Введение

Соотношение двух чисел

Дробь (от латинского fractus, "разбитый") представляет собой часть целого или, в более общем смысле, любое число равных частей. В повседневной речи дробь описывает, сколько частей определенного размера имеется, например, одна вторая, восемь пятых, три четверти. Обыкновенная, вульгарная или простая дробь (например: и ) состоит из целого числителя, записанного над чертой (или перед косой чертой, как в 1/2), и ненулевого целого знаменателя, записанного под чертой (или после нее). Если эти целые числа положительные, то числитель указывает количество равных частей, а знаменатель – количество таких частей, составляющих единицу или целое. Например, в дроби , числитель 3 указывает, что дробь представляет 3 равные части, а знаменатель 4 указывает, что целое состоит из 4 частей. Изображение справа иллюстрирует торта. Дроби также используются для представления отношений и деления. Таким образом, дробь можно использовать для представления отношения 3:4 (отношение части к целому) и деления 3 ÷ 4 (три разделить на четыре). Можно также записывать отрицательные дроби, которые представляют противоположность положительной дроби. Например, если представляет прибыль в полдоллара, то − представляет убыток в полдоллара. В соответствии с правилами деления чисел с разными знаками (которые, в частности, гласят, что отрицательное число, деленное на положительное, дает отрицательный результат), −, и все представляют одну и ту же дробь – минус одну вторую. А поскольку отрицательное число, деленное на отрицательное, дает положительный результат, представляет положительную одну вторую. В математике рациональное число – это число, которое можно представить в виде дроби , где a и b – целые числа, причём b не равно нулю; множество всех рациональных чисел обычно обозначается символом Q или 1= \mathbb{Q}, что означает частное. Термин "дробь" и обозначение также могут использоваться для математических выражений, которые не представляют рациональное число (например, ), и даже не представляют никакого числа (например, рациональная дробь ).

Словарь

В дроби число равных частей, которые описываются, является числителем (от лат. *numerātor* – «счетчик» или «числитель»), а тип или вид этих частей – знаменателем (от лат. *dēnōminātor* – «называющий» или «обозначающий»). Например, дробь ⁸/₅ состоит из восьми частей, каждая из которых является частью типа, называемого «пятая». В терминах деления числитель соответствует делимому, а знаменатель – делителю. Неформально числитель и знаменатель можно различать по их расположению, но в формальном контексте они обычно разделены дробной чертой. Дробная черта может быть горизонтальной (как в ), косой (как в 2/5) или диагональной (как в ). Также используется косая черта. В типографике вертикально расположенные дроби также известны как «en» или «nut fractions», а диагональные – как «em» или «mutton fractions», в зависимости от того, занимает ли дробь с однозначным числителем и знаменателем пропорцию узкого квадратного en или более широкого квадратного em. В традиционном наборном деле наборный элемент, содержащий полную дробь (например, ¹/₂), назывался «казеоной дробью», а элементы, представляющие только часть дроби, – «частичными дробями». Знаменатели английских дробей обычно выражаются порядковыми числительными, во множественном числе, если числитель не равен 1. (Например, и читаются как число «пятых»). Исключения составляют знаменатель 2, который всегда читается как «половина» или «половины», знаменатель 4, который может быть выражен как «четверть»/«четверти» или как «четвёртая»/«четвёртые», и знаменатель 100, который может быть выражен как «сотая»/«сотые» или «процент». Когда знаменатель равен 1, его можно выразить в терминах «целых», но чаще его опускают, а числитель произносят как целое число. Например, ³/₁ может быть описано как «три целых» или просто как «три». Когда числитель равен 1, его можно опустить (как в «десятая» или «каждая четверть»). Вся дробь может быть выражена как единое словосочетание, в этом случае она соединяется дефисом, или как ряд дробей с числителем, равным единице, в этом случае дефис не используется. (Например, «две пятых» – это дробь ²/₅, а «две пятых» – это та же дробь, понимаемая как 2 экземпляра ¹/₅). При использовании в качестве прилагательных дроби всегда следует соединять дефисом. Кроме того, дробь можно описать, произнося числитель «над» знаменателем, при этом знаменатель выражается кардинальным числом. (Например, ³/₁ также можно выразить как «три над один»). Термин «над» используется даже в случае косой дроби, где числа располагаются слева и справа от косой черты. (Например, 1/2 можно прочитать как «одна вторая», «одна половина» или «одна над две»). Дроби с большими знаменателями, не являющимися степенями десяти, часто представляются таким образом (например, ¹/₁₁₇ как «одна над сто семнадцать»), в то время как дроби со знаменателями, делящимися на десять, обычно читаются в обычном порядковом порядке (например, ⁶/₁₀₀₀₀₀₀ как «шесть миллионных», «шесть миллионных» или «шесть одна миллионная»).

