Сандардың қатынасы және бөлшектер

Кіріспе

Екі санның арақатынасы

Бөлшек (лат. *fractus* – "ұзынға созылған") – бүтіннің бір бөлігін немесе, жалпы алғанда, тең бөліктердің кез келген санын көрсетеді. Күнделікті тілде бөлшек белгілі бір мөлшердің қанша бөлігі бар екенін сипаттайды, мысалы, жарты, сегізден бес, үштен екі. Жалпы, қарапайым немесе бөлшек (мысалы: және ) – бүтін санды санағыштан (сызықтың үстінде немесе 1/2 сияқты сызықшаның алдында) және нөлден өзге бүтін санды атаулыштан (сызықтың астында немесе кейін) тұрады. Егер бұл сандар оң болса, санағыш тең бөліктердің санын, ал атаулыш – бірлікке немесе бүтінге қанша бөлік кіретінін көрсетеді. Мысалы, бөлшекте , 3 санағышы 3 тең бөлікті, ал 4 атаулышы бүтінге 4 бөлік кіретінін көрсетеді. Оң жақтағы сурет торттың бөлігін көрсетеді. Бөлшектер қатынастарды және бөлуді көрсету үшін де қолданылады. Сондықтан бөлшек 3:4 қатынасын (бөліктің бүтінге қатынасы) және 3 ÷ 4 бөлуді (үшті төртке бөлу) көрсетуге де пайдаланылады. Оң бөлшектің қарамағын көрсететін теріс бөлшектерді де жазуға болады. Мысалы, егер жарты доллар пайда болса, онда – жарты доллар шығын дегенді білдіреді. Санақтың белгісін бөлу ережесіне сәйкес (теріс санды оң санға бөлгенде теріс сан шығады), – және – бірдей, олардың бәрі де теріс жартыны көрсетеді. Ал теріс санды теріс санға бөлгенде оң сан шығады, сондықтан оң жартыны көрсетеді. Математикада рационал сан – a және b бүтін сандар, ал b нөлге тең емес бөлшек түрінде көрсетілетін сан; барлық рационал сандар жиыны Q немесе 1= \mathbb{Q} символымен белгіленеді, ол «квота» дегенді білдіреді. «Бөлшек» термині мен белгісі рационал санды көрсетпейтін (мысалы, ) және тіпті ешқандай санды көрсетпейтін (мысалы, рационал бөлшек ) математикалық өрнектер үшін де қолданылады.

A fraction (from fractus, "broken") represents a part of a whole or, more generally, any number of equal parts. When spoken in everyday English, a fraction describes how many parts of a certain size there are, for example, one half, eight fifths, three quarters. A common, vulgar, or simple fraction (examples: and ) consists of an integer numerator, displayed above a line (or before a slash like 1/2), and a non zero integer denominator, displayed below (or after) that line. If these integers are positive, then the numerator represents a number of equal parts, and the denominator indicates how many of those parts make up a unit or a whole. For example, in the fraction , the numerator 3 indicates that the fraction represents 3 equal parts, and the denominator 4 indicates that 4 parts make up a whole. The picture to the right illustrates of a cake. Other uses for fractions are to represent ratios and division. Thus the fraction can also be used to represent the ratio 3:4 (the ratio of the part to the whole), and the division 3 ÷ 4 (three divided by four). We can also write negative fractions, which represent the opposite of a positive fraction. For example, if represents a half dollar profit, then − represents a half dollar loss. Because of the rules of division of signed numbers (which states in part that negative divided by positive is negative), −, and all represent the same fraction negative one half. And because a negative divided by a negative produces a positive, represents positive one half. In mathematics a rational number is a number that can be represented by a fraction of the form , where a and b are integers and b is not zero; the set of all rational numbers is commonly represented by the symbol Q or 1= \mathbb{Q} , which stands for quotient. The term fraction and the notation can also be used for mathematical expressions that do not represent a rational number (for example ), and even do not represent any number (for example the rational fraction ).

