Введение
Четырехвекторный аналог операции градиента. В дифференциальной геометрии четырехградиент (или 4-градиент) является четырехвекторным аналогом градиента из векторного анализа. В специальной теории относительности и квантовой механике четырехградиент используется для определения свойств и соотношений между различными физическими четырехвекторами и тензорами.
In differential geometry, the four gradient (or 4 gradient) is the four vector analogue of the gradient from vector calculus. In special relativity and in quantum mechanics, the four gradient is used to define the properties and relations between the various physical four vectors and tensors.
Вывод
В трех измерениях оператор градиента отображает скалярное поле в векторное поле таким образом, что криволинейный интеграл между любыми двумя точками в векторном поле равен разности значений скалярного поля в этих двух точках. Исходя из этого, может ошибочно показаться, что естественное расширение градиента на 4 измерения должно быть: что неверно. Однако, криволинейный интеграл предполагает применение скалярного произведения векторов, и при расширении на четырехмерное пространство-время, в зависимости от принятой конвенции, вносится изменение знака либо в пространственные координаты, либо во временную координату. Это обусловлено неевклидовой природой пространства-времени. В данной статье мы присваиваем отрицательный знак пространственным координатам (положительная метрическая конвенция для времени). Множитель (1/c) необходим для сохранения правильной размерности, [длина], для всех компонент 4-вектора, а (−1) – для обеспечения лоренц-ковариантности 4-градиента. Добавление этих двух поправок к вышеприведенному выражению дает правильное определение 4-градиента:
which is incorrect. However, a line integral involves the application of the vector dot product, and when this is extended to 4 dimensional spacetime, a change of sign is introduced to either the spatial co ordinates or the time co ordinate depending on the convention used. This is due to the non Euclidean nature of spacetime. In this article, we place a negative sign on the spatial coordinates (the time positive metric convention ). The factor of (1/c) is to keep the correct unit dimensionality, [length], for all components of the 4 vector and the (−1) is to keep the 4 gradient Lorentz covariant. Adding these two corrections to the above expression gives the correct definition of 4 gradient:
Примечание о ссылках
Что касается использования скаляров, 4-векторов и тензоров в физике, различные авторы используют несколько отличающиеся обозначения для одних и тех же уравнений. Например, одни используют для инвариантной массы покоя, другие – для инвариантной массы покоя и для релятивистской массы. Многие авторы полагают коэффициенты и и равными безразмерной единице. Другие показывают некоторые или все константы. Одни авторы используют для скорости, другие – . Некоторые используют как 4-волновой вектор (в качестве произвольного примера). Другие используют или или или или и т.д. Некоторые записывают 4-волновой вектор как , другие – как или или или или . Одни следят за тем, чтобы размерности соответствовали во всем 4-векторе, другие – нет. Одни ссылаются на временную компоненту в названии 4-вектора, другие – на пространственную. Некоторые смешивают эти обозначения в книге, то используя одно, то другое. Одни используют метрику (+ − − −), другие – метрику (− + + +). Некоторые вообще не используют 4-векторы, а выполняют все вычисления в старом стиле, используя E и 3-мерный пространственный вектор p. Суть в том, что все это лишь стили записи, некоторые из которых более понятны и лаконичны, чем другие. Физика остается неизменной, если на протяжении всего вывода используется последовательный стиль.