Кіріспе
Функционалдық кеңістіктердегі дифференциалдық есептеу Вариациялар калькулі (немесе вариациялық калькуль) – функциялар мен функционалдардың шағын өзгерістері болып табылатын вариацияларды пайдаланатын математикалық талдау саласы. Функционалдар көбінесе функциялар мен олардың туындыларын қамтитын анықталған интегралдар ретінде беріледі. Функционалдарды барынша ұлғайтатын немесе азайтатын функцияларды вариациялық калькулідің Эйлер-Лагранж теңдеуін пайдаланып табуға болады. Мұндай мәселенің қарапайым мысалы – екі нүктені байланыстыратын ең қысқа ұзындығы бар қисықты табу. Егер шектеулер болмаса, шешім нүктелер арасындағы түзу сызық болады. Алайда, егер қисық кеңістіктегі бетте жатса, онда шешім түсініксіз болуы мүмкін және көптеген шешімдер болуы мүмкін. Мұндай шешімдер геодезиялық деп аталады. Ферма принципімен байланысты мәселе де бар: жарық екі нүктені байланыстыратын ең қысқа оптикалық ұзындығымен жүреді, бұл ортаның материалына байланысты. Механикадағы сәйкес келетін ұғым – ең аз/стационарлық әрекет принципі. Көптеген маңызды мәселелер бірнеше айнымалы функцияларын қамтиды. Лаплас теңдеуінің шекаралық мәндер проблемаларының шешімдері Дирихле принципін қанағаттандырады. Плато мәселесі кеңістіктегі берілген контурды жабатын ең аз ауданы бар бетті табуды талап етеді: шешімді көбінесе раманы сабынды суға батыру арқылы табуға болады. Мұндай эксперименттерді орындау салыстырмалы түрде оңай болғанымен, олардың математикалық тұжырымы қарапайым емес: бірнеше жергілікті минимизациялайтын беттер болуы мүмкін және олардың тривиальды емес топологиясы болуы мүмкін.
The calculus of variations (or variational calculus) is a field of mathematical analysis that uses variations, which are small changes in functions
and functionals, to find maxima and minima of functionals: mappings from a set of functions to the real numbers. Functionals are often expressed as definite integrals involving functions and their derivatives. Functions that maximize or minimize functionals may be found using the Euler–Lagrange equation of the calculus of variations. A simple example of such a problem is to find the curve of shortest length connecting two points. If there are no constraints, the solution is a straight line between the points. However, if the curve is constrained to lie on a surface in space, then the solution is less obvious, and possibly many solutions may exist. Such solutions are known as geodesics. A related problem is posed by Fermat's principle: light follows the path of shortest optical length connecting two points, which depends upon the material of the medium. One corresponding concept in mechanics is the principle of least/stationary action. Many important problems involve functions of several variables. Solutions of boundary value problems for the Laplace equation satisfy the Dirichlet's principle. Plateau's problem requires finding a surface of minimal area that spans a given contour in space: a solution can often be found by dipping a frame in soapy water. Although such experiments are relatively easy to perform, their mathematical formulation is far from simple: there may be more than one locally minimizing surface, and they may have non trivial topology.
Тарих
Вариациялар калькульін Ньютонның 1687 жылы қойған ең аз кедергі мәселесімен басталады деуге болады, одан кейін Иоганн Бернулли (1696) көтерген брахистохрон қисығының мәселесі туды. Бұл мәселе бірден Якоб Бернулли мен Маркиз де л'Оспиталдың назарын аударды, бірақ Леонард Эйлер бұл тақырыпты алғаш рет 1733 жылдан бастап кеңейтті. Лагранж Эйлердің еңбектерінің ықпалымен теорияға маңызды үлес қосты. Эйлер 1755 жылы 19 жасар Лагранждың жұмысын көргеннен кейін, өзінің ішінара геометриялық тәсілдерін Лагранждың таза талдамалық тәсіліне ауыстырып, 1756 жылғы Elementa Calculi Variationum лекциясында бұл пәнді вариациялар калькульі деп атады.
Белтрамидің жеке басы
Физика мәселелерінде интегралдың мағынасы функциясы болып табылады және бірақ бөлек пайда болмайды. Мұндай жағдайда Эйлер-Лагранж теңдеуін Белтрами сәйкестігіне дейін жеңілдетуге болады, мұндағы – тұрақты шама. Сол жағы – функцияның уақытқа қатысты Лежандр түрлендірілісі. Бұл нәтижеге қол жеткізудің түйсігі – егер айнымалы шын мәнінде уақыт болса, онда Лагранжиан уақыттан тәуелсіз екенін көрсетеді. Ноэтер теоремасы бойынша, осыған сәйкес сақталатын шама бар. Бұл жағдайда бұл шама – Гамильтониан, Лагранжианның Лежандр түрлендірілісі, ол (көбінесе) жүйенің энергиясына тең болады. Бұл Белтрами сәйкестігіндегі (теріс) тұрақты шама.
where is a constant. The left hand side is the Legendre transformation of with respect to
The intuition behind this result is that, if the variable is actually time, then the statement implies that the Lagrangian is time independent. By Noether's theorem, there is an associated conserved quantity. In this case, this quantity is the Hamiltonian, the Legendre transform of the Lagrangian, which (often) coincides with the energy of the system. This is (minus) the constant in Beltrami's identity.