Сөздік

Бөлшекте сипатталатын тең бөліктердің саны – санаушы (numerātor, “саны” немесе “санаушы”), ал бөліктердің түрі немесе әртүрлілігі – атаушы (dēnōminātor, “атауы немесе белгілейтін нәрсе”). Мысалы, бөлшектің саны сегіз бөлікке тең, олардың әрқайсысы “бесінші” деп аталады. Бөлу амалында санаушы дивидендке, ал атаушы бөлгішке сәйкес келеді. Күнделікті сөйлеуде санаушы мен атаушы тек орналасуымен ажыратылады, бірақ ресми жағдайда олар әдетте бөлшек сызығымен бөлінеді. Бөлшек сызығы көлденең (мысалы, ), көлбеу (мысалы, 2/5) немесе диагональды (мысалы, ) болуы мүмкін, сондай-ақ бөлшек кесігі деп те аталады. Типографияда тік қатарланған бөлшектер “en” немесе “nut fractions” деп, ал диагональды бөлшектер “em” немесе “mutton fractions” деп аталады, себебі бір таңбалы санаушысы мен атаушысы бар бөлшек тар en квадраттың немесе кең em квадраттың қандай бөлігін алып тұрғанына байланысты. Дәстүрлі қаріп жасауда толық бөлшек (мысалы, ) бар қаріптік элемент “кейс фракциясы” деп, ал бөлшектің тек бір бөлігін көрсететін элементтер “бөлшек элементтері” деп аталады. Ағылшын тіліндегі бөлшектердің атаушылары көбінесе реттік сандармен беріледі, егер санаушысы 1-ге тең болмаса, көпше түрінде. (Мысалы, және екеуі де “бесінші” сандары ретінде оқылады.) Ерекше жағдайларға 2 атаушысы жатады, ол әрқашан “жарты” немесе “жартылары” деп оқылады, 4 атаушысы, оны “төрттен бірі”/“төрттен бірлері” немесе “төртінші”/“төртіншілері” деп те айтуға болады, және 100 атаушысы, оны “жүзінші”/“жүздіктер” немесе “пайыз” деп те айтуға болады. Атаушысы 1 болғанда, оны “толық” түрінде айтуға болады, бірақ көбінесе санаушыны бүтін сан ретінде оқып, атаушыны елеуге болады. Мысалы, “үш толық” немесе жай ғана “үш” деп айтуға болады. Санаушысы 1 болғанда, оны жіберуге болады (мысалы, “оннан бір” немесе “әр төрттен бірі”). Бүкіл бөлшекті бір тіркес ретінде беруге болады, онда ол дефиспен байланысады, немесе санаушысы 1-ге тең бөлшектердің жиынтығы ретінде беруге болады, онда дефис қолданылмайды. (Мысалы, “екі бестен бір” бөлшегіне тең, ал “екі бестен бір” – бұл бөлшектің 2 данасы ретінде түсініледі.) Бөлшектерді қасиеттік сөз ретінде қолданғанда әрқашан дефиспен жазу керек. Сонымен қатар, бөлшекті санаушысының үстінен атаушысы оқылатын түрінде де беруге болады, атаушысы кардинал санмен беріледі. (Мысалы, “үштен бір” деп те айтуға болады.) “Үстінен” сөзі сол символдердің арасында сызық белгісі қойылған бөлшектерде де қолданылады. (Мысалы, 1/2 “бір жартысы”, “бір жартысы” немесе “бірден екіге” деп оқылуы мүмкін.) Үлкен атаушылары бар және онның дәрежесіне тең емес бөлшектер көбінесе осылай беріледі (мысалы, “бір жүз он жетіден бір”), ал онға бөлінетін атаушылары бар бөлшектер әдетте реттік санмен оқылады (мысалы, “алты миллионнан бір”, “алты миллионнан бір” немесе “алты бір миллионнан”).