Простые, обычные или обычные фракции

Простая дробь (также известная как обыкновенная дробь или вульгарная дробь, где слово "вульгарный" происходит от латинского "обычный") — это рациональное число, записываемое в виде a/b или 1= \tfrac{a}{b}, где a и b — целые числа. Как и в случае с другими дробями, знаменатель (b) не может быть равен нулю. Примеры включают , −, , и . Этот термин первоначально использовался для различения этого типа дроби от шестидесятеричной дроби, используемой в астрономии. Обыкновенные дроби могут быть положительными или отрицательными, а также правильными или неправильными (см. ниже). Составные дроби, комплексные дроби, смешанные числа и десятичные дроби (см. ниже) не являются обыкновенными дробями; однако, если они не иррациональны, их можно представить в виде обыкновенной дроби. Единичная дробь — это обыкновенная дробь с числителем, равным 1 (например, ). Единичные дроби также могут быть выражены с использованием отрицательных степеней, например, 2−1, что представляет 1/2, и 2−2, что представляет 1/(2²) или 1/4. Диадическая дробь — это обыкновенная дробь, в которой знаменатель является степенью двойки, например, = . В Unicode предварительно составленные символы дробей находятся в блоке "Числовые формы".

Собственные и несобственные дроби

Общие дроби можно классифицировать как правильные или неправильные. Если числитель и знаменатель оба положительны, то дробь называется правильной, если числитель меньше знаменателя, и неправильной – в противном случае. Понятие «неправильной дроби» возникло относительно поздно, и терминология связана с тем, что «дробь» означает «часть», поэтому правильная дробь должна быть меньше 1. В общем случае, обыкновенная дробь считается правильной, если её абсолютное значение строго меньше единицы, то есть, если дробь больше −1 и меньше 1. Она считается неправильной, или иногда неправильной дробью с числителем, большим знаменателя, если её абсолютное значение больше или равно 1. Примеры правильных дробей: 2/3, −3/4 и 4/9, а примеры неправильных дробей: 9/4, −4/3 и 3/3.

Взаимные обязательства и "невидимый знаменатель"

Взаимная дробь – это другая дробь, у которой числитель и знаменатель поменяны местами. Например, взаимная дробь для равна . Произведение дроби и ее взаимной дроби равно 1, следовательно, взаимная дробь является мультипликативным обратным для данной дроби. Взаимная дробь для правильной дроби является неправильной, а взаимная дробь для неправильной дроби, не равной 1 (то есть, когда числитель и знаменатель не равны), является правильной. Когда числитель и знаменатель дроби равны (например, ), ее значение равно 1, и, следовательно, дробь является неправильной. Ее взаимная дробь идентична ей самой и, следовательно, также равна 1 и является неправильной. Любое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1. Например, 17 можно записать как , где 1 иногда называют невидимым знаменателем. Таким образом, любая дробь или целое число, кроме нуля, имеет взаимную дробь. Например, взаимная дробь для 17 равна .

Десятичные дроби и проценты

Десятичная дробь — это дробь, знаменатель которой не указан явно, но подразумевается равным целочисленной степени десяти. Десятичные дроби обычно выражаются с использованием десятичной записи, в которой подразумеваемый знаменатель определяется количеством цифр справа от десятичного разделителя, вид которого (например, точка, интерпункт (·), запятая) зависит от локали (примеры см. в разделе Десятичный разделитель). Таким образом, для 0,75 числитель равен 75, а подразумеваемый знаменатель равен 10 во второй степени, то есть 100, поскольку справа от десятичного разделителя две цифры. В десятичных числах, больших 1 (например, 3,75), дробная часть числа выражается цифрами справа от десятичной точки (в данном случае значением 0,75). Число 3,75 можно записать как неправильную дробь 375/100 или как смешанное число. Десятичные дроби также могут быть выражены с использованием научной нотации с отрицательными показателями степени, например, 6,023, что соответствует 0,0000006023. e=7 представляет собой знаменатель, равный e=7. Деление на e=7 сдвигает десятичную точку на 7 позиций влево. Десятичные дроби с бесконечным числом цифр справа от десятичного разделителя представляют собой бесконечный ряд. Например, 1/3 = 0,333… представляет собой бесконечный ряд 3/10 + 3/100 + 3/1000 + …

