Кіріспе
Жалпыланған функцияға ұқсас математикалық талдау термині – Шварц үлестірулері немесе жалпыланған функциялар деп те аталатын үлестірулер, математикалық талдаудағы функциялар туралы классикалық ұғымды кеңейтетін объектілер. Үлестірулер классикалық мағынада туындысы жоқ функцияларды дифференциалдауға мүмкіндік береді. Атап айтқанда, кез келген жергілікті интегралданатын функцияның үлестірілімдік туындысы болады. Үлестірулер үлестік дифференциалдық теңдеулер теориясында кеңінен қолданылады, онда классикалық шешімдерге қарағанда үлестірілімдік шешімдердің (әлсіз шешімдердің) болуын анықтау оңайырақ болуы мүмкін немесе тиісті классикалық шешімдердің болуы мүмкін емес. Үлестірулер физика мен инженерияда да маңызды, онда көптеген мәселелер дифференциалдық теңдеулерге алып келеді, олардың шешімдері немесе бастапқы шарттары Дирак дельта-функциясы сияқты ерекшеліктерге ие. Функция әдетте функциялық домендегі нүктелерге «жіберу» арқылы әрекет етеді, яғни домендегі нүктені домендегі нүктеге сәйкес келтіреді. Нүктелерге әрекет етудің орнына, үлестірулер теориясы функцияларды, мысалы, тест-функцияларға белгілі бір тәсілмен әрекет ететіндей етіп қайта қарастырады. Физика мен инженерияда тест-функциялар әдетте шексіз дифференциалданатын, күрделі мәнді (немесе нақты мәнді) және шекті қолдауы бар функциялар болып табылады, олар белгілі бір бос емес ашық жиынтықта анықталған. Мұндай барлық тест-функциялар жиыны векторлық кеңістік құрайды, ол немесе арқылы белгіленеді.
Distributions, also known as Schwartz distributions or generalized functions, are objects that generalize the classical notion of functions in mathematical analysis. Distributions make it possible to differentiate functions whose derivatives do not exist in the classical sense. In particular, any locally integrable function has a distributional derivative. Distributions are widely used in the theory of partial differential equations, where it may be easier to establish the existence of distributional solutions (weak solutions) than classical solutions, or where appropriate classical solutions may not exist. Distributions are also important in physics and engineering where many problems naturally lead to differential equations whose solutions or initial conditions are singular, such as the Dirac delta function. A function is normally thought of as acting on the points in the function domain by "sending" a point in the domain to the point Instead of acting on points, distribution theory reinterprets functions such as as acting on test functions in a certain way. In applications to physics and engineering, test functions are usually infinitely differentiable complex valued (or real valued) functions with compact support that are defined on some given non empty open subset (Bump functions are examples of test functions.) The set of all such test functions forms a vector space that is denoted by or
Most commonly encountered functions, including all continuous maps if using can be canonically reinterpreted as acting via "integration against a test function." Explicitly, this means that such a function "acts on" a test function by "sending" it to the number which is often denoted by This new action of defines a scalar valued map whose domain is the space of test functions This functional turns out to have the two defining properties of what is known as a distribution on : it is linear, and it is also continuous when is given a certain topology called the canonical LF topology. The action (the integration ) of this distribution on a test function can be interpreted as a weighted average of the distribution on the support of the test function, even if the values of the distribution at a single point are not well defined. Distributions like that arise from functions in this way are prototypical examples of distributions, but there exist many distributions that cannot be defined by integration against any function. Examples of the latter include the Dirac delta function and distributions defined to act by integration of test functions against certain measures on Nonetheless, it is still always possible to reduce any arbitrary distribution down to a simpler family of related distributions that do arise via such actions of integration. More generally, a distribution on is by definition a linear functional on that is continuous when is given a topology called the canonical LF topology. This leads to the space of (all) distributions on , usually denoted by (note the prime), which by definition is the space of all distributions on (that is, it is the continuous dual space of ); it is these distributions that are the main focus of this article. Definitions of the appropriate topologies on spaces of test functions and distributions are given in the article on spaces of test functions and distributions. This article is primarily concerned with the definition of distributions, together with their properties and some important examples.