In a fraction, the number of equal parts being described is the numerator (from numerātor, "counter" or "numberer"), and the type or variety of the parts is the denominator (from dēnōminātor, "thing that names or designates"). As an example, the fraction amounts to eight parts, each of which is of the type named "fifth". In terms of division, the numerator corresponds to the dividend, and the denominator corresponds to the divisor. Informally, the numerator and denominator may be distinguished by placement alone, but in formal contexts they are usually separated by a fraction bar. The fraction bar may be horizontal (as in ), oblique (as in 2/5), or diagonal (as in ). or fraction slash. In typography, fractions stacked vertically are also known as "en" or "nut fractions", and diagonal ones as "em" or "mutton fractions", based on whether a fraction with a single digit numerator and denominator occupies the proportion of a narrow en square, or a wider em square. In traditional typefounding, a piece of type bearing a complete fraction (e. g. ) was known as a "case fraction", while those representing only part of fraction were called "piece fractions". The denominators of English fractions are generally expressed as ordinal numbers, in the plural if the numerator is not 1. (For example, and are both read as a number of "fifths".) Exceptions include the denominator 2, which is always read "half" or "halves", the denominator 4, which may be alternatively expressed as "quarter"/"quarters" or as "fourth"/"fourths", and the denominator 100, which may be alternatively expressed as "hundredth"/"hundredths" or "percent". When the denominator is 1, it may be expressed in terms of "wholes" but is more commonly ignored, with the numerator read out as a whole number. For example, may be described as "three wholes", or simply as "three". When the numerator is 1, it may be omitted (as in "a tenth" or "each quarter"). The entire fraction may be expressed as a single composition, in which case it is hyphenated, or as a number of fractions with a numerator of one, in which case they are not. (For example, "two fifths" is the fraction and "two fifths" is the same fraction understood as 2 instances of .) Fractions should always be hyphenated when used as adjectives. Alternatively, a fraction may be described by reading it out as the numerator "over" the denominator, with the denominator expressed as a cardinal number. (For example, may also be expressed as "three over one".) The term "over" is used even in the case of solidus fractions, where the numbers are placed left and right of a slash mark. (For example, 1/2 may be read "one half", "one half", or "one over two".) Fractions with large denominators that are not powers of ten are often rendered in this fashion (e. g., as "one over one hundred seventeen"), while those with denominators divisible by ten are typically read in the normal ordinal fashion (e. g., as "six millionths", "six millionths", or "six one millionths").

Қарапайым, жалпы немесе қарапайым фракциялар

Қарапайым бөлшек (сондай-ақ, жалпы бөлшек немесе қарапайым бөлшек деп аталады, мұнда "қарапайым" латын тілінде "жалпы" деген мағынаны білдіреді) – a/b немесе 1= \tfrac{a}{b} түрінде жазылған рационал сан, мұндағы a және b – бүтін сандар. Басқа бөлшектердегідей, б) атауыш нөлге тең болмауы керек. Мысалдар: , −, , және . Бұл термин бастапқыда осы типтегі бөлшекті астрономияда қолданылатын секстезималды бөлшектен ажырату үшін пайдаланылған. Жалпы бөлшектер оң немесе теріс болуы мүмкін, сондай-ақ дұрыс немесе бұрыс болуы мүмкін (төменде қараңыз). Құрама бөлшектер, күрделі бөлшектер, аралас сандар және ондық бөлшектер (төменде қараңыз) жалпы бөлшектер емес; бірақ, иррационал болмаса, оларды жалпы бөлшек түрінде көрсетуге болады. Бірлік бөлшек – 1-ге тең алымы бар жалпы бөлшек (мысалы, ). Бірлік бөлшектерді теріс дәрежелерді пайдаланып та көрсетуге болады, мысалы, 2−1, бұл 1/2-ні, ал 2−2 – 1/(22) немесе 1/4-ті білдіреді. Диадикалық бөлшек – атауышы екінің дәрежесі болатын жалпы бөлшек, мысалы: = . Юникодта алдын ала құрастырылған бөлшек символдары "Number Forms" блогында орналасқан.

Өзгеше және ерекше емес бөлшектер

Жалпы бөлшектер дұрыс немесе дұрыс емес деп жіктелуі мүмкін. Айтқыш пен бөлгіш екеуі де оң болса, айтқыш бөлгіштен кіші болса, бөлшек дұрыс деп аталады, әйтпесе дұрыс емес болады. "Дұрыс емес бөлшек" ұғымы кейінірек пайда болды, терминологиясы "бөлшек" сөзінің "бір бөлік" мағынасынан туындаған, сондықтан дұрыс бөлшек 1-ден кіші болуы керек. Жалпы, егер бөлшектің абсолюттік мәні бірден кем болса, яғни бөлшек -1-ден үлкен және 1-ден кіші болса, онда ол дұрыс бөлшек деп аталады. Ал бөлшектің абсолюттік мәні 1-ге тең немесе одан артық болса, ол дұрыс емес бөлшек немесе кейде "беттік" бөлшек деп аталады. Дұрыс бөлшектердің мысалдары: 2/3, −3/4 және 4/9, ал дұрыс емес бөлшектердің мысалдары: 9/4, −4/3 және 3/3.

