Кіріспе
Белгілі бір алгебралар шекті түрде туындай ма? Математикада Хилберттің он төртінші мәселесі, яғни 1900 жылы Хилберт ұсынған мәселелердің 14-шісі, белгілі бір алгебралардың шекті түрде туындайтынын сұрайды. Жағдай мынадай: k өрісі деп есептеліп, K – n айнымалыдағы рационалды функциялар өрісінің k үстіндегі қосалқы өрісі болсын, яғни k(x1, ..., xn) өрісінің қосалқы өрісі. Енді қиылыс ретінде анықталған k алгебрасы R-ді қарастырайық. Хилберт барлық мұндай алгебралардың k үстінде шекті түрде туындайтынын болжады. 1959 жылы Масаёси Нагата Хилберттің болжамына қарсы мысал келтірді. Нагатаның қарсы мысалы – сызықтық алгебралық топтың әрекеті үшін инварианттардың дұрыс құрастырылған сақинасы.
In mathematics, Hilbert's fourteenth problem, that is, number 14 of Hilbert's problems proposed in 1900, asks whether certain algebras are finitely generated. The setting is as follows: Assume that k is a field and let K be a subfield of the field of rational functions in n variables,
k(x1, , xn ) over k.
Consider now the k algebra R defined as the intersection
Hilbert conjectured that all such algebras are finitely generated over k.
Some results were obtained confirming Hilbert's conjecture in special cases and for certain classes of rings (in particular the conjecture was proved unconditionally for n = 1 and n = 2 by Zariski in 1954). Then in 1959 Masayoshi Nagata found a counterexample to Hilbert's conjecture. The counterexample of Nagata is a suitably constructed ring of invariants for the action of a linear algebraic group.
Тарих
Бұл мәселе бастапқыда алгебралық инварианттар теориясында туындады. Мұнда R сақинасы k өрісіндегі сызықтық алгебралық топтың полиномиялық инварианттарының сақинасы ретінде берілген (тиісінше анықталған), k[x1, …, xn] полиномиялық сақинасында алгебралық әрекет етеді (немесе жалпы алғанда, өрісте анықталған шекті түрде жасалған алгебрада). Бұл жағдайда K өрісі – алгебралық топтың берілген әрекеті астында инвариант болып табылатын xi айнымалыларындағы рационалды функциялардың (полиномиалдардың бөлінділері) өрісі, ал R сақинасы – әрекет астында инвариант болып табылатын полиномиалдардың сақинасы. XIX ғасырдағы классикалық мысал – бұл екі айнымалыдағы екілік формалардың инварианттарын, оларға SL2(k) арнайы сызықтық тобының табиғи әрекетін қолданып, жан-жақты зерттеу (әсіресе Кейли, Сильвестр, Клебш, Пол Гордан және Хилберт). Хилберт өзі күрделі сандар өрісінде кейбір классикалық жартылай қарапайым Ли топтары (әсіресе күрделі сандар бойынша жалпы сызықтық топ) және полиномиялық сақиналардағы нақты сызықтық әрекеттер үшін инвариант сақиналардың шекті түрде жасалуын дәлелдеді, яғни Ли тобының шекті өлшемді бейнелеулерінен туындаған әрекеттер. Бұл шектілік нәтижесі кейін Герман Вейльмен барлық жартылай қарапайым Ли топтарының класына дейін кеңейтілді. Хилберттің дәлелінің маңызды бөлігі – инварианттармен жасалған полиномиялық сақинаның ішіндегі идеалға қолданылатын Гильберттің негізгі теоремасы.
Зарискидің формуласы
Зарискидің Хилберттің он төртінші мәселесін қалыптастыруы, k даласының үстіндегі X квазиаффиндік алгебралық сортына, мүмкін X нормалды немесе тегіс деп есептесек, X-тегі реттелген функциялардың сақинасы k бойынша шекті түрде туындай ма деген сұрақ қояды.
Зарискидің қалыптастыруы, X нормалды болған жағдайда, бастапқы мәселеге эквивалентті екені дәлелденді. (Сондай-ақ қараңыз: Зарискидің шектілік теоремасы.) Эфендиев Ф. Ф. (Фуад Эфенди) r дәрежелі n-арлық формалардың инварианттарын жасайтын симметриялық алгоритмнің негізін ұсынды.
Нагатаның қарсы мысалы
Хилберт проблемасына қарсы келесі мысал келтірді. k өрісі – 48 элементтен тұратын, i=1, 2, 3 үшін a1i, …, a16i элементтерін қамтитын өріс, бұл элементтер жай өріс үстінен алгебралық тәуелсіз. R сақинасы – 32 айнымалыдан тұратын k[x1, …, x16, t1, …, t16] полиномдық сақинасы. V векторлық кеңістігі – k-ге бөлінген 13 өлшемді векторлық кеңістік, ол k16-дағы (b1, …, b16) түріндегі барлық векторлардан тұрады, бұл векторлар i=1, 2, 3 үшін үш вектордың әрқайсысына (a1i, …, a16i) ортогональды. V векторлық кеңістігі – қосылу бойынша 13 өлшемді коммутативті унипотентті алгебралық топ, ал оның элементтері R-ге tj элементтерінің бәрін өзгеріссіз қалдырып, xj-ді xj + bjtj-ге түрлендіру арқылы әрекет етеді. Онда V тобының әсерімен инвариантты R элементтерінің сақинасы шекті түрде құрылған k-алгебрасы емес. Бірнеше авторлар Нагата мысалында топтың және векторлық кеңістіктің өлшемдерін кішірейтті. Мысалы, кез келген өрісте үш қосымша топтың G қосындысының k18-ге әсер ететінін көрсетті, оның инварианттар сақинасы шекті түрде құрылмайды.