Введение

Являются ли определенные алгебры конечно порожденными?
В математике четырнадцатая проблема Гильберта, то есть номер 14 из проблем Гильберта, предложенных в 1900 году, спрашивает, являются ли определенные алгебры конечно порожденными. Постановка задачи следующая: предположим, что k – поле, и пусть K – подполе поля рациональных функций в n переменных, k(x1, …, xn) над k. Рассмотрим теперь k-алгебру R, определенную как пересечение. Гильберт предположил, что все такие алгебры конечно порождены над k. Некоторые результаты были получены, подтверждающие гипотезу Гильберта в частных случаях и для определенных классов колец (в частности, гипотеза была безусловно доказана для n = 1 и n = 2 Зариски в 1954 году). Затем в 1959 году Масаёси Нагата нашёл контрпример к гипотезе Гильберта. Контрпример Нагаты – это специально построенное кольцо инвариантов для действия линейной алгебраической группы.

История

Проблема изначально возникла в алгебраической инвариантной теории. Здесь кольцо R задается как (соответствующим образом определенное) кольцо полиномиальных инвариантов линейной алгебраической группы над полем k, действующей алгебраически на полиномиальном кольце k[x1, …, xn] (или, в более общем случае, на конечно порожденной алгебре, определенной над полем). В этой ситуации поле K является полем рациональных функций (частных от деления многочленов) в переменных xi, инвариантных относительно заданного действия алгебраической группы, а кольцо R – кольцом многочленов, инвариантных относительно этого действия. Классическим примером в девятнадцатом веке было обширное исследование (в частности, Кейли, Сильвестром, Клебшем, Полом Горданом и также Гильбертом) инвариантов бинарных форм в двух переменных с естественным действием специальной линейной группы SL2(k) на них. Сам Гильберт доказал конечность порождения инвариантных колец в случае поля комплексных чисел для некоторых классических полупростых групп Ли (в частности, общей линейной группы над комплексными числами) и конкретных линейных действий на полиномиальных кольцах, то есть действий, возникающих из конечномерных представлений группы Ли. Этот результат о конечности был позднее распространен Германом Вейлем на класс всех полупростых групп Ли. Важным элементом в доказательстве Гильберта является теорема Гильберта об основаниях, применяемая к идеалу внутри полиномиального кольца, порожденному инвариантами.

Формулировка Зариски

Формулировка Зариски четырнадцатой задачи Гильберта спрашивает, является ли кольцо регулярных функций на квазиаффинном алгебраическом многообразии X над полем k конечно порожденным над k, возможно, при условии, что X нормальное или гладкое.

Было показано, что формулировка Зариски эквивалентна исходной задаче для нормального X. (См. также: теорема о конечности Зариски.) Эфендиев Ф. Ф. (Фуад Эфенди) предложил симметричный алгоритм, генерирующий базис инвариантов n-арных форм степени r.

Контрпример Нагаты

дал следующий контрпример к проблеме Гильберта. Поле k – это поле, содержащее 48 элементов a1i, …, a16i для i = 1, 2, 3, которые алгебраически независимы над простым полем. Кольцо R – это кольцо многочленов k[x1, …, x16, t1, …, t16] от 32 переменных. Векторное пространство V – это 13-мерное векторное пространство над k, состоящее из всех векторов (b1, …, b16) в k16, ортогональных каждому из трех векторов (a1i, …, a16i) для i = 1, 2, 3. Векторное пространство V является 13-мерной коммутативной унипотентной алгебраической группой относительно сложения, и его элементы действуют на R, фиксируя все элементы tj и заменяя xj на xj + bjtj. Тогда кольцо элементов R, инвариантных относительно действия группы V, не является конечно порожденной k-алгеброй. Несколько авторов уменьшили размеры группы и векторного пространства в примере Нагаты. Например, было показано, что над любым полем существует действие суммы G трех копий аддитивной группы на k18, кольцо инвариантов которого не является конечно порожденным.