Өзара және "көрінбейтін атаушы"

Бөлшектің кері шамасы – бөлшектің алымы мен бөлімі ауыстырылған басқа бір бөлшек. Мысалы, бөлшегінің кері шамасы – . Бөлшек пен оның кері шамасының көбейтіндісі 1-ге тең, сондықтан кері шама – бөлшектің көбейтуге қатысты кері шамасы. Дұрыс бөлшектің кері шамасы бұрыс бөлшек болады, ал 1-ге тең емес бұрыс бөлшектің (яғни, алымы мен бөлімі тең емес) кері шамасы дұрыс бөлшек болады. Егер бөлшектің алымы мен бөлімі тең болса (мысалы, ), оның мәні 1-ге тең болады, сондықтан бөлшек бұрыс болады. Оның кері шамасы өзімен бірдей, демек 1-ге тең және бұрыс. Кез келген бүтін санды 1-ді бөлімге жазып бөлшек түрінде көрсетуге болады. Мысалы, 17 санын деп жазуға болады, мұнда 1 кейде көрінбейтін бөлім деп аталады. Сондықтан нөлден басқа кез келген бөлшек немесе бүтін санның кері шамасы болады. Мысалы, 17 санының кері шамасы – .

Ондық бөлшектер мен пайыздар

Ондық бөлшек – бұл бөлшектің атауы тікелей берілмеген, бірақ онның толық сандық дәрежесі ретінде түсінілетін бөлшек. Ондық бөлшектер көбінесе ондық белгілер арқылы көрсетіледі, онда түйсікті атаушы ондық белгінің оң жағындағы цифрлар санымен анықталады, ал оның түрі (мысалы, нүкте, нүкте (·), үтір) жергілікті стандартқа байланысты (ондық белгіні қараңыз). Осылайша, 0,75 үшін алымы 75, ал түйсікті атаушы 10-ның екінші дәрежесі, яғни 100, себебі ондық белгінің оң жағында екі цифр бар. 1-ден үлкен ондық сандарда (мысалы, 3,75) саның бөлшек бөлігі ондық белгінің оң жағындағы цифрлармен көрсетіледі (осы жағдайда 0,75 мәнімен). 3,75-ті дұрыс емес бөлшек ретінде 375/100 немесе аралас сан ретінде жазуға болады. Ондық бөлшектерді ғылыми нотацияда теріс көрсеткіштермен де көрсетуге болады, мысалы, 6,023 – 0,0000006023-ті білдіреді. e=7 – 107-ге тең атаушыны білдіреді. e=7-ге бөлу ондық белгіні солға 7 тамызға жылжытады. Ондық белгінің оң жағында шексіз көп цифры бар ондық бөлшектер шексіз қатарды білдіреді. Мысалы, 1/3 = 0,333… – 3/10 + 3/100 + 3/1000 + … шексіз қатарын білдіреді.

Тағы бір бөлшек түрі – процент (символмен (%) белгіленеді, «жүзден» дегенді білдіреді), онда түйсікті атаушы әрқашан 100 болады. Осылайша, 51% – 51/100 дегенді білдіреді. 100-ден жоғары немесе 0-ден төмен проценттер де сол сияқты қарастырылады, мысалы, 311% – 311/100, ал -27% – -27/100. Байланысты түсінік – мыңға шаққандағы (промилле, ppt) көрсеткіш, онда түйсікті атаушы 1000-ға тең, ал жалпылама «мыңнан бір бөлік» (ppm) көрсеткіші 75 миллионнан бір бөлік (ppm) дегенді білдіреді, яғни пропорция 75/1 000 000-ға тең. Қай бөлшектерді – жалпы бөлшектерді немесе ондық бөлшектерді – қолдану көбінесе талғам мен жағдайға байланысты. Жалпы бөлшектер көбінесе атаушы салыстырмалы түрде кішкентай болғанда қолданылады. 16-ны 3/16-ға көбейту, осы есептің ондық эквивалентін (0,1875) қолдануға қарағанда, есептеуді ойша оңайырақ жасауға болады. Сонымен қатар, мысалы, 15-ті 1/3-ке көбейту, 1/3-тің кез келген ондық шамасына көбейтуге қарағанда дәлірек болады. Ақша сомалары көбінесе ондық бөлшектер түрінде 100 атаушымен, яғни екі ондық таңбамен көрсетіледі, мысалы, $3,75. Алайда, жоғарыда айтылғандай, британдық валюта жүйесінде ондық жүйеге көшуден бұрын шиллинг пен пенс көбінесе бөлшек түрінде (бірақ мағынасы емес) берілетін, мысалы, «3/6» (оқылуы «үш және алты») 3 шиллинг пен 6 пенске тең болатын және 3/6 бөлшегімен ешқандай қатысы жоқ.

