Кіріспе
Бір аймақтағы температураның өзгеруін сипаттайтын бөлшектік дифференциалдық теңдеу математика мен физикада жылу теңдеуі деп белгілі. Жылу теңдеуінің шешімдері кейде калориялық функциялар деп аталады. Жылу теңдеуінің теориясын алғаш рет 1822 жылы Жозеф Фурье, жылу сияқты шаманың белгілі бір аймақ арқылы қалай таралатынын модельдеу мақсатымен әзірлеген. Параболалық бөлшектік дифференциалдық теңдеудің негізгі үлгісі ретінде жылу теңдеуі таза математикадағы ең көп зерттелген тақырыптардың бірі болып табылады және оның талдауы бөлшектік дифференциалдық теңдеулердің кең саласының негізі саналады. Жылу теңдеуін Римандық көпүрліліктерде де қарастыруға болады, бұл көптеген геометриялық қолданыстарға әкеледі. Суббарамиа Минакшисундарам мен Аке Плейельдің жұмыстарынан кейін жылу теңдеуі спектральдық геометриямен тығыз байланысты. Жылу теңдеуінің маңызды сызықтық емес түрін 1964 жылы Джеймс Эллс пен Джозеф Сэмпсон дифференциалдық геометрияға енгізді, бұл 1982 жылы Ричард Гамильтонның Риччи ағынын енгізуіне және 2003 жылы Григорий Перельманның Пуанкаре болжамын дәлелдеуіне ықпал етті. Жылу ядролары деп аталатын жылу теңдеуінің кейбір шешімдері, олар анықталған аймақ туралы құнды ақпаратты ұсынады, мысалы, Атия-Сингер индекстік теоремасына қолданылуы арқылы. Жылу теңдеуі және оның түрлері ғылымның көптеген салаларында және қолданбалы математикада маңызды. Ықтималдықтар теориясында жылу теңдеуі Фоккер-Планк теңдеуі арқылы кездейсоқ серуендер мен Браун қозғалысын зерттеумен байланысты. Қаржылық математикадағы Блэк-Шоулс теңдеуі жылу теңдеуінің шағын түрі болып табылады, ал кванттық механикадағы Шредингер теңдеуін жорамал уақыттағы жылу теңдеуі ретінде қарастыруға болады. Кескінді талдауда жылу теңдеуі кейде пиксельдеуді жою және шеттерді анықтау үшін қолданылады. Роберт Рихтмайер мен Джон фон Нейманның «жасанды тұтқырлық» әдістерін енгізгеннен кейін жылу теңдеулерінің шешімдері гидродинамикалық соққыларды математикалық тұрғыдан түсіндіруде пайдалы болды. Жылу теңдеуінің шешімдері сандық талдау әдебиеттерінде де көп назарға ие болды, 1950 жылдары Джим Дуглас, Д.У. Писмен және Генри Рейчфорд-кішінің жұмыстарымен басталды.
In mathematics and physics, the heat equation is a certain partial differential equation. Solutions of the heat equation are sometimes known as caloric functions. The theory of the heat equation was first developed by Joseph Fourier in 1822 for the purpose of modeling how a quantity such as heat diffuses through a given region. As the prototypical parabolic partial differential equation, the heat equation is among the most widely studied topics in pure mathematics, and its analysis is regarded as fundamental to the broader field of partial differential equations. The heat equation can also be considered on Riemannian manifolds, leading to many geometric applications. Following work of Subbaramiah Minakshisundaram and Åke Pleijel, the heat equation is closely related with spectral geometry. A seminal nonlinear variant of the heat equation was introduced to differential geometry by James Eells and Joseph Sampson in 1964, inspiring the introduction of the Ricci flow by Richard Hamilton in 1982 and culminating in the proof of the Poincaré conjecture by Grigori Perelman in 2003. Certain solutions of the heat equation known as heat kernels provide subtle information about the region on which they are defined, as exemplified through their application to the Atiyah–Singer index theorem. The heat equation, along with variants thereof, is also important in many fields of science and applied mathematics. In probability theory, the heat equation is connected with the study of random walks and Brownian motion via the Fokker–Planck equation. The Black–Scholes equation of financial mathematics is a small variant of the heat equation, and the Schrödinger equation of quantum mechanics can be regarded as a heat equation in imaginary time. In image analysis, the heat equation is sometimes used to resolve pixelation and to identify edges. Following Robert Richtmyer and John von Neumann's introduction of "artificial viscosity" methods, solutions of heat equations have been useful in the mathematical formulation of hydrodynamical shocks. Solutions of the heat equation have also been given much attention in the numerical analysis literature, beginning in the 1950s with work of Jim Douglas, D. W. Peaceman, and Henry Rachford Jr.
