Введение

Конструирование в функциональном анализе

В линейной алгебре и смежных областях математики сбалансированное множество, круглое множество или диск в векторном пространстве (над полем с функцией абсолютной величины) — это множество, такое что для всех скаляров, удовлетворяющих

Сбалансированная оболочка множества — это наименьшее сбалансированное множество, содержащее . Сбалансированное ядро множества — это наибольшее сбалансированное множество, содержащееся в .

Сбалансированные множества широко используются в функциональном анализе, поскольку каждая окрестность начала координат в каждом топологическом векторном пространстве (ТВП) содержит сбалансированную окрестность начала координат, а каждая выпуклая окрестность начала координат содержит сбалансированную выпуклую окрестность начала координат (даже если ТВП не является локально выпуклым). Эту окрестность также можно выбрать открытым или, альтернативно, замкнутым множеством.

Сбалансированные районы

В любом топологическом векторном пространстве замыкание сбалансированного множества сбалансировано. Объединение начала координат и топологического интерьера сбалансированного множества является сбалансированным. Следовательно, топологический интерьер сбалансированной окрестности начала координат сбалансирован. Однако, существует сбалансированное подмножество, содержащее начало координат, но чей (непустой) топологический интерьер не содержит начало координат и, следовательно, не является сбалансированным множеством. Аналогично, для вещественных векторных пространств, если обозначает выпуклую оболочку, а – заполненный треугольник, вершины которого являются этими тремя точками, то является (в форме песочных часов) сбалансированным подмножеством, чей непустой топологический интерьер не содержит начало координат и, следовательно, не является сбалансированным множеством (и хотя множество, образованное добавлением начала координат, сбалансировано, оно не является открытым множеством и не является окрестностью начала координат). Каждая окрестность (соответственно, выпуклая окрестность) начала координат в топологическом векторном пространстве содержит сбалансированную (соответственно, выпуклую и сбалансированную) открытую окрестность начала координат. Фактически, следующая конструкция создает такие сбалансированные множества. Если множество симметрично, то оно будет выпуклым (соответственно, замкнутым, сбалансированным, ограниченным, окрестностью начала координат, поглощающим множеством) всякий раз, когда это верно для исходного множества. Оно будет сбалансированным множеством, если исходное множество звездообразно относительно начала координат, что верно, например, когда оно выпукло и содержит начало координат. В частности, если является выпуклой окрестностью начала координат, то будет сбалансированной выпуклой окрестностью начала координат, и, следовательно, ее топологический интерьер будет сбалансированной выпуклой открытой окрестностью начала координат. Предположим, что является выпуклым и поглощающим подмножеством. Тогда будет выпуклым сбалансированным поглощающим подмножеством, что гарантирует, что функционал Минковского будет семинормой на , тем самым превращая в семинормированное пространство, которое несет свою каноническую псевдометризуемую топологию. Множество скалярных кратных, где изменяется (или над любым другим множеством ненулевых скаляров, имеющим в качестве предельной точки), образует базис окрестностей поглощающих дисков в начале координат для этой локально выпуклой топологии. Если является топологическим векторным пространством, и если это выпуклое поглощающее подмножество также является ограниченным подмножеством, то то же самое будет верно и для поглощающего диска. Если, в дополнение, не содержит каких-либо нетривиальных векторных подпространств, то будет нормой, и сформирует то, что известно как вспомогательное нормированное пространство. Если это нормированное пространство является пространством Банаха, то оно называется диском Банаха.