Аралас сандар

Аралас сан (аралас бөлшек немесе аралас сан деп те аталады) – нөлден өзге бүтін сан мен дұрыс бөлшектің қосындысы, әдетте екі бөлігі тікелей жазылады (немесе біріктіріледі), аралық плюс (+) немесе минус (-) таңбасы қолданылмайды. Бөлшек көлденең жазылғанда, оларды бөлу үшін бүтін сан мен бөлшектің арасына бос орын қосылады. Мысалы, екі торт пен тағы бір торттың үштен бірі екі торт немесе торт деп жазылуы мүмкін, мұнда сан – торттардың толық санын, ал бөлшек – қосымша бөлігін көрсетеді; бұл «екі торт плюс үштен бір торт» дегеннен гөрі ықшам. Аралас сан «екі бүтін үштен бір» деп айтылады, бүтін сан мен бөлшектің бөліктері «және» сөзімен байланыстырылады. Кез келген аралас санға теріс белгі қою немесе алу операциясы қолданылады, яғни, .

Кез келген аралас санды, әртүрлі санды қосу ережесін қолдану арқылы, бұрыс бөлшекке айналдыруға болады. Мысалы, . Керісінше, бұрыс бөлшекті аралас санға айналдыру үшін бөлу амалы қолданылады, мұнда дұрыс бөлшектің алымы – бөліндінің қалдығына тең болады. Мысалы, 11-ді 4-ке бөлгенде екі толық шығады да, 3 қалдық болады, демек .

Бастауыш мектепте мұғалімдер әдетте барлық бөлшектік нәтижені аралас сан түрінде жазуды талап етеді. Мектептен тыс аралас сандар көбінесе өлшемдерді сипаттау үшін қолданылады, мысалы, 2 1/2 сағат немесе 5 3/16 дюйм, және күнделікті өмірде, сондай-ақ кәсіптерде, әсіресе ондық метрикалық жүйені пайдаланбайтын аймақтарда кеңінен таралған. Дегенмен, ғылыми өлшемдерде әдетте ондық бөлшектерге негізделген метрикалық жүйе қолданылады, ал орта мектептен бастап математика оқыту әр бөлшекті рационал сан ретінде, бүтін сандардың бөліндісі ретінде қарастырады, «бұрыс бөлшек» және «аралас сан» ұғымдарын ескірген деп есептейді. Математикалық білімі бар студенттер аралас сандармен қайта кездескенде шатасуы мүмкін, себебі олар алгебралық өрнектердегі жапсарлас жазу көбейтуді білдіреді дегенге дағдыланған.

Мысыр фракциясы

Мысырлық бөлшек – бұл әртүрлі оң бірлік бөлшектердің қосындысы, мысалы. Бұл анықтама ежелгі мысырлықтардың барлық бөлшектерді , және осылайша көрсеткендігінен туындайды. Кез келген оң рационалды санды мысырлық бөлшек түрінде жазуға болады. Мысалы, санын мысырлық бөлшектер арқылы былай жазуға болады. Кез келген оң рационалды санды бірлік бөлшектердің қосындысы ретінде шексіз көп тәсілмен жазуға болады. санын жазудың екі тәсілі – және .

Күрделі және құрама фракциялар

Күрделі бөлшекте, либо есептегіш, либо бөлім, немесе екеуі де бөлшек немесе аралас сан түрінде болады, бұл бөлшектерді бөлуге сәйкес келеді. Мысалы, және – күрделі бөлшектер. "Қабаттасқан" түрінде жазылған ішкі бөлшектерді түсіндіру үшін, қысқа бөлік сызықтарын ұзын сызықтардың ішіндегідей қарастырыңыз. Күрделі бөлшектерді өзара теріс санға көбейту арқылы жеңілдетуге болады, мысалы: Күрделі бөлшектерді қай бөлшектің екіншісіне енгенін көрсететін нақты белгісіз жазуға болмайды, себебі мұндай өрнектер мағынасыз. Мысалы, өрнекті мүмкін түрде былай түсіндіруге болады: немесе: мағынасын нақтылау үшін бөлшектерді ерекше бөлігіштерді пайдаланып жазуға немесе нақты жақшаларды қосуға болады, яғни немесе. Құрама бөлшек – бұл бөлшектің бөлшегі, немесе "of" сөзімен байланысқан кез келген сан, және қазір нақты анықталмаған түрде қолданылады, тіпті бір-біріне синоним ретінде немесе аралас сандар үшін қолданылады. Олар техникалық терминдер ретінде мағынасын жоғалтты және "күрделі" және "құрама" сипаттамалары "бөліктерден тұратын" күнделікті мағынасында қолданылады.

