Введение

Математический тест в теории систем управления

В теории систем управления критерий стабильности Рута — Хурвица — это математический тест, являющийся необходимым и достаточным условием стабильности линейной стационарной (LTI) динамической системы или системы управления. Стабильная система — это система, выходной сигнал которой ограничен; положение, скорость или энергия не стремятся к бесконечности с течением времени. Тест Рута — это эффективный рекурсивный алгоритм, предложенный английским математиком Эдвардом Джоном Рутом в 1876 году для определения, имеют ли все корни характеристического полинома линейной системы отрицательные действительные части. Немецкий математик Адольф Хурвиц независимо предложил в 1895 году упорядочить коэффициенты полинома в квадратную матрицу, называемую матрицей Хурвица, и показал, что полином стабилен тогда и только тогда, когда последовательность определителей его главных подматриц положительна. Обе процедуры эквивалентны, при этом тест Рута предоставляет более эффективный способ вычисления определителей Хурвица, чем их непосредственное вычисление. Полином, удовлетворяющий критерию Рута — Хурвица, называется полиномом Хурвица. Значимость критерия заключается в том, что корни p характеристического уравнения линейной системы с отрицательными действительными частями представляют собой решения системы вида ept, которые являются стабильными (ограниченными). Таким образом, критерий позволяет определить, имеют ли уравнения движения линейной системы только стабильные решения, не решая систему напрямую. Для дискретных систем соответствующий тест стабильности может быть выполнен с помощью критерия Шура — Кона, теста Юри и теста Бистрица. С появлением компьютеров критерий стал использоваться реже, поскольку альтернативой является численное решение полинома и получение приближенных значений корней. Тест Рута может быть выведен с использованием алгоритма Евклида и теоремы Штурма при вычислении индексов Коши. Хурвиц вывел свои условия другим способом.

Использование матриц

Пусть f(z) — комплексный многочлен. Процесс следующий: вычислить многочлены и такие, что , где y — действительное число. Вычислить матрицу Сильвестра, ассоциированную с многочленами и . Переставить каждую строку матрицы таким образом, чтобы нечётная строка и следующая за ней строка имели одинаковое количество ведущих нулей. Вычислить каждый главный минор этой матрицы. Если хотя бы один из миноров отрицателен (или равен нулю), то многочлен f неустойчив.