Теңдеудің физикалық түсіндірмесі
Лапластың ∆ операторы функцияның нүкте маңындағы орташа мәні мен оның сол нүктедегі мәні арасындағы айырманы көрсетеді. Демек, егер u температура болса, ∆ әрбір нүктені қоршаған материалдың осы нүктедегі материалға қарағанда орташа есеп бойынша қаншалықты ыстық немесе суық екенін анықтайды. Термодинамиканың екінші заңына сәйкес, жылу ыстық денелерден жақын орналасқан суық денелерге температура айырмасы мен материалдың жылу өткізгіштігіне пропорционал түрде ағылады. Жылу материалға (немесе одан) ағу кезінде, оның температурасы материалдың массасына бөлінген жылу мөлшеріне пропорционал түрде артады (немесе төмендейді), бұл пропорционалдық коэффициент материалдың меншікті жылу сыйымдылығы деп аталады. Осы байқаулардың жиынтығы бойынша, жылу теңдеуі бір нүктедегі материалдың қызу (немесе салқындау) жылдамдығы, оны қоршаған материалдың қаншалықты ыстық (немесе суық) екеніне пропорционал екенін көрсетеді. Теңдеудегі α коэффициенті материалдың жылу өткізгіштігін, меншікті жылуын және тығыздығын ескереді.
Ерітінділердің сипаты
Жылу теңдеуіне сәйкес, ең жоғары нүктелер (жергілікті максимумдар) біртіндеп эрозияланып төмендейді, ал ең төмен нүктелер (жергілікті минимумдар) толтырылады. Бір нүктедегі мән тек қана сол нүктенің жақын айналасындағы орташа мәнге тең болғанда ғана тұрақты болады. Атап айтқанда, егер белгілі бір аймақтағы мәндер тура сызықты функцияға өте жақын болса, онда сол аймақтың ортасындағы мән сол уақытта өзгере қоймайды (яғни, туындысы нөлге тең болады). Тағы бір маңызды салдары – максималды принцип, ол ортаның кез келген аймағындағы мән ең жоғары шегі, егер ол аймақтың шекарасында болмаса, бұрынғы ең жоғары мәннен аспайды. Яғни, аймақтағы максималды температура тек сырттан жылу келгенде ғана арта алады. Бұл параболалық дербес дифференциалдық теңдеулердің қасиеті және математикалық тұрғыдан оны дәлелдеу қиын емес (төменде қараңыз). Тағы бір қызықты қасиеті – егер бастапқыда ортаның ішіндегі кейбір бетте мәннің күрт өзгеруі (үзілісі) болса да, сол бет арқылы жылу ағынының бірден, өте қысқа, бірақ шексіз үлкен жылдамдығымен тегістеледі. Мысалы, егер екі оқшауланған дененің бастапқы температурасы біркелкі болса да, әртүрлі болса ( және ), оларды біріне-бірі тигізсе, жанасқан нүктедегі температура бірден аралық мәнді қабылдайды, ал сол нүктенің айналасында мән бірте-бірте аралық мәнге дейін өзгеретін аймақ пайда болады. Егер ортаның бір нүктесіне белгілі бір мөлшерде жылу бірден қолданылса, ол диффузиялық толқын түрінде барлық бағытта таралады. Эластикалық және электромагниттік толқындардан айырмашылығы, диффузиялық толқынның жылдамдығы уақыт өте келе төмендейді: ол үлкен аймаққа тараған сайын температура градиенті төмендеп, сәйкесінше жылу ағыны да азаяды.
If a certain amount of heat is suddenly applied to a point in the medium, it will spread out in all directions in the form of a diffusion wave. Unlike the elastic and electromagnetic waves, the speed of a diffusion wave drops with time: as it spreads over a larger region, the temperature gradient decreases, and therefore the heat flow decreases too.
Біркелкі емес изотроптық орта
Термодинамиканың бірінші заңымен (яғни энергияның сақталуы) берілген күй теңдеуі мына түрде жазылады (масса ауысымы немесе сәулелену болмаса). Бұл форма жалпырақ болып табылады және қандай қасиеттің (мысалы, cp немесе) қай терминге әсер ететінін анықтауға өте ыңғайлы. мұнда – көлемдік жылу көзі.
Ішкі жылу өндіру
Жоғарыдағы u функциясы дененің температурасын көрсетеді. Сонымен қатар, кейде бірліктерді өзгерту және u-ны ортаның жылу тығыздығы ретінде көрсету ыңғайлы болуы мүмкін. Жылу тығыздығы біртекті ортада температураға пропорционалды болғандықтан, жаңа бірліктерде де жылу теңдеуі орындалады. Егер дене жылу теңдеуіне бағынып, сонымен қатар, кеңістік және уақыт бойынша өзгеретін белгілі функция q арқылы берілген жылдамдықпен бірлік көлемде өзінің жылуын (мысалы, Вт/литр, Вт/л) өндірсе, онда бірлік көлемдегі жылу u белгілі бір теңдеуді қанағаттандырады.
Мысалы, вольфрам шамның жіпшесі жылу шығарады, сондықтан шам қосылғанда q үшін нөлден өзгеше оң мәнге ие болады. Ал шам өшірілгенде вольфрам жіпшесі үшін q мәні нөлге тең болады.
