Еннио Де Джорджи: Итальян математигі және математикалық талдауға қосқан үлесі

Кіріспе

Итальяндық математик Эннио Де Джорджи (8 ақпан 1928 – 25 қазан 1996) – итальяндық математик, бөлшек дифференциалдық теңдеулер және математика негіздері саласында жұмыс істеген.

Математикалық жұмыс

Де Джорджидің алғашқы жұмысы геометриялық өлшемдер теориясы саласында болды, ол 1958 жылы өз ұстазы мен досының құрметіне «Каччопполи жиындары» деп атады. Оның анықтамасы маңызды аналитикалық құралдарды қолданды және Де Джорджи теоремасы жиынтықтар теориясы үшін жаңа құрал болды, сондай-ақ оның өзінің жұмыстарына да пайдалы болды. Бұл жетістік Энниоға бірден танымал болды және оның зерттеу жұмыстарында көрсеткендей, бұрын ойластырылған, бірақ одан да тиімді әдістерді қолдана отырып, проблемаларды шеше білу қабілетін көрсетті. 1969 жылы Энрико Бомбиери және Энрико Джиустимен бірге ол 8 өлшемдегі Бернштейннің минималды беттер мәселесін шешті, бұл үшін Бомбиери 1974 жылы Филдс медалін жеңіп алды. Оның ерте жұмысы минималды гипербеттер үшін жүйелілік теориясын дамытуға бағытталған, бұл минималды беттердің және вариациялар есебінің алдыңғы қатарлы теориясын түгелдей өзгертіп берді. Дәлелдеу үшін Де Джорджиге геометриялық өлшемдер теориясының өзінің нұсқасын және оған байланысты маңызды тығыздық теоремасын жасау қажет болды. Осы нәтижелердің арқасында ол минималды гипербеттің кемінде екі өлшемді жабық ішкі жиынтығынан тыс аналитикалық екенін көрсетті. Сондай-ақ, ол барлық минималды беттер үшін де осыған ұқсас жүйелілік теориясын құрды. Ол эллиптикалық дербес дифференциалдық теңдеулердің шешімдерінің жүйелілігі туралы Хилберттің 19-шы мәселесін шешті. Оның нәтижелерінен бұрын математиктер екі айнымалыдағы екінші реттік сызықтық емес эллиптикалық теңдеулерден асып өте алмады. Маңызды жаңалық ретінде Де Джорджи тек өлшенетін коэффициенттері бар дивергенциялық формадағы біркелкі эллиптикалық екінші реттік теңдеулердің шешімдерінің Hölder үздіксіз екенін дәлелдеді. Оның дәлелі 1956/57 жылдары Джон Нэшпен бірдей уақытта жасалды, ол да Хилберт мәселесін шешумен айналысып, оны шешкен болатын. Оның нәтижелері бірінші болып жарияланды және 1958 жылы Филдс медалін екі математиктің бірі жеңіп алар деген күтілім болды, бірақ олай болмады. Дегенмен, Де Джорджидің жұмысы жоғары өлшемдердегі сызықтық емес эллиптикалық дербес дифференциалдық теңдеулер саласын ашты, бұл барлық математикалық талдау үшін жаңа кезеңге жол ашты. Оның барлық жұмысы дербес дифференциалдық теңдеулерге, минималды беттерге және вариациялар есебіне қатысты; олар геометриялық талдаудың сол кездегі дамымаған саласының алғашқы жетістіктерін көрсетеді. Карен Уленбек, Шинг Тунг Яу және басқа да көптеген ғалымдардың жұмыстары Де Джорджиден шабыттанды, олар күшті және тиімді тәсілдермен кеңейтіліп, жаңартылды. Алессио Фигалли мен Хоаким Серра Де Джорджидің 5 өлшемдегі шекаралық реакция мүшелері туралы болжамын шешті, бұл Фигаллидің 2018 жылғы Филдс медалі лекциясында айтылған нәтижелердің бірі болды. Оның минималды беттер, дербес дифференциалдық теңдеулер және вариациялар есебі бойынша еңбектері математикалық қауымдастықта оған үлкен және ұзаққа созылған даңқ әкелді, сонымен қатар оның үлесі үшін көптеген марапаттарға ие болды, олардың ішінде 1960 жылғы Каччопполи сыйлығы, 1973 жылғы Италия Республикасы Президентінің Accademia dei Lincei Ұлттық сыйлығы және 1990 жылғы Израиль Республикасы Президентінің Вольф сыйлығы бар. Ол сонымен қатар 1983 жылы Париж университетінің Сорбоннасындағы салтанатта математикадан және 1992 жылы Лекче университетінің философиядан құрметті доктор атағын алды. Ол көптеген академияларға сайланды, соның ішінде Accademia dei Lincei, Рим папасының ғылым академиясы, Турин ғылым академиясы, Ломбард ғылым және әдебиет институты, Париждегі ғылым академиясы және АҚШ Ұлттық ғылым академиясы. Халықаралық математиктер конгресінде ол 1966 жылы Мәскеуде пленарлық баяндамашы болып шақырылды және 1983 жылы Варшавада шақырылған баяндамашы болды. Ол көп жылдар бойы Пизадағы Scuola Normale Superiore-мен байланысты болды, ол сол кездегі Еуропадағы талдаудың жарқын мектептерінің бірі болды. Ол өзінің заманындағы көптеген белгілі математиктермен, мысалы Луи Ниренберг, Джон Нэш, Жак Луи Лайонс және Ренато Каччопполимен хат алмасты. Ол 20-ғасырдың екінші жартысында итальяндық математикалық талдау мектебін халықаралық деңгейге көтеруге жауапты болды. Эннио де Джорджи терең адамгершілік, діни және философиялық құндылықтарға ие болған адам болды; ол бірде математика Құдайдың құпияларын ашудың кілті екенін айтқан. Оның 70-жылдардағы Amnesty International ұйымымен жұмысы оның ғылыми мансабының ішінде де, сыртында да оның зор даңқын одан әрі арттырды. Ол 1966 жылдан 1973 жылға дейін Эритреядағы Асмара университетінде математиканы оқытты. Ол 1996 жылдың 26 қазанында 68 жасында қайтыс болды. 2016 жылы Пизадағы Scuola Normale-де Де Джорджинің естелігіне арналған конференция өтті, оған Камилло де Лellis, Ирен Фонсека, Пьер Луи Лайонс, Хаим Брезис, Алессио Фигалли, Дэвид Киндерлехер, Никола Фуско, Феликс Отто, Джузеппе Мингионе және Луи Ниренберг сияқты математиктер мен оның көптеген студенттері, соның ішінде Амброзио және Брайдес қатысты, олар SNS-те оны ұйымдастыруға жауапты болды.