Көбінесе кездесетін функциялардың барлығы, оның ішінде барлық үздіксіз функциялар, тест-функциясына қарсы «интегралдау» арқылы канондық түрде қайта қарастырылуы мүмкін. Нақтырақ айтқанда, мұндай функция тест-функциясына санды жіберу арқылы «әрекет етеді», бұл көбінесе арқылы белгіленеді. Осы жаңа әрекет функциялықты құрайды, оның домені тест-функциялар кеңістігі болып табылады. Бұл функционалдың екі анықтамалық қасиеті бар: ол сызықтық және белгілі бір топология берілген кезде үздіксіз. Бұл үлестірудің тест-функциясына қатысты әсерін (интегралдауын) тест-функциясының қолдауындағы үлестірудің салмақталған орташасы ретінде қарастыруға болады, тіпті егер үлестірудің бір нүктедегі мәндері жақсы анықталмаған болса да. Осылайша функциялардан туындаған үлестірулер – үлестірулердің прототиптік мысалдары, бірақ кез келген функцияға қарсы интегралдау арқылы анықталмайтын көптеген үлестірулер бар. Соңғыларының мысалдары Дирак дельта-функциясы және белгілі бір өлшемдерге қарсы тест-функцияларын интегралдау арқылы әрекет ететін деп анықталған үлестірулерді қамтиды. Дегенмен, кез келген ерікті үлестіруді интегралдаудың осындай әрекеттерінен туындайтын байланысты үлестірулердің қарапайым отбасына дейін азайту әрқашан мүмкін. Жалпы алғанда, үлестіру – бұл анықтама бойынша сызықтық функционал, ол канондық LF топологиясы деп аталатын топология берілген кезде үздіксіз болады. Бұл кеңістік, әдетте (түпнұсқаға назар аударыңыз) деп белгіленеді, ол барлық үлестірулердің кеңістігі (яғни, бұл кеңістіктің үздіксіз қос кеңістігі); осы үлестірулер осы мақаланың басты назарында. Сынақ функциялары мен үлестірулер кеңістіктеріндегі тиісті топологиялардың анықтамалары тест-функциялары мен үлестірулер кеңістіктері туралы мақалада келтірілген. Бұл мақала, ең алдымен, олардың қасиеттерімен және кейбір маңызды мысалдарымен бірге үлестірулердің анықтамасын қарастырады.
Distributions, also known as Schwartz distributions or generalized functions, are objects that generalize the classical notion of functions in mathematical analysis. Distributions make it possible to differentiate functions whose derivatives do not exist in the classical sense. In particular, any locally integrable function has a distributional derivative. Distributions are widely used in the theory of partial differential equations, where it may be easier to establish the existence of distributional solutions (weak solutions) than classical solutions, or where appropriate classical solutions may not exist. Distributions are also important in physics and engineering where many problems naturally lead to differential equations whose solutions or initial conditions are singular, such as the Dirac delta function. A function is normally thought of as acting on the points in the function domain by "sending" a point in the domain to the point Instead of acting on points, distribution theory reinterprets functions such as as acting on test functions in a certain way. In applications to physics and engineering, test functions are usually infinitely differentiable complex valued (or real valued) functions with compact support that are defined on some given non empty open subset (Bump functions are examples of test functions.) The set of all such test functions forms a vector space that is denoted by or
Most commonly encountered functions, including all continuous maps if using can be canonically reinterpreted as acting via "integration against a test function." Explicitly, this means that such a function "acts on" a test function by "sending" it to the number which is often denoted by This new action of defines a scalar valued map whose domain is the space of test functions This functional turns out to have the two defining properties of what is known as a distribution on : it is linear, and it is also continuous when is given a certain topology called the canonical LF topology. The action (the integration ) of this distribution on a test function can be interpreted as a weighted average of the distribution on the support of the test function, even if the values of the distribution at a single point are not well defined. Distributions like that arise from functions in this way are prototypical examples of distributions, but there exist many distributions that cannot be defined by integration against any function. Examples of the latter include the Dirac delta function and distributions defined to act by integration of test functions against certain measures on Nonetheless, it is still always possible to reduce any arbitrary distribution down to a simpler family of related distributions that do arise via such actions of integration. More generally, a distribution on is by definition a linear functional on that is continuous when is given a topology called the canonical LF topology. This leads to the space of (all) distributions on , usually denoted by (note the prime), which by definition is the space of all distributions on (that is, it is the continuous dual space of ); it is these distributions that are the main focus of this article. Definitions of the appropriate topologies on spaces of test functions and distributions are given in the article on spaces of test functions and distributions. This article is primarily concerned with the definition of distributions, together with their properties and some important examples.
