Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Дифференциалдық оператор – скалярлы өрістердегі математикалық оператор.
Differential operator
the mathematical operator on scalar fields
Математикада Лаплас операторы немесе Лапласиан – Эвклид кеңістігіндегі скалярлық функцияның градиентінің дивергенциясымен берілген дифференциалдық оператор. Ол әдетте , (мұндағы – набла операторы) немесе символдарымен белгіленеді. Картезиандық координаттар жүйесінде Лапласиан функцияның әр тәуелсіз айнымалыға қатысты екінші жартылай туындыларының қосындысы ретінде беріледі. Цилиндрлік және сфералық координаттар сияқты басқа координаттар жүйелерінде де Лапласианның пайдалы түрі бар. Формальды түрде, f функциясының Лапласианы Δf(p) нүктесінде f-тің p нүктесінде орталанған кішкентай шарлар немесе сфералар бойынша орташа мәні f(p)-ден қаншалықты ауытқанын көрсетеді. Лаплас операторы француз математигі Пьер Симон де Лапластың (1749–1827) құрметіне аталған, ол алғаш рет операторды аспан механикасын зерттеуде қолданды: белгілі бір масса тығыздығы таралуына байланысты гравитациялық потенциалдың Лапласианы осы тығыздық таралуының тұрақты еселігіне тең. Лаплас теңдеуінің 1=Δf = 0 шешімдері – гармоникалық функциялар деп аталады және вакуумдағы мүмкін гравитациялық потенциалдарды көрсетеді. Лапласиан физикалық құбылыстарды сипаттайтын көптеген дифференциалдық теңдеулерде кездеседі. Пуассон теңдеуі электрлік және гравитациялық потенциалды сипаттайды; диффузия теңдеуі жылу және сұйықтық ағынын сипаттайды; толқын теңдеуі толқын таралуын сипаттайды; ал Шредингер теңдеуі кванттық механикадағы толқындық функцияны сипаттайды. Бейне өңдеу және компьютерлік көруде Лаплас операторы түрлі міндеттер үшін, мысалы, дақтарды және жиектерді анықтау үшін қолданылған. Лапласиан – ең қарапайым эллипстік оператор және Ходж теориясының, сондай-ақ де Рам когомологиясының негізгі бөлігі болып табылады.
In mathematics, the Laplace operator or Laplacian is a differential operator given by the divergence of the gradient of a scalar function on Euclidean space. It is usually denoted by the symbols , (where is the nabla operator), or In a Cartesian coordinate system, the Laplacian is given by the sum of second partial derivatives of the function with respect to each independent variable. In other coordinate systems, such as cylindrical and spherical coordinates, the Laplacian also has a useful form. Informally, the Laplacian Δf (p) of a function f at a point p measures by how much the average value of f over small spheres or balls centered at p deviates from f (p). The Laplace operator is named after the French mathematician Pierre Simon de Laplace (1749–1827), who first applied the operator to the study of celestial mechanics: the Laplacian of the gravitational potential due to a given mass density distribution is a constant multiple of that density distribution. Solutions of Laplace's equation 1=Δf = 0 are called harmonic functions and represent the possible gravitational potentials in regions of vacuum. The Laplacian occurs in many differential equations describing physical phenomena. Poisson's equation describes electric and gravitational potentials; the diffusion equation describes heat and fluid flow; the wave equation describes wave propagation; and the Schrödinger equation describes the wave function in quantum mechanics. In image processing and computer vision, the Laplacian operator has been used for various tasks, such as blob and edge detection. The Laplacian is the simplest elliptic operator and is at the core of Hodge theory as well as the results of de Rham cohomology.
Жалпылау
Дирихле энергиясы функционалының анықталған жерінде Лапласианның түрі анықталуы мүмкін, бұл Дирихле формаларының теориясы болып табылады. Қосымша құрылымы бар кеңістіктер үшін Лапласианды келесідей нақтырақ сипаттауға болады.
A version of the Laplacian can be defined wherever the Dirichlet energy functional makes sense, which is the theory of Dirichlet forms. For spaces with additional structure, one can give more explicit descriptions of the Laplacian, as follows.