются многочлены Александра узла, который как модуль изоморфен к . Пусть – любая линейная функция, инвариантная относительно инволюции , тогда композиция с сесквилинейным двойственным спариванием дает симметричную билинейную форму на , чья сигнатура является инвариантом узла. Все такие сигнатуры являются инвариантами конкордантности, поэтому все сигнатуры разрезаемых узлов равны нулю. Сесквилинейное двойственное спаривание уважает разложение на простые степени – то есть: разложение на простые степени дает ортогональное разложение . Черри Киртон показал, как вычислить инварианты подписи Милнора из этого спаривания, которые эквивалентны инварианту Тристрама-Левина.