Бөлшек сандармен арифметика

Бүкіл сандар сияқты, бөлшектер де алмастыру, топтастыру және таралу заңдарына, сондай-ақ нөлге бөлуге тыйым салатын ережеге бағынады. Аралас сандармен арифметикалық амалдарды әр аралас санды бұрыс бөлшекке айналдыру арқылы немесе әрқайсысын бүтін сан және бөлшектің қосындысы ретінде қарастыру арқылы жасауға болады.

Теңдес бөлшектер

Бөлшектің еселігі мен бөлімін бірдей (нөл емес) санға көбейту нәтижесінде бастапқы бөлшекке тең келетін бөлшек шығады. Бұл себебі, кез келген нөл емес сан үшін, сол санның 1-ге бөлінуі 1-ге тең болады. Демек, сол санға көбейту – бірге көбейтумен бірдей, ал бірге көбейтілген кез келген сан бастапқы санмен бірдей мәнге ие. Мысал ретінде, 1/2 бөлшегінен бастайық. Еселігі мен бөлімін 2-ге көбейткенде, нәтижесі 2/4 болады, ол 1/2-ге тең мәнге (0.5) ие. Бұл суретті көз алдыңызға елестету үшін, тортты төрт бөлікке бөліңіз; осы төрт бөліктің екі бөлігі торттың жартысын құрайды.

Қосу

Қосудың бірінші ережесі - тек бірдей шамаларды қосуға болады; мысалы, әртүрлі мөлшердегі шиліңдерді. Бір-бірінен өзгеше шамаларды, мысалы, үштен бір бөлігін төрттен бір бөлігіне қосу үшін, оларды төменде сипатталғандай бірдей шамаларға келтіру керек: бір қалтада екі шилің, екінші қалтада үш шилің бар деңіз; барлығы бес шилің. Төрт шилің бір (доллар) тең болғандықтан, оны былай көрсетуге болады: .

Бір бөлшекті екінші бөлшекке көбейту

Бөлшектерді көбейту үшін, сандарды көбейтіп, атаушыларды көбейту керек. Осылайша:

Процесті түсіндіру үшін, төрттен бір бөлігінің үштен бірін қарастырайық. Тортты мысалға келтірсек, егер тең өлшемді үш кесек төртінші бөлігін құраса, ал төрт төртінші бөлігін бүтін болса, онда осы он екі бірдей кесек бүтін болады. Демек, төрттен бірінің үштен бірі он екіншісі. Енді сандарды қарастырайық. Бірінші бөлшек, үштен екісі, үштен бірінен екі есе үлкен. Егер төрттен үштен бірі он екінші бөліктен бір болса, төрттен екі үштен бірі он екінші бөліктен екі болады. Екінші бөлшек, үш төрттен бірі, төрттен бірден үш есе үлкен, сондықтан үштен екісінің үш төрттен бірінен үш есе үлкен. Осылайша, үштен екісі үш төрттен біріне тең алты он екіншіге. Бөлшектерді көбейтудің қысқа жолы – "қысқарту" деп аталады. Бұл жағдайда, көбейту кезінде жауап ең төменгі түрге дейін келтіріледі. Мысалы:

Екі – сол жақ бөлшектің саны мен оң жақ бөлшектің атауындағы ортақ көбейткіш, және олардың екеуі де осы санға бөлінеді. Үш – сол жақ бөлшектің атауы мен оң жақ бөлшектің санындағы ортақ көбейткіш, және олардың екеуі де осы санға бөлінеді.

Бөлшек санды бүтін санға көбейту

Бүкіл санды 1-ге бөлгенде жаңадан жазуға болады, сондықтан қалыпты бөлшекті көбейту ережелері бұрынғысынша қолданылады. Бұл әдіс себебі 6/1 бөлшегі алты тең бөліктен тұрады, олардың әрқайсысы – толық сан.