Другой вид дроби — процент (от лат. per centum, что означает «на сто», обозначается символом %), в котором подразумеваемый знаменатель всегда равен 100. Таким образом, 51% означает 51/100. Проценты, превышающие 100 или меньшие нуля, рассматриваются аналогичным образом, например, 311% равно 311/100, а −27% равно −27/100. Связанное понятие — промилле или части на тысячу (ppt) — имеет подразумеваемый знаменатель 1000, а более общее обозначение «части на» (например, 75 частей на миллион (ppm)) означает, что пропорция составляет 75/1 000 000. Использование обыкновенных или десятичных дробей часто зависит от вкуса и контекста. Обыкновенные дроби чаще используются, когда знаменатель относительно мал. При вычислениях в уме проще умножить 16 на 3/16, чем выполнять то же вычисление, используя десятичный эквивалент дроби (0,1875). И точнее умножить 15 на 1/3, чем умножать 15 на какое-либо десятичное приближение к одной трети. Денежные суммы обычно выражаются в виде десятичных дробей со знаменателем 100, то есть с двумя десятичными знаками, например, $3,75. Однако, как отмечалось выше, в довоенной британской валюте шиллинги и пенсы часто записывались в форме дроби (но не имели такого значения), например, «3/6» (читается «три и шесть»), что означало 3 шиллинга и 6 пенсов и не имело отношения к дроби 3/6.

Смешанные числа

Смешанное число (также называемое смешанной дробью или смешанным числом) – это сумма ненулевого целого числа и правильной дроби, обычно записываемая примыканием (или конкатенацией) двух частей без использования промежуточного знака плюс (+) или минус (−). Когда дробь записывается горизонтально, между целым числом и дробью добавляется пробел для их разделения. Например, два целых пирога и три четверти другого пирога можно записать как пирогов или пирогов, где число представляет целые пироги, а дробь – дополнительную часть пирога, записанную примыканием; это более кратко, чем более явная запись пирогов. Смешанное число произносится как «два и три четверти», при этом целая и дробная части соединяются словом «и». Вычитание или взятие отрицательного значения применяется ко всему смешанному числу, поэтому означает.

Любое смешанное число можно преобразовать в неправильную дробь, применяя правила сложения разноименных величин. Например, . И наоборот, неправильную дробь можно преобразовать в смешанное число, используя деление с остатком, где правильная дробь состоит из остатка, делённого на делитель. Например, поскольку 4 содержится в 11 два раза с остатком 3, .

В начальной школе учителя часто настаивают на том, чтобы каждый дробный результат выражался в виде смешанного числа. За пределами школы смешанные числа обычно используются для описания измерений, например, часов или 5 3/16 дюймов, и остаются широко распространёнными в повседневной жизни и в профессиях, особенно в регионах, не использующих десятичную метрическую систему. Однако научные измерения обычно используют метрическую систему, основанную на десятичным дробям, и начиная со средней школы, математическая педагогика рассматривает любую дробь единообразно как рациональное число – частное от деления целых чисел, отходя от понятий «неправильная дробь» и «смешанное число». Студенты колледжей, имеющие многолетний опыт математического обучения, иногда испытывают замешательство при повторной встрече со смешанными числами, поскольку они привыкли к соглашению, что примыкание в алгебраических выражениях означает умножение.

Египетская фракция

Египетская дробь — это сумма различных положительных единичных дробей, например. Это определение происходит от того, что древние египтяне представляли все дроби, кроме 1/2, 2/3 и 3/4, именно таким образом. Любое положительное рациональное число можно представить в виде египетской дроби. Например, 5/6 можно записать как 1/2 + 1/3. Любое положительное рациональное число можно представить в виде суммы единичных дробей бесконечным числом способов. Два способа представить 5/6 — это 1/2 + 1/3 и 1/4 + 1/6 + 1/12.

Комплексные и сложные фракции

В сложной дроби числитель, знаменатель или и то, и другое являются дробью или смешанным числом, что соответствует делению дробей. Например, и являются сложными дробями. Для интерпретации вложенных дробей, записанных "столбиком" с горизонтальными чертами, рассматривайте более короткие черты как вложенные внутрь более длинных. Сложные дроби можно упростить, используя умножение на обратное число, как описано ниже. Например:

Сложная дробь никогда не должна быть записана без явного указания, какая дробь вложена в другую, так как такие выражения неоднозначны. Например, выражение может быть разумно интерпретировано как либо , либо . Смысл можно сделать более ясным, записывая дроби с использованием различных разделителей или добавляя явные скобки, в данном случае или .