Дю Буа-Реймонд теоремасы
Әзірге талқылау экстремалдық функциялардың екі үздіксіз туындысы бар деп қарады, бірақ интегралдың болуы сынақ функцияларының тек бірінші туындыларын ғана талап етеді. Бірінші вариацияның экстремалды нүктеде нөлге теңесуі Эйлер-Лагранж теңдеуінің әлсіз түрі деп қарастырылуы мүмкін. Дю Бой Реймонд теоремасы осы әлсіз түрінің күшті түрін білдіретінін дәлелдейді. Егер функцияның барлық аргументтері бойынша үздіксіз бірінші және екінші туындылары болса, және егерде
болса, онда функцияның екі үздіксіз туындысы болады және ол Эйлер-Лагранж теңдеуін қанағаттандырады.
Лаврентьев құбылысы
Гилберт Эйлер-Лагранж теңдеулеріне тұрақты шешім беруге қатысты жақсы шарттарды алғаш рет берді. Дөңгелек аймақта және оң үш рет дифференциалданатын Лагранж функциясы үшін шешімдер шекара бойымен өтетін немесе ішкі аймақта Эйлер-Лагранж теңдеулерін қанағаттандыратын санаулы қималар жиынтығынан құралады. Алайда, 1926 жылы Лаврентьев оптималды шешімнің болмауы мүмкін екенін, бірақ қималардың санын арттыру арқылы оған кез келген дәлдікпен жуықтасуға болатынын көрсетті. Лаврентьев құбылысы – рұқсат етілген функциялардың әртүрлі кластары үшін минималдау мәселесінің инфимумындағы айырмашылықты анықтайды. Мысалы, Манианың 1934 жылы ұсынған келесі мәселесі: анық түрде функционалды азайтады, бірақ кез келген функция инфимумнан қашықталған мән береді. Мысалдар (бір өлшемде) әдетте және арасында көрінеді, бірақ Балл мен Мизель алғашқы функционалды тапты, ол Лаврентьев құбылысын және үшін көрсетті. Бұл құбылыс пайда болмайтын жағдайларды анықтайтын бірнеше нәтижелер бар, мысалы, «стандартты өсім», екінші айнымалыға тәуелділігі жоқ Лагранж функциясы немесе Цезари шартын (D) қанағаттандыратын жуықтау тізбегі, бірақ нәтижелер көбінесе ерекше және функционалдардың тар класына ғана қолданылады. Лаврентьев құбылысымен байланысты репульсия қасиеті бар: Лаврентьев құбылысын көрсететін кез келген функционал әлсіз репульсия қасиетін де көрсетеді.
Clearly, minimizes the functional, but we find any function gives a value bounded away from the infimum. Examples (in one dimension) are traditionally manifested across and but Ball and Mizel procured the first functional that displayed Lavrentiev's Phenomenon across and for There are several results that gives criteria under which the phenomenon does not occur for instance 'standard growth', a Lagrangian with no dependence on the second variable, or an approximating sequence satisfying Cesari's Condition (D) but results are often particular, and applicable to a small class of functionals. Connected with the Lavrentiev Phenomenon is the repulsion property: any functional displaying Lavrentiev's Phenomenon will display the weak repulsion property.
Өзіндік құн проблемалары
Бір өлшемді де, көп өлшемді де өзіндік мән проблемаларын вариациялық проблемалар түрінде қоюға болады.
Снелл заңы
Жарық линзаға кіргенде немесе одан шыққанда, жарық сыну индексінің үздіксіздігі болады. Келесіні қарастырайық:
мұнда және тұрақты шамалар. Онда Эйлер-Лагранж теңдеуі бұрынғыдай, индексі немесе болатын аймақта қолданылады, ал іс жүзінде сол аймақтағы траектория тура сызық болады, себебі сыну индексі тұрақты. индексінде үздіксіз болуы керек, бірақ үздіксіз болуы мүмкін. Жеке аймақтарда интегралдау арқылы және Эйлер-Лагранж теңдеулерін қолдану нәтижесінде, бірінші вариация келесідей түс алды:
-ге көбейтін коэффициент – түсетін сәуленің осьпен жасаған бұрышының синусы, ал -ге көбейтін коэффициент – сынған сәуленің осьпен жасаған бұрышының синусы. Снеллдің сыну заңы осы шамалардың тең болуын талап етеді. Бұл есептеу көрсеткендей, Снелл заңы оптикалық жол ұзындығының бірінші вариациясының нөлге теңесуімен эквивалентті.