Тарих
Дистрибуциялардың практикалық қолданысы 1830-шы жылдардағы қарапайым дифференциалдық теңдеулерді шешу үшін Грин функцияларын пайдалануға дейін жетеді, бірақ бұл ұғым көп уақыт өткен соң ғана ресми түрде қалыптастырылды. Жалпыланған функциялар екінші реттік гиперболалық дербес дифференциалдық теңдеулерді зерттеу барысында туындады, ал идеялар 1940-жылдардың соңында Лоран Шварц еңбектерінде одан әрі дамытылды. Шварц өзінің өмірбаяндық еңбегінде "дистрибуция" терминін электр зарядының таралуымен салыстыра отырып енгізгенін айтады, бұл тек нүктелік зарядтарды ғана емес, сонымен қатар дипольдерді және басқаларын да қамтуы мүмкін. пікірінше, Шварцтың трансформациялық кітабындағы идеялар толығымен жаңа болмаса да, дистрибуциялардың талдаудың барлық салаларында пайдалы болатынына оның сенімділігі мен жүйелі тәсілі маңызды рөл атқарды.
Каноникалық LF топологиясы
Естеріңізге сала кетейік, бұл – жинағындағы, жинағындағы компакттық қолдауы бар барлық функцияларды білдіреді, мұнда – жинағының барлық компакттық ішкі жиынтықтарының бірігуі екенін атап өту қажет, – жинағының барлық компакттық ішкі жиынтықтары бойынша өтетін. Әрі, әрбір – жинағының тығыз ішкі жиыны болып табылады. жағдайындағы ерекше жағдай бізге сынақ функциялар кеңістігін береді. Каноникалық LF топологиясы метрикаланбайды және ең бастысы, ол кеңістігіндегі индукциялайтын ішкі кеңістік топологиясынан қатаң түрде жіңішке. Дегенмен, каноникалық LF топологиясы кеңістігін толық, рефлексивті, ядролық, Монтель борнологиялық, баррельді Маккей кеңістігіне айналдырады; оның күшті дуал кеңістігі үшін де осы айтылады (яғни, әдеттегі топологиясы бар барлық таралымдар кеңістігі). Каноникалық LF топологиясын әртүрлі тәсілдермен анықтауға болады.
