Кіріспе
Басқару жүйесі теориясындағы математикалық тест. Басқару жүйесі теориясында Рут-Хурвиц тұрақтылық критерийі – сызықтық уақыт инварианты (LTI) динамикалық жүйе немесе басқару жүйесінің тұрақтылығы үшін қажетті және жеткілікті шарт болып табылатын математикалық тест. Тұрақты жүйе – шығыс сигналы шектелген жүйе; уақыт өте келе оның орны, жылдамдығы немесе энергиясы шексіздікке дейін өспейді. Рут тесті – ағылшын математигі Эдвард Джон Рут 1876 жылы сызықтық жүйенің сипаттамалық көпмүшесінің барлық түбірлерінің теріс нақты бөліктері бар екенін анықтау үшін ұсынған тиімді рекурсивті алгоритм. Неміс математигі Адольф Хурвиц 1895 жылы Хурвиц матрицасы деп аталатын квадрат матрицаға көпмүшенің коэффициенттерін орналастыруды ұсынды және көпмүше оның негізгі кіші матрицаларының детерминанттары тізбегі оң болса ғана тұрақты екенін көрсетті. Екі процедура да эквивалентті, бірақ Рут тесті Хурвиц детерминанттарын тікелей есептеуге қарағанда тиімдірек тәсіл ұсынады. Рут-Хурвиц критерийін қанағаттандыратын көпмүше Хурвиц көпмүшесі деп аталады. Критерийдің маңыздылығы – теріс нақты бөліктері бар сызықтық жүйенің сипаттамалық теңдеуінің түбірлері жүйенің тұрақты (шектелген) шешімдерін көрсетеді. Осылайша, критерий жүйені тікелей шешпей, сызықтық жүйенің қозғалыс теңдеулерінің тек тұрақты шешімдері бар-жоғын анықтауға мүмкіндік береді. Дискретті жүйелер үшін сәйкес тұрақтылықты тексеру үшін Шур-Кон критерийі, Жюри тесті және Бистриц тесті қолданылуы мүмкін. Компьютерлердің пайда болуымен бұл критерийдің қолданылуы азайды, себебі балама ретінде көпмүшені сандық түрде шешіп, түбірлерге жуықтама алуға болады. Рут тестін Евклид алгоритмі мен Штурм теоремасын қолданып, Коши индекстерін бағалау арқылы шығаруға болады. Хурвиц өзінің шарттарын басқа тәсілмен алған.
In the control system theory, the Routh–Hurwitz stability criterion is a mathematical test that is a necessary and sufficient condition for the stability of a linear time invariant (LTI) dynamical system or control system. A stable system is one whose output signal is bounded; the position, velocity or energy do not increase to infinity as time goes on. The Routh test is an efficient recursive algorithm that English mathematician Edward John Routh proposed in 1876 to determine whether all the roots of the characteristic polynomial of a linear system have negative real parts. German mathematician Adolf Hurwitz independently proposed in 1895 to arrange the coefficients of the polynomial into a square matrix, called the Hurwitz matrix, and showed that the polynomial is stable if and only if the sequence of determinants of its principal submatrices are all positive. The two procedures are equivalent, with the Routh test providing a more efficient way to compute the Hurwitz determinants than computing them directly. A polynomial satisfying the Routh–Hurwitz criterion is called a Hurwitz polynomial. The importance of the criterion is that the roots p of the characteristic equation of a linear system with negative real parts represent solutions ept of the system that are stable (bounded). Thus the criterion provides a way to determine if the equations of motion of a linear system have only stable solutions, without solving the system directly. For discrete systems, the corresponding stability test can be handled by the Schur–Cohn criterion, the Jury test and the Bistritz test. With the advent of computers, the criterion has become less widely used, as an alternative is to solve the polynomial numerically, obtaining approximations to the roots directly. The Routh test can be derived through the use of the Euclidean algorithm and Sturm's theorem in evaluating Cauchy indices. Hurwitz derived his conditions differently.
Матрицаларды қолдану
f(z) – кешенді полином болсын. Процесс былай жүзеге асырылады:
y – нақты сан болғанда, және полиномдарын есептеңіз, мұндағы . және полиномдарына қатысты Сильвестр матрицасын есептеңіз. Әрбір қатарды сондай етіп қайта орналастырыңыз, әртұрлы қатарлардың және одан кейінгі қатардың басындағы нөлдердің саны бірдей болсын. Осы матрицаның әрбір бас кіші анықтамасын есептеңіз. Егер кіші анықтамалардың кем дегенде біреуі теріс (немесе нөл) болса, онда f полиномы тұрақты емес.
Compute the polynomials and such that where y is a real number. Compute the Sylvester matrix associated to and Rearrange each row in such a way that an odd row and the following one have the same number of leading zeros. Compute each principal minor of that matrix. If at least one of the minors is negative (or zero), then the polynomial f is not stable.