Кіріспе
Математикалық физикада жиі кездесетін өрнек, Лаплас теңдеуінің жалпылауы. Пуассон теңдеуі – теориялық физикада кеңінен қолданылатын эллипстік ішінара дифференциалдық теңдеу. Мысалы, Пуассон теңдеуінің шешімі берілген электр заряды немесе масса тығыздығы таралуынан туындаған потенциалдық өріс болып табылады; потенциалдық өріс белгілі болған соң, электростатикалық немесе гравитациялық (күш) өрісті есептеуге болады. Бұл физикада жиі кездесетін Лаплас теңдеуінің жалпылауы. Теңдеу француз математигі және физигі Симеон Денис Пуассонның құрметіне аталған.
Poisson's equation is an elliptic partial differential equation of broad utility in theoretical physics. For example, the solution to Poisson's equation is the potential field caused by a given electric charge or mass density distribution; with the potential field known, one can then calculate electrostatic or gravitational (force) field. It is a generalization of Laplace's equation, which is also frequently seen in physics. The equation is named after French mathematician and physicist Siméon Denis Poisson.
Жер бетін қайта құру
Жер бетін қайта құру кері проблема болып табылады. Мақсаты – pi нүктелерінің көп саны негізінде тегіс бетті цифрлық түрде қайта құру (бұлт нүктелер жиыны), мұнда әрбір нүкте жергілікті бет нормалінің ni шамасын да камтиды. Бұл мәселені Пуассон бетін қайта құру деп аталатын әдіс арқылы Пуассон теңдеуін қолдану арқылы шешуге болады. Бұл әдістің мақсаты – f имплицитті функциясын қайта құру, оның мәні pi нүктелерінде нөлге тең, ал pi нүктелеріндегі градиенті ni нормальдық векторларына тең. (pi, ni) жиыны үздіксіз векторлық өріс V ретінде модельделеді. f имплицитті функциясы V векторлық өрісін интегралдау арқылы табылады. Барлық векторлық өріс функцияның градиенті болмағандықтан, мәселенің шешімі болуы мүмкін немесе болмауы мүмкін: тегіс векторлық өріс V функцияның градиенті болуы үшін қажетті және жеткілікті шарт – V-дің доғаруы толығымен нөлге тең болуы керек. Егер бұл шартты орындау қиын болса, V пен f градиенті арасындағы айырманы азайту үшін ең кішкентай квадраттар әдісін қолдануға болады.
Пуассон теңдеуін бетті қайта құру мәселесіне тиімді қолдану үшін V векторлық өрісінің жақсы дискреттеуін табу қажет. Негізгі тәсіл – деректерді шекті айырмашылық тормен шектеу. Мұндай тор тораптарында бағаланған функция үшін оның градиентін басқышталған торларда, яғни бастапқы тордың тораптары арасында орналасқан торларда бейнелеуге болады. Үш басқышталған торды анықтау ыңғайлы, олардың әрқайсысы бір ғана бағытта қалыпты деректердің компоненттеріне сәйкес жылғалады. Әрбір басқышталған торда нүктелер жиыны бойынша трилинейлік интерполяция жасалады. Интерполяция салмақтары кейін ni-дің тиісті компонентінің шамасын pi нүктесін қамтитын нақты басқышталған тор ұяшығының тораптарына бөлу үшін қолданылады. Каждан және оның әріптестері деректер нүктелері көп жерде тор ұяшықтары кішірек (тор ұсақ бөлінген) адаптивті шекті айырмашылық торды қолдану арқылы дискреттеудің дәлірек әдісін ұсынады. Олар бұл әдісті адаптивті октаэдрмен іске асыруды ұсынады.