De Giorgi's first work was in geometric measure theory, on the topic of the sets of finite perimeters which he called in 1958 as Caccioppoli sets, after his mentor and friend. His definition applied some important analytic tools and the De Giorgi's theorem for the sets established a new tool for set theory as well as his own works. This achievement not only brought Ennio immediate recognition but displayed his ability to attack problems using completely new and effective methods which, though conceived before, can be used with greater precision as shown in his research works. He solved Bernstein's problem about minimal surfaces for 8 dimensions in 1969 with Enrico Bombieri and Enrico Giusti, for which Bombieri won the Fields Medal in 1974. His earliest work was on the aim to develop a regularity theory for minimal hypersurfaces, changing how we view the advanced theory of minimal surfaces and calculus of variations forever. The proof required De Giorgi to develop his own version of geometric measure theory along with a related key compactness theorem. With these results, he was able to conclude that a minimal hypersurface is analytic outside a closed subset of codimension at least two. He also established regularity theory for all minimal surfaces in a similar manner. He solved 19th Hilbert problem on the regularity of solutions of elliptic partial differential equations. Before his results, mathematicians were not able to venture beyond second order nonlinear elliptic equations in two variables. In a major breakthrough, De Giorgi proved that solutions of uniformly elliptic second order equations of divergence form, with only measurable coefficients, were Hölder continuous. His proof was proved in 1956/57 in parallel with John Nash's, who was also working on and solved Hilbert's problem. His results were the first to be published, and it was anticipated that either mathematician would win the 1958 Fields Medal, but it was not to be. Nevertheless, De Giorgi's work opened up the field of nonlinear elliptic partial differential equations in higher dimensions which paved a new period for all of mathematical analysis. Almost all of his work relates to partial differential equations, minimal surfaces and calculus of variations; these notify the early triumphs of the then unestablished field of geometric analysis. The work of Karen Uhlenbeck, Shing Tung Yau and many others have taken inspiration from De Giorgi which have been and continue to be extended and rebuilt in powerful and effective mannerisms. De Giorgi's conjecture for boundary reaction terms in dimension ≤ 5 was solved by Alessio Figalli and Joaquim Serra, which was one of the results mentioned in Figalli's 2018 Fields Medal lecture given by Luis Caffarelli. His work on minimal surfaces, partial differential equations and calculus of variations earned him huge and lasting fame in the mathematical community, and was awarded many honours for his contributions, including the Caccioppoli Prize in 1960, the National Prize of Accademia dei Lincei from the President of the Italian Republic in 1973, and the Wolf Prize from the President of the Israel Republic in 1990. He was also awarded Honoris Causa degrees in Mathematics from the University of Paris in 1983 at a ceremony at the Sorbonne and in Philosophy from the University of Lecce in 1992. He was elected to many academies including the Accademia dei Lincei, the Pontifical Academy of Sciences, the Academy of Sciences of Turin, the Lombard Institute of Science and Letters, the Académie des Sciences in Paris, and the National Academy of Sciences of the United States. At the International Congress of Mathematicians he was invited to be plenary speaker in 1966 in Moscow and was an invited speaker in 1983 in Warsaw. He was associated for many years with the Scuola Normale Superiore in Pisa, leading one of the brilliant schools of analysis in Europe at that time. He corresponded with many leading mathematicians of his time, such as Louis Nirenberg, John Nash, Jacques Louis Lions and Renato Caccioppoli. He is largely responsible for leading and driving the Italian school of mathematical analysis in the second half of 20th century to an international level. Ennio De Giorgi was also a person of deep human, religious and philosophical values; he once noted that mathematics is the key to discovering the secrets of God. His work with Amnesty International in the 70s greatly extended his already immense fame within and outside of his scientific career. He also taught mathematics at the University of Asmara, Eritrea from 1966 to 1973. He died on 26 October 1996 at the age of 68. In 2016, a conference was held at the Scuola Normale in Pisa in memory of De Giorgi, and mathematicians like Camillo de Lellis, Irene Fonseca, Pierre Louis Lions, Haïm Brezis, Alessio Figalli, David Kinderlehrer, Nicola Fusco, Felix Otto, Giuseppe Mingione and Louis Nirenberg have attended the event along with his many students such as Ambrosio and Braides who have been responsible for organizing it at the SNS.

