Эннио Де Джорджи: вклад в математический анализ и дифференциальные уравнения

Введение

Итальянский математик Эннио Де Джорджи (8 февраля 1928 – 25 октября 1996) — итальянский математик, работавший в области уравнений в частных производных и основ математики.

Математическая работа

Первая работа Де Джорджи была в области геометрической теории меры, посвященная множествам конечного периметра, которые он в 1958 году назвал множествами Каччополли в честь своего наставника и друга. В его определении использовались важные аналитические инструменты, а теорема Де Джорджи для множеств стала новым инструментом для теории множеств и его собственных исследований. Это достижение принесло Эннио немедленное признание и продемонстрировало его способность решать задачи совершенно новыми и эффективными методами, которые, хотя и были разработаны ранее, могли быть использованы с большей точностью, как показано в его работах. В 1969 году совместно с Энрико Бомбиери и Энрико Джусти он решил проблему Бернштейна о минимальных поверхностях в 8 измерениях, за что Бомбиери получил медаль Филдса в 1974 году. Его ранние работы были направлены на разработку теории регулярности для минимальных гиперповерхностей, навсегда изменив наше понимание передовой теории минимальных поверхностей и вариационного исчисления. Для доказательства Де Джорджи пришлось разработать собственную версию геометрической теории меры вместе с соответствующей ключевой теоремой о компактности. Благодаря этим результатам он смог заключить, что минимальная гиперповерхность аналитична вне замкнутого подмножества коразмерности не менее двух. Он также аналогичным образом установил теорию регулярности для всех минимальных поверхностей. Он решил 19-ю проблему Гильберта о регулярности решений эллиптических уравнений в частных производных. До его результатов математики не могли выйти за рамки нелинейных эллиптических уравнений второго порядка в двух переменных. Сделав крупный прорыв, Де Джорджи доказал, что решения равномерно эллиптических уравнений второго порядка в форме дивергенции, имеющие только измеримые коэффициенты, являются гёльдеровыми непрерывными. Его доказательство было получено в 1956/57 годах параллельно с доказательством Джона Нэша, который также работал над проблемой Гильберта и решил ее. Его результаты были первыми опубликованными, и предполагалось, что медаль Филдса в 1958 году получит любой из математиков, но этого не произошло. Тем не менее, работа Де Джорджи открыла область нелинейных эллиптических уравнений в частных производных в более высоких измерениях, что положило начало новому периоду во всем математическом анализе. Почти вся его работа связана с уравнениями в частных производных, минимальными поверхностями и вариационным исчислением; они отражают ранние успехи тогда еще не устоявшейся области геометрического анализа. Работы Карен Уленбек, Шинга Тунга Яу и многих других вдохновлялись Де Джорджи, и они продолжают расширяться и перестраиваться эффективными способами. Предположение Де Джорджи относительно граничных реакционных членов в размерности ≤ 5 было решено Алессио Фигалли и Хоакимом Серрой, что было одним из результатов, упомянутых в лекции Фигалли при вручении ему медали Филдса в 2018 году, которую представил Луис Каффарелли. Его работа по минимальным поверхностям, уравнениям в частных производных и вариационному исчислению принесла ему огромную и долговременную славу в математическом сообществе, и он был удостоен множества наград за свой вклад, включая премию Каччополли в 1960 году, Национальную премию Академии Линчеи от Президента Итальянской Республики в 1973 году и премию Вольфа от Президента Израильской Республики в 1990 году. Он также был удостоен почетных степеней по математике в Парижском университете в 1983 году на церемонии в Сорбонне и по философии в Университете Лечче в 1992 году. Он был избран во многие академии, включая Академию Линчеи, Папскую академию наук, Академию наук Турина, Ломбардский институт науки и литературы, Академию наук в Париже и Национальную академию наук США. На Международном конгрессе математиков он был приглашен в качестве пленарного докладчика в 1966 году в Москве и приглашенным докладчиком в 1983 году в Варшаве. Он много лет был связан со Школой Нормале Суперьоре в Пизе, возглавляя одну из выдающихся школ анализа в Европе того времени. Он переписывался со многими ведущими математиками своего времени, такими как Луи Ниренберг, Джон Нэш, Жак Луи Лионс и Ренато Каччополли. Он во многом ответственен за то, что итальянская школа математического анализа во второй половине 20-го века достигла международного уровня. Эннио Де Джорджи был также человеком глубоких человеческих, религиозных и философских ценностей; он однажды отметил, что математика является ключом к раскрытию тайн Бога. Его работа с Amnesty International в 70-х годах значительно расширила его и без того огромную славу как внутри, так и за пределами его научной карьеры. Он также преподавал математику в Университете Асмары, Эритрея, с 1966 по 1973 год. Он умер 26 октября 1996 года в возрасте 68 лет. В 2016 году в Школе Нормале в Пизе была проведена конференция в память о Де Джорджи, в которой приняли участие такие математики, как Камилло де Леллис, Ирен Фонсека, Пьер Луи Лионс, Хаим Брезис, Алессио Фигалли, Дэвид Киндерлехер, Никола Фуско, Феликс Отто, Джузеппе Мингионе и Луи Ниренберг, а также многие его ученики, такие как Амброзио и Браидес, которые отвечали за ее организацию в SNS.

