Функционалдық анализде тепе-тең жиын, қабықша және ядро ұғымдары қарастырылады. Тепе-тең жиындар топологиялық векторлық кеңістіктерде маңызды рөл атқарады.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Функционалдық талдаудағы құрылым
Construct in functional analysis
Сызықтық алгебра және математиканың осымен байланысты салаларында, векторлық кеңістіктегі (абсолют шама функциясы бар өріс үстінде) теңгерілген жиын, дөңгелек жиын немесе диск – бұл барлық скалярлар үшін келесіні қанағаттандыратын жиын:
In linear algebra and related areas of mathematics a balanced set, circled set or disk in a vector space (over a field with an absolute value function ) is a set such that for all scalars satisfying
Жиынның теңгерілген қабығы немесе теңгерілген ортасы – оны қамтитын ең кішкентай теңгерілген жиын. Жиынның теңгерілген ядросы – оның ішінде орналасқан ең үлкен теңгерілген жиын.
The balanced hull or balanced envelope of a set is the smallest balanced set containing
The balanced core of a set is the largest balanced set contained in
Теңгерілген жиынтар функционалдық талдауда кеңінен қолданылады, себебі әрбір топологиялық векторлық кеңістіктегі (ТВК) нөлдің әрбір маңында нөлге теңгерілген маң бар, ал нөлдің әрбір дөңес маңында нөлге теңгерілген дөңес маң бар (ТВК жергілікті дөңес болмаса да). Бұл маңды ашық немесе жабық жиын ретінде таңдауға болады.
Balanced sets are ubiquitous in functional analysis because every neighborhood of the origin in every topological vector space (TVS) contains a balanced neighborhood of the origin and every convex neighborhood of the origin contains a balanced convex neighborhood of the origin (even if the TVS is not locally convex). This neighborhood can also be chosen to be an open set or, alternatively, a closed set.
Теңгерімделген көршіліктер
Кез келген топологиялық векторлық кеңістікте теңгерімді жиынның жабылуы теңгерімді болады. Теңгерімді жиынның нөлдік элементі мен топологиялық ішкі жағы теңгерімді болады. Сондықтан, нөлдік элементтің теңгерімді маңы теңгерімді болады. Дегенмен, нөлдік элементі бар, бірақ (бос емес) топологиялық ішкі жайында нөлдік элементі жоқ, демек теңгерімді емес, теңгерімді жиынның ішкі жиыны бар. Сол сияқты, нақты векторлық кеңістіктер үшін, егер үш нүктесінің дөңгелек қабылдамасын білдірсе, онда ол (сағат шынысы тәріздес) теңгерімді ішкі жиын болады, оның бос емес топологиялық ішкі жайында нөлдік элементі жоқ, демек теңгерімді емес (бірақ нөлдік элементін қосу арқылы алынған жиын теңгерімді болса да, ол ашық жиын да, нөлдік элементтің маңы да емес). Топологиялық векторлық кеңістіктегі нөлдік элементтің әрбір маңы (сәйкесінше, дөңгелек маңы) нөлдік элементтің теңгерімді (сәйкесінше, дөңгелек және теңгерімді) ашық маңын қамтиды. Шындығында, келесі құрылым мұндай теңгерімді жиындарды жасайды. Берілген симметриялық жиын, егер осы қасиет оған тән болса, дөңгелек (сәйкесінше, жабық, теңгерімді, шектеулі, нөлдік элементтің маңы, сіңіретін жиын) болады. Егер ол нөлдік элементке қатысты жұлдыз тәрізді болса, онда ол теңгерімді жиын болады, бұл, мысалы, оның дөңгелек болған және нөлдік элементін қамтыған жағдайда дұрыс. Атап айтқанда, егер нөлдік элементтің дөңгелек маңы болса, онда ол нөлдік элементтің теңгерімді дөңгелек маңы болады, демек оның топологиялық ішкі жайы нөлдік элементтің теңгерімді дөңгелек ашық маңы болады. Егер бір сіңіретін және дөңгелек жиын болса, онда ол бір сіңіретін дөңгелек жиын болады, бұл функциясының семинорма болатынын кепілдейді, осылайша оның канондық псевдометризацияланатын топологиясын қамтитын семинормаланған кеңістікке айналады. диапазоны бойынша скалярлық еселіктердің жиыны (немесе нөлдік элементі бар кез келген басқа нөлден өзгеше скалярлар жиыны) осы жергілікті дөңгелек топологиясы үшін нөлдік элементте сіңіретін дискілердің маңының негізін құрайды. Егер топологиялық векторлық кеңістік болса және егер бұл сіңіретін дөңгелек жиын сонымен қатар шектеулі жиын болса, онда сіңіретін дискіге де солай болады, егер қосымшада тривиальды емес векторлық ішкі кеңістік болмаса, онда ол норма болады және қосалқы нормаланған кеңістік деп аталатын нәрсені құрайды. Егер бұл нормаланған кеңістік Банах кеңістігі болса, онда оны Банах дискісі деп атайды.
In any topological vector space, the closure of a balanced set is balanced. The union of the origin and the topological interior of a balanced set is balanced. Therefore, the topological interior of a balanced neighborhood of the origin is balanced. However, is a balanced subset of that contains the origin but whose (nonempty) topological interior does not contain the origin and is therefore not a balanced set. Similarly for real vector spaces, if denotes the convex hull of and (a filled triangle whose vertices are these three points) then is an (hour glass shaped) balanced subset of whose non empty topological interior does not contain the origin and so is not a balanced set (and although the set formed by adding the origin is balanced, it is neither an open set nor a neighborhood of the origin). Every neighborhood (respectively, convex neighborhood) of the origin in a topological vector space contains a balanced (respectively, convex and balanced) open neighborhood of the origin. In fact, the following construction produces such balanced sets. Given the symmetric set will be convex (respectively, closed, balanced, bounded, a neighborhood of the origin, an absorbing subset of ) whenever this is true of It will be a balanced set if is a star shaped at the origin, which is true, for instance, when is convex and contains In particular, if is a convex neighborhood of the origin then will be a balanced convex neighborhood of the origin and so its topological interior will be a balanced convex open neighborhood of the origin. Suppose that is a convex and absorbing subset of Then will be convex balanced absorbing subset of which guarantees that the Minkowski functional of will be a seminorm on thereby making into a seminormed space that carries its canonical pseduometrizable topology. The set of scalar multiples as ranges over (or over any other set of non zero scalars having as a limit point) forms a neighborhood basis of absorbing disks at the origin for this locally convex topology. If is a topological vector space and if this convex absorbing subset is also a bounded subset of then the same will be true of the absorbing disk if in addition does not contain any non trivial vector subspace then will be a norm and will form what is known as an auxiliary normed space. If this normed space is a Banach space then is called a Banach disk.