Аралас сандарды көбейту

Аралас сандардың көбейтіндісін есептеу үшін әрқайсысын бұрыс бөлшекке айналдыру керек. Мысалы:

Сонымен қатар, аралас сандарды қосынды түрінде қарастырып, екімүшелерді көбейту тәсілімен де есептеуге болады. Осы мысалда:

Бөлім

Бөлшекке бүтін санды бөлу үшін, егер бүтін сан алымға қалдықсыз бөлінсе, алымды сол санға бөліңіз немесе бөлімді сол санға көбейтіңіз. Мысалы, тең және сондай-ақ тең , осыдан кешіріледі . Санды бөлшекке бөлу үшін, сол санды бөлшектің кері санына көбейтіңіз. Осылайша, .

Ондық сандар мен бөлшек сандарды аудару

Ортақ бөлшекті ондыққа айналдыру үшін, алымның ондық түрін бөлімге ұзақ бөліңіз (бұл "бөлімді алымға бөлу" деп те айтылады) және нәтижені қажетті дәлдікке дейін дөңгелеңіз. Мысалы, бөлшекті ондыққа айналдыру үшін 1,00-ді 4-ке ("1,00-ді 4-ке") бөліп, 0,25-ті шығаруға болады. Бөлшекті ондыққа айналдыру үшін 1,000-ді 3-ке ("1,000-ді 3-ке") бөліңіз және қажетті дәлдікке жеткенде тоқтатыңыз, мысалы, 4 ондық таңбаға дейін 0,3333. Бөлшекті екі ондық таңбамен нақты жазуға болады, ал бөлшекті шекті сандар санымен ондық сан ретінде нақты жазу мүмкін емес. Ондық санды бөлшекке айналдыру үшін, бөлімге 1 және ондық нүктенің оң жағындағы таңбалар санына сәйкес нөлдерді жазыңыз, ал алымға ондық нүктенің өзінен басқа ондық санның барлық таңбаларын жазыңыз. Осылайша

Алгебралық бөлшектер

Алгебралық бөлшек – екі алгебралық өрнектің бөліндісі. Бүтін сандардың бөлшектері сияқты, алгебралық бөлшектің бөлімі нөлге тең болмайды. Алгебралық бөлшектердің екі мысалы: және 1= \frac{\sqrt{x+2} }{x^2 3}. Алгебралық бөлшектер арифметикалық бөлшектерге тән өріс қасиеттерімен бірдей. Егер алымы мен бөлімі көпмүшелер болса, мысалы 1= \frac{3x}{x^2+2x 3}, онда алгебралық бөлшек рационалды бөлшек (немесе рационалды өрнек) деп аталады. Иррационалды бөлшек – рационалды емес бөлшек, мысалы, алымында немесе бөлімінде бөлшектік көрсеткіш немесе түбір бар бөлшек, мысалы 1= \frac{\sqrt{x+2} }{x^2 3}. Алгебралық бөлшектерді сипаттау үшін қолданылатын терминология, қалыпты бөлшектер үшін қолданылатын терминологияға ұқсас. Мысалы, алгебралық бөлшек ең қарапайым түрінде болады, егер алымы мен бөлімінің жалғыз ортақ көбейткіштері 1 және -1 болса. Алымында немесе бөлімінде, немесе екеуінде де бөлшек бар, мысалы 1= \frac{1 + \tfrac{1}{x} }{1 \tfrac{1}{x} }, алгебралық бөлшек күрделі бөлшек деп аталады. Рационалды сандар өрісі – бүтін сандардың бөлшектер өрісі, ал бүтін сандар өріс емес, оның орнына интегралдық домен болып табылады. Сол сияқты, өрістегі коэффициенттері бар рационалды бөлшектер, сол өрістегі коэффициенттері бар көпмүшелердің бөлшектер өрісін құрайды. Рационалды бөлшектерді нақты коэффициенттері бар деп есептегенде, сандарды көрсететін радикалдық өрнектер, мысалы 1= \textstyle \sqrt{2}/2, сондай-ақ рационалды бөлшектер болып табылады, сонымен қатар трансценденттік сандар да, себебі олардың барлығы нақты сандар және осылайша коэффициенттер ретінде қарастырылады. Дегенмен, бұл сандар бүтін коэффициенттері бар рационалды бөлшектер емес. Рационалды бөлшектерді қарапайым бөлшектердің қосындысына жіктеу кезінде ішінара бөлшектер термині қолданылады. Мысалы, рационалды бөлшекті екі бөлшектің қосындысы түрінде жіктеуге болады: 1= \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x 1}. Бұл рационалды функциялардың туындыларын есептеу үшін пайдалы (толығырақ ақпарат алу үшін ішінара бөлшектерге жіктеуді қараңыз).