De Giorgi's first work was in geometric measure theory, on the topic of the sets of finite perimeters which he called in 1958 as Caccioppoli sets, after his mentor and friend. His definition applied some important analytic tools and the De Giorgi's theorem for the sets established a new tool for set theory as well as his own works. This achievement not only brought Ennio immediate recognition but displayed his ability to attack problems using completely new and effective methods which, though conceived before, can be used with greater precision as shown in his research works. He solved Bernstein's problem about minimal surfaces for 8 dimensions in 1969 with Enrico Bombieri and Enrico Giusti, for which Bombieri won the Fields Medal in 1974. His earliest work was on the aim to develop a regularity theory for minimal hypersurfaces, changing how we view the advanced theory of minimal surfaces and calculus of variations forever. The proof required De Giorgi to develop his own version of geometric measure theory along with a related key compactness theorem. With these results, he was able to conclude that a minimal hypersurface is analytic outside a closed subset of codimension at least two. He also established regularity theory for all minimal surfaces in a similar manner. He solved 19th Hilbert problem on the regularity of solutions of elliptic partial differential equations. Before his results, mathematicians were not able to venture beyond second order nonlinear elliptic equations in two variables. In a major breakthrough, De Giorgi proved that solutions of uniformly elliptic second order equations of divergence form, with only measurable coefficients, were Hölder continuous. His proof was proved in 1956/57 in parallel with John Nash's, who was also working on and solved Hilbert's problem. His results were the first to be published, and it was anticipated that either mathematician would win the 1958 Fields Medal, but it was not to be. Nevertheless, De Giorgi's work opened up the field of nonlinear elliptic partial differential equations in higher dimensions which paved a new period for all of mathematical analysis. Almost all of his work relates to partial differential equations, minimal surfaces and calculus of variations; these notify the early triumphs of the then unestablished field of geometric analysis. The work of Karen Uhlenbeck, Shing Tung Yau and many others have taken inspiration from De Giorgi which have been and continue to be extended and rebuilt in powerful and effective mannerisms. De Giorgi's conjecture for boundary reaction terms in dimension ≤ 5 was solved by Alessio Figalli and Joaquim Serra, which was one of the results mentioned in Figalli's 2018 Fields Medal lecture given by Luis Caffarelli. His work on minimal surfaces, partial differential equations and calculus of variations earned him huge and lasting fame in the mathematical community, and was awarded many honours for his contributions, including the Caccioppoli Prize in 1960, the National Prize of Accademia dei Lincei from the President of the Italian Republic in 1973, and the Wolf Prize from the President of the Israel Republic in 1990. He was also awarded Honoris Causa degrees in Mathematics from the University of Paris in 1983 at a ceremony at the Sorbonne and in Philosophy from the University of Lecce in 1992. He was elected to many academies including the Accademia dei Lincei, the Pontifical Academy of Sciences, the Academy of Sciences of Turin, the Lombard Institute of Science and Letters, the Académie des Sciences in Paris, and the National Academy of Sciences of the United States. At the International Congress of Mathematicians he was invited to be plenary speaker in 1966 in Moscow and was an invited speaker in 1983 in Warsaw. He was associated for many years with the Scuola Normale Superiore in Pisa, leading one of the brilliant schools of analysis in Europe at that time. He corresponded with many leading mathematicians of his time, such as Louis Nirenberg, John Nash, Jacques Louis Lions and Renato Caccioppoli. He is largely responsible for leading and driving the Italian school of mathematical analysis in the second half of 20th century to an international level. Ennio De Giorgi was also a person of deep human, religious and philosophical values; he once noted that mathematics is the key to discovering the secrets of God. His work with Amnesty International in the 70s greatly extended his already immense fame within and outside of his scientific career. He also taught mathematics at the University of Asmara, Eritrea from 1966 to 1973. He died on 26 October 1996 at the age of 68. In 2016, a conference was held at the Scuola Normale in Pisa in memory of De Giorgi, and mathematicians like Camillo de Lellis, Irene Fonseca, Pierre Louis Lions, Haïm Brezis, Alessio Figalli, David Kinderlehrer, Nicola Fusco, Felix Otto, Giuseppe Mingione and Louis Nirenberg have attended the event along with his many students such as Ambrosio and Braides who have been responsible for organizing it at the SNS.

Рецензионные работы

"Проблемы вариации свободной прерывности" (английский перевод названия) — это обзорная статья, посвященная задачам вариационного исчисления со свободными разрывами, включающая в себя ряд деталей о теории функций SBV, их приложениях и обширную библиографию (на итальянском языке).

Биографические и общие ссылки

Существует также версия препринта этой статьи в формате Adobe pdf, доступная на веб-странице Исследовательской группы по вариационному исчислению и геометрической теории меры, Scuola Normale Superiore, Пиза. Также доступна на домашней странице Исследовательской группы по вариационному исчислению и геометрической теории меры, Scuola Normale Superiore, Пиза. Краткая биография с обзором его основных научных достижений. Сборник почти всех мемориальных статей, стенограммы мемориальных речей в честь Эннио Де Джорджи и личные воспоминания учеников и друзей, собранные вместе с некоторыми философскими работами самого Де Джорджи. Содержит две главы, посвященные Де Джорджи. Краткая мемориальная и историческая статья, описывающая события, приведшие к тому, что Эннио Де Джорджи занял должность профессора в Scuola Normale Superiore.

Научные ссылки

Важная монография, подробно описывающая результаты Эннио Де Джорджи и его школы в области проблемы минимальных поверхностей, исследуемой с помощью теории множеств Каччополли.