Қарап тексеру құжаттары

. "Free discontinuity variational problems" (атауының ағылшын тіліндегі аудармасы) – еркін үзіліс вариациялық мәселелеріне шолу мақаласы, SBV функцияларының теориясы, олардың қолданылуы және кең библиографиясы туралы егжей-тегжейлі ақпаратты қамтиды (итальян тілінде).

Өмірбаяндық және жалпы сілтемелер

Бұл жұмыстың Adobe pdf форматындағы алдын ала басылған нұсқасы бар, ол Вариациялар есептеу және геометриялық өлшем теориясы зерттеу тобының веб-сайтында, Scuola Normale Superiore, Пизада қолжетімді. Оның маңызды ғылыми еңбектерін қысқаша баяндайтын өмірбаян. Бұл жинақта Эннио Де Джорджиге арналған ескерткіш мақалалардың көбі, оның естелік сөздерінің түсірілген нұсқалары, шәкірттері мен достарының жеке естеліктері және Де Джорджидің өзінің философиялық еңбектері жинақталған. Де Джорджиге арналған екі тарау бар. Эннио Де Джорджидің Scuola Normale Superiore кафедрасын иеленуіне әкелген оқиғаларды сипаттайтын қысқаша естелік және тарихи мақала.

Ғылыми сілтемелер

Эннио Де Джорджи және оның мектебінің минималды бет проблемасы бойынша нәтижелерін, Каччиопполи жиындары теориясы арқылы қарастырып, егжей-тегжейлі баяндайтын маңызды монография.