Кіріспе
Градиенттік операцияның төрт векторлық аналогы Дифференциалдық геометрияда төрт градиент (немесе 4 градиент) – векторлық есептеуден алынған градиенттің төрт векторлық аналогы болып табылады. Арнайы салыстырмалылық теориясында және кванттық механикада төрт градиент түрлі физикалық төрт векторлар мен тензорлардың қасиеттерін және арақатынастарын анықтау үшін қолданылады.
In differential geometry, the four gradient (or 4 gradient) is the four vector analogue of the gradient from vector calculus. In special relativity and in quantum mechanics, the four gradient is used to define the properties and relations between the various physical four vectors and tensors.
Алыстыру
Үш өлшемде градиенттік оператор скалярлық өрісті векторлық өріске бейнелейді, сондықтан векторлық өрістегі кез келген екі нүкте арасындағы сызықтық интеграл осы екі нүктедегі скалярлық өрістің айырмасына тең. Осыған сүйенсек, градиенттің 4 өлшемге табиғи кеңейтілуі мынадай болуы керек деп жаңылысу мүмкін: бұл дұрыс емес. Дегенмен, сызықтық интеграл векторлық скалярлық көбейтіндіні қолдануды қамтиды, ал ол 4 өлшемді кеңістік-уақытқа кеңейтілгенде, қолданылатын конвенцияға байланысты кеңістіктік координаталардың немесе уақыт координатасының таңбасы өзгереді. Бұл кеңістік-уақыттың эвклидтік емес табиғатынан туындайды. Осы мақалада біз кеңістіктік координаталарға теріс таңба қоямыз (уақыттың оң метрикалық конвенциясы). (1/c) коэффициенті 4-вектордың барлық компоненттері үшін дұрыс өлшем бірлігін, [ұзындығын] сақтау үшін, ал (-1) – 4-градиенттің Лоренц коварианттығын сақтау үшін беріледі. Жоғарыдағы өрнекке осы екі түзетуді қосу 4-градиенттің дұрыс анықтамасын береді:
which is incorrect. However, a line integral involves the application of the vector dot product, and when this is extended to 4 dimensional spacetime, a change of sign is introduced to either the spatial co ordinates or the time co ordinate depending on the convention used. This is due to the non Euclidean nature of spacetime. In this article, we place a negative sign on the spatial coordinates (the time positive metric convention ). The factor of (1/c) is to keep the correct unit dimensionality, [length], for all components of the 4 vector and the (−1) is to keep the 4 gradient Lorentz covariant. Adding these two corrections to the above expression gives the correct definition of 4 gradient:
Анықтамаларға қатысты ескерту
Физикадағы скалярлар, 4 векторлар және тензорларды қолдануға қатысты әртүрлі авторлар бірдей теңдеулер үшін сәл әртүрлі белгілерді қолданады. Мысалы, кейбіреулер инвариантты тынығу массасы үшін , ал басқалары инвариантты тынығу массасы үшін және релятивистік масса үшін белгіні қолданады. Көптеген авторлар және факторларын өлшемсіз бірлікке теңеседі. Ал басқалары кейбір немесе барлық тұрақты шамаларды көрсетеді. Кейбір авторлар жылдамдық үшін , ал басқалары 4 толқын векторы ретінде (кәдімгі мысал келтіру үшін) белгісін пайдаланады. Тағы да басқалары немесе немесе немесе немесе және т.б. белгілерін қолданады. Кейбіреулер 4 толқын векторын , ал кейбіреулер немесе немесе немесе немесе деп жазады. Кейбіреулері 4 вектордың өлшем бірліктері сәйкес келетінін қамтамасыз етеді, ал басқалары олай жасамайды. Кейбіреулері 4 вектор атауындағы уақыт компонентіне, ал басқалары кеңістік компонентіне сілтеме жасайды. Ал кейбіреулері кітаптың өзінде оларды араластырып жазады, кейде бірін, кейін екіншісін қолданады. Кейбіреулері (+ − − −) метрикасын, ал басқалары (- + + +) метрикасын пайдаланады. Тағы да кейбіреулері 4 векторды қолданбайды, барлық есептеулерді ескі стильдегі E және 3 кеңістіктегі p векторлары арқылы жасайды. Шын мәнінде, бұл тек жазу стилінің әртүрлі түрлері, олардың кейбіреулері басқаларына қарағанда анық әрі ықшам. Егер бүкіл есептеулерде біркелкі стиль қолданылса, физикалық мағынасы бірдей болады.