Составная дробь – это дробь от дроби, или любое количество дробей, связанных словом "от", и в настоящее время используется не в строго определенном смысле, частично даже принимается как синоним друг друга или смешанных чисел. Они утратили свое значение как технические термины, а термины "сложный" и "составной" склонны использоваться в их повседневном значении "состоящий из частей".

Арифметика с дробями

Как и целые числа, дроби подчиняются переместительным, сочетательным и распределительным законам, а также правилу о недопустимости деления на ноль. Арифметические действия с смешанными числами можно выполнять либо путем преобразования каждого смешанного числа в неправильную дробь, либо рассматривая каждое число как сумму целой и дробной частей.

Эквивалентные дроби

Умножение числителя и знаменателя дроби на одно и то же (не нулевое) число дает дробь, эквивалентную исходной дроби. Это верно, потому что для любого ненулевого числа дробь равна 1. Следовательно, умножение на это число эквивалентно умножению на единицу, а любое число, умноженное на единицу, сохраняет свое первоначальное значение. В качестве примера возьмем дробь 1/2. Если умножить числитель и знаменатель на 2, то получится дробь, которая имеет то же значение (0,5), что и 1/2. Чтобы представить это наглядно, представьте, что вы разрезали пирог на четыре части; две из этих частей вместе составляют половину пирога.

Добавление

Первое правило сложения заключается в том, что складывать можно только однородные величины; например, различные количества четвертей. Разнородные величины, такие как сложение третей и четвертей, необходимо сначала привести к однородному виду, как описано ниже: Представьте себе один карман, в котором лежат две четверти, и другой карман, в котором лежат три четверти; всего получается пять четвертей. Поскольку четыре четверти равны одному (доллару), это можно представить следующим образом: .

Умножение одной дроби на другую дроби

Чтобы умножить дроби, умножьте числители и умножьте знаменатели. Таким образом:

Для объяснения процесса рассмотрим одну треть от одной четверти. Если представить себе торт, то если три маленьких кусочка одинакового размера составляют четверть, а четыре четверти составляют целое, то двенадцать таких маленьких, одинаковых кусочков составляют целое. Следовательно, треть четверти – это двенадцатая. Теперь рассмотрим числители. Первая дробь, две трети, в два раза больше, чем одна треть. Поскольку одна треть от четверти равна одной двенадцатой, то две трети от четверти равны двум двенадцатым. Вторая дробь, три четверти, в три раза больше, чем одна четверть, поэтому две трети от трех четвертей в три раза больше, чем две трети от одной четверти. Таким образом, две трети, умноженные на три четверти, равны шести двенадцатым. Сокращенный способ умножения дробей называется "сокращением". По сути, ответ приводится к наименьшему виду в процессе умножения. Например:

Два является общим множителем и числителя левой дроби, и знаменателя правой дроби, и делится на оба. Три является общим множителем знаменателя левой дроби и числителя правой дроби, и делится на оба.

Умножение дроби целым числом

Поскольку целое число можно представить в виде себя, разделенного на 1, к умножению обыкновенных дробей по-прежнему можно применять обычные правила. Этот метод работает, потому что дробь 6/1 означает шесть равных частей, каждая из которых представляет собой целое число.

Умножение смешанных чисел

Произведение смешанных чисел можно вычислить, преобразовав каждое из них в неправильную дробь. Например:

В качестве альтернативы, смешанные числа можно рассматривать как суммы и умножать как биномы. В этом примере,

Отделение

Чтобы разделить дробь на целое число, можно либо разделить числитель на это число, если он делится на него без остатка, либо умножить знаменатель на это число. Например, 6/8 = 3/4 и также 6/8 = 6/32, что сокращается до 3/16. Чтобы разделить число на дробь, умножьте это число на обратную этой дроби. Таким образом, 2 : 1/3 = 2 * 3/1 = 6.