An algebraic fraction is the indicated quotient of two algebraic expressions. As with fractions of integers, the denominator of an algebraic fraction cannot be zero. Two examples of algebraic fractions are and 1= \frac{\sqrt{x+2} }{x^2 3} Algebraic fractions are subject to the same field properties as arithmetic fractions. If the numerator and the denominator are polynomials, as in 1= \frac{3x}{x^2+2x 3} , the algebraic fraction is called a rational fraction (or rational expression). An irrational fraction is one that is not rational, as, for example, one that contains the variable under a fractional exponent or root, as in 1= \frac{\sqrt{x+2} }{x^2 3}
The terminology used to describe algebraic fractions is similar to that used for ordinary fractions. For example, an algebraic fraction is in lowest terms if the only factors common to the numerator and the denominator are 1 and −1. An algebraic fraction whose numerator or denominator, or both, contain a fraction, such as 1= \frac{1 + \tfrac{1}{x} }{1 \tfrac{1}{x} } , is called a complex fraction. The field of rational numbers is the field of fractions of the integers, while the integers themselves are not a field but rather an integral domain. Similarly, the rational fractions with coefficients in a field form the field of fractions of polynomials with coefficient in that field. Considering the rational fractions with real coefficients, radical expressions representing numbers, such as 1= \textstyle \sqrt{2}/2 , are also rational fractions, as are a transcendental numbers such as since all of and are real numbers, and thus considered as coefficients. These same numbers, however, are not rational fractions with integer coefficients. The term partial fraction is used when decomposing rational fractions into sums of simpler fractions. For example, the rational fraction can be decomposed as the sum of two fractions: 1= \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x 1} This is useful for the computation of antiderivatives of rational functions (see partial fraction decomposition for more).

Радикалды өрнектер

Бөлшек санның алымында немесе бөлімінде радикалдар болуы мүмкін. Егер бөлімінде радикалдар болса, оны рационалдау пайдалы болуы мүмкін (салыстырып қараңыз Радикалдық өрнектің оңайлатылған түрі), әсіресе осы бөлшекті басқа бір бөлшекпен қосу немесе салыстыру сияқты қосымша амалдар орындалса. Бөлуді қолмен жасауға да ыңғайлы. Бөлшектің алымын да, бөлімін де бөліммен көбейту арқылы бірмүшелік квадрат түбірлі бөлімді рационалдауға болады:

Биномдық бөлімдерді рационалдау процесі бөлшектің алымын да, бөлімін де бөлімнің түйіндесімен көбейтуді қамтиды, сонда бөлім рационал санға айналады. Мысалы:

Осы процесс нәтижесінде алымы иррационал санға айналса да, жоғарыдағы мысалдардағыдай, процесс деноминаторда жұмыс істеуге қажетті иррационалдар санын азайту арқылы келесі амалдарды жеңілдетуі мүмкін.

Педагогикалық құралдар

Бастауыш мектептерде бөлшектер Куизенер таяқшалары, бөлшек тақталары, бөлшек жолақтары, бөлшек шеңберлері, қағаз (жұқтауға немесе кесуге арналған), үлгі блоктары, дөңгелек пішіндес бөліктер, пластикалық тіктөртбұрыштар, торлы қағаз, нүктелі қағаз, геотақталар, есептеу кестелері және компьютерлік бағдарламалар арқылы көрсетілген.

Мұғалімдерге арналған құжаттар

АҚШ-тың бірнеше штаты Common Core State Standards Initiative ұсынған математикалық білім беру нұсқаулықтарынан оқыту жолдарына көшті. Бөлшектерді және бөлшектермен амалдарды үйрену ретін анықтаудан басқа, құжат бөлшекке мынадай анықтама береді: "Бүтін сан және оң бүтін сан түрінде өрнектелетін сан (осы стандарттардағы «бөлшек» сөзі әрқашан теріс емес санды білдіреді)". Дегенмен, құжаттың өзінде теріс бөлшектер де кездеседі.