Ерітінді техникасын жалпылау
Жоғарыда қолданылған шешім әдісін көптеген басқа да теңдеу түрлеріне кеңейтуге болады. Негізгі идея – нөлдік шекаралық шарттары бар uxx операторын өзіндік функциялары арқылы көрсету мүмкіндігі. Бұл сызықтық, өзін-өзі қосатын операторлардың спектрлік теориясының негізгі идеяларының біріне табиғи түрде әкеледі. Δu = uxx сызықтық операторын қарастырайық. n ≥ 1 үшін функциялардың шексіз тізбегі Δ операторының өзіндік функциялары болып табылады. Шындығында, f(0) = f(L) = 0 шекаралық шарттары бар Δ операторының кез келген өзіндік функциясы f, кейбір n ≥ 1 үшін en түрінде болады. n ≥ 1 үшін en функциялары [0, L] аралығындағы нақты мәнді функциялар кеңістігіндегі белгілі бір ішкі көбейтіндіге қатысты ортонормал тізбек құрайды. Яғни, {en}n ∈ N тізбегі (0, L) аралығындағы L2 кеңістігінің тығыз сызықтық кіші кеңістігін жабады. Бұл, іс жүзінде, Δ операторын диагональдауды көрсетеді.
for n ≥ 1 are eigenfunctions of Δ. Indeed,
Moreover, any eigenfunction f of Δ with the boundary conditions f(0) = f(L) = 0 is of the form en for some n ≥ 1. The functions en for n ≥ 1 form an orthonormal sequence with respect to a certain inner product on the space of real valued functions on [0, L]. This means
Finally, the sequence {en}n ∈ N spans a dense linear subspace of L2((0, L)). This shows that in effect we have diagonalized the operator Δ.
Гриннің 1D-дегі кейбір функциялары
Мұнда бір өлшемдегі Грин функциясының әртүрлі қарапайым шешімдері келтірілген; көптеген басқалары басқа жерлерде қолжетімді. Олардың кейбіреулерінде кеңістік домені (−∞,∞) болып табылады. Ал енді басқаларында Нейман немесе Дирихлет шекаралық шарттары бар жартылай шексіз интервал (0,∞) қарастырылады. Тағы бір айырмашылық – олардың кейбіреулері f – x және t-нің белгілі бір функциясы болатын біртекті емес теңдеуді шешеді.
where f is some given function of x and t.
Полимерлердегі жылу диффузиясы
Жылу теңдеуінің тікелей практикалық қолданылуы, Фурье теориясымен байланысты, сфералық координаттарда жылу беру профильдерін болжау және полимерлердегі жылу өткізгіштігін өлшеу болып табылады (Ансворт және Дуарте). Бұл қос теориялық-тәжірибелік әдіс каучукке, практикалық маңызы бар басқа да түрлі полимерлік материалдарға және микросұйықтықтарға қолданылады. Осы авторлар радиусы L болатын сфераның ортасындағы температура TC екенін көрсетті, мұнда T0 – сфераның бастапқы температурасы, ал TS – сфера бетіндегі температура. Бұл теңдеу белоктардағы энергия алмасу және биофизикадағы жылулық модельдеу салаларында да қолданыс тапқан.
where T0 is the initial temperature of the sphere and TS the temperature at the surface of the sphere, of radius L. This equation has also found applications in protein energy transfer and thermal modeling in biophysics.
Әртүрлі салалардағы қолдану
Жылу теңдеуі көптеген құбылыстарды модельдеуде туындайды және опцияларды модельдеуде қаржы математикасында жиі қолданылады. Black-Scholes опция бағалау моделінің дифференциалдық теңдеуін жылу теңдеуіне түрлендіруге болады, бұл математиканың белгілі бір бөлігінен салыстырмалы түрде оңай шешімдер алуға мүмкіндік береді. Қарапайым опция модельдерінің көптеген кеңейтімдерінің жабық түрдегі шешімдері жоқ, сондықтан модельделген опция бағасын алу үшін оларды сандық түрде шешу қажет. Кеуекті ортадағы қысымның диффузиясын сипаттайтын теңдеу жылу теңдеуімен форма бойынша сәйкес келеді. Дирихле, Нейман және Робин шекаралық шарттарымен байланысты диффузиялық мәселелердің жабық аналитикалық шешімдері бар. Жылу теңдеуі бейне талдауында және машиналық оқытуда масштабты кеңістік немесе граф Лапласиан әдістерінің негізгі теориясы ретінде кеңінен қолданылады. Жылу теңдеуін имплициттік Кранк-Николсон әдісін қолдану арқылы тиімді түрде сандық түрде шешуге болады. Бұл әдіс жабық түрдегі шешімі жоқ көптеген модельдерге қолданылуы мүмкін, мысалы, қараңыз. Көптүрліліктердегі жылу теңдеуінің абстрактілі түрі Атия-Сингер индексі теоремасына маңызды тәсіл ұсынады және Риман геометриясындағы жылу теңдеулері бойынша одан әрі зерттеулерге әкелді.
An abstract form of heat equation on manifolds provides a major approach to the Atiyah–Singer index theorem, and has led to much further work on heat equations in Riemannian geometry.