Перевод между десятичными и дробными

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, выполните деление в столбик десятичного представления числителя на знаменатель (это также идиоматически выражается как "разделить знаменатель на числитель") и округлите результат до требуемой точности. Например, чтобы преобразовать дробь 1/4 в десятичную, разделите 1,00 на 4 ("4 в 1,00"), чтобы получить 0,25. Чтобы преобразовать дробь 1/3 в десятичную, разделите 1,000 на 3 ("3 в 1,000") и остановитесь, когда будет достигнута требуемая точность, например, с четырьмя знаками после запятой – 0,3333. Дробь 1/2 можно записать точно двумя знаками после запятой, в то время как дробь 1/3 нельзя записать точно в виде десятичной дроби с конечным числом знаков. Чтобы преобразовать десятичную дробь в обыкновенную, в знаменателе запишите 1, за которым следует столько нулей, сколько цифр находится справа от десятичной точки, а в числителе запишите все цифры исходной десятичной дроби, исключив десятичную точку. Таким образом…

Алгебраические дроби

Алгебраическая дробь – это частное двух алгебраических выражений. Как и в случае с дробями целых чисел, знаменатель алгебраической дроби не может быть равен нулю. Два примера алгебраических дробей: и 1= \frac{\sqrt{x+2} }{x^2 3}. Алгебраические дроби подчиняются тем же законам поля, что и арифметические дроби. Если числитель и знаменатель являются многочленами, как в 1= \frac{3x}{x^2+2x 3}, алгебраическая дробь называется рациональной дробью (или рациональным выражением). Иррациональная дробь – это дробь, которая не является рациональной, например, содержащая переменную под дробным показателем степени или корнем, как в 1= \frac{\sqrt{x+2} }{x^2 3}. Терминология, используемая для описания алгебраических дробей, аналогична терминологии, используемой для обыкновенных дробей. Например, алгебраическая дробь считается несократимой, если единственными общими множителями числителя и знаменателя являются 1 и −1. Алгебраическая дробь, числитель или знаменатель, или оба, которой содержат дробь, такая как 1= \frac{1 + \tfrac{1}{x} }{1 \tfrac{1}{x} }, называется сложной дробью. Поле рациональных чисел является полем частных целых чисел, в то время как сами целые числа не являются полем, а скорее целостным кольцом. Аналогично, рациональные дроби с коэффициентами в поле образуют поле частных многочленов с коэффициентами в этом поле. Рассматривая рациональные дроби с действительными коэффициентами, радикальные выражения, представляющие числа, такие как 1= \textstyle \sqrt{2}/2, также являются рациональными дробями, как и трансцендентные числа, такие как , поскольку все из и являются действительными числами и, следовательно, рассматриваются как коэффициенты. Однако эти же числа не являются рациональными дробями с целочисленными коэффициентами. Термин «частичная дробь» используется при разложении рациональных дробей на сумму более простых дробей. Например, рациональную дробь можно разложить как сумму двух дробей: 1= \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x 1}. Это полезно для вычисления первообразных рациональных функций (см. разложение на простейшие дроби для получения дополнительной информации).

Радикальные выражения

В дроби могут содержаться радикалы в числителе или знаменателе. Если знаменатель содержит радикалы, может быть полезно его рационализировать (см. Упрощенная форма радикального выражения), особенно если планируется выполнять дальнейшие операции, такие как сложение или сравнение этой дроби с другой. Это также удобнее при ручном делении. Если знаменатель представляет собой одночленный корень квадратный, его можно рационализировать, умножив числитель и знаменатель дроби на этот знаменатель:

Процесс рационализации биномиальных знаменателей заключается в умножении числителя и знаменателя дроби на сопряженное знаменателю, чтобы знаменатель стал рациональным числом. Например:

Даже если в результате этого процесса числитель становится иррациональным, как в приведенных выше примерах, это все равно может облегчить последующие вычисления, уменьшив количество иррациональных чисел, с которыми приходится работать в знаменателе.

Педагогические инструменты

В начальных школах дроби демонстрировались с использованием прутьев Куизнера, наборов для работы с дробями (Fraction Bars), дробильных полосок, дробильных кругов, бумаги (для складывания или вырезания), блоков с узорами, секторов круга, пластиковых прямоугольников, клетчатой бумаги, бумаги с точками, геодосок, счетного материала и компьютерных программ.

Документы для учителей

Несколько штатов в Соединенных Штатах приняли учебные траектории, основанные на рекомендациях Common Core State Standards Initiative в области математического образования. Помимо последовательности изучения дробей и действий с дробями, в документе дается следующее определение дроби: «Число, представимое в виде , где – целое число, а – положительное целое число». (В этих стандартах термин «дробь» всегда относится к неотрицательному числу.) Однако сам документ также упоминает отрицательные дроби.