Таралымдар кеңістігіндегі топология және оның әлсіз* топологиямен байланысы
Барлық үлестірулер жиынтығы – бұл үздіксіз қос кеңістік, ол күшті қос топологиямен жабдықталғанда деп белгіленеді. Маңыздысы, егер басқаша көрсетілмесе, топологиясы – күшті қос топология; егер топология оның орнына әлсіз * топология болса, онда бұл көрсетіледі. Екі топологияның ешқайсысы да метрикалық емес, бірақ әлсіз * топологиядан айырмашылығы, күшті қос топология кеңістігін толық ядролық кеңістік етеді, оның қалаулы қасиеттерінің бірнешеуін атағанға дейін. Оның күшті дуалы да, оның күшті дуалы да тізбектік кеңістік емес, сондықтан олардың топологияларын толықтай тізбектермен сипаттау мүмкін емес (яғни, осы кеңістіктерде қай тізбектер жинақталатынын анықтау, олардың топологияларын толық/дұрыс анықтау үшін жеткіліксіз). Дегенмен, кеңістігіндегі тізбек күшті қос топологияда жинақталатын болса және тек сонда ғана әлсіз * топологияда жинақталады (осы себепті көптеген авторлар үлестірулер тізбегінің жинақталуын анықтау үшін нүктелік жинақталуды қолданады; бұл тізбектер үшін жарамды, бірақ бұл үлестірулер желісінің жинақталуына дейін кеңейтілуіне кепілдік жоқ, себебі желі нүктелік жинақталуға ие болуы мүмкін, бірақ күшті қос топологияда жинақталуға жете алмайды). топологиясы туралы толық ақпаратты тест функциялары және үлестірулер кеңістіктері туралы мақаладан, сондай-ақ полярлық топологиялар және қос жүйелер туралы мақалалардан табуға болады. Сызықтық түрлендіру, егер ол нөлде тізбектік үздіксіз болса ғана, басқа жергілікті дөңгелек топологиялық векторлық кеңістікке (мысалы, кез келген нормаланған кеңістікке) үздіксіз болады. Алайда, егер түрлендіру сызықтық болмаса немесе жалпы топологиялық кеңістікке (мысалы, жергілікті дөңгелек топологиялық векторлық кеңістік емес) бағаланатын түрлендірулер үшін бұл кепілдендірілмейді. Осылайша, кеңістігінен (жалпы алғанда, кез келген жергілікті дөңгелек борнологиялық кеңістіктен) шығатын түрлендірулер үшін де осы айтуға болады.
Таратуларды жергілікті орналастыру
U-ның нақты бір нүктесінде таралымның мәнін анықтау мүмкін емес. Бірақ, функциялар сияқты, U бойынша таралымдар U-дың ашық ішкі жиындарына таралымдарды шектеуге мүмкіндік береді. Сонымен қатар, таралымдар жергілікті түрде анықталады, яғни U-дың барлық аймағындағы таралымды, U-дың ашық жабындарының жиынтығындағы таралымдардан, олардың араласуларындағы кейбір үйлесімділік шарттарын орындаса, құрастыруға болады. Мұндай құрылым қап деп аталады.
Бір жиынтықпен жоғалатын желімдеу және таралу
V, U-дың ашық ішкі жиыны болсын. T, егер кез келген x үшін, x ∈ U болса, T(x) = 0 болса, V-де жоғалады делінеді. Басқаша айтқанда, T, V-де жоғалады, егер және тек қана T-ның V-ге шектелуі 0-ге тең болса, немесе эквивалентті түрде, егер және тек қана T шектеу картасының ядросында жатса.
Таратулардың жалпы құрылымы
Таралымдардың формалды анықтамасы оларды өте үлкен кеңістіктің ішкі кеңістігі ретінде көрсетеді, атап айтқанда, топологиялық дуал (немесе қалыпты таралымдар үшін Шварц кеңістігі). Анықтамадан таралымның қаншалықты ерекше болуы мүмкін екені бірден түсініксіз. Бұл сұраққа жауап беру үшін таралымдарды кішірек кеңістіктен, атап айтқанда үздіксіз функциялар кеңістігінен құруды қарастыру орынды. Шамамен айтқанда, кез келген таралым – үздіксіз функцияның жергілікті (көп мәнді) туындысы. Төменде келтірілген осы нәтиже компактты тіректі таралымдарға, қалыпты таралымдарға және жалпы таралымдарға қатысты қолданылады. Жалпы айтқанда, таралымдар кеңістігінің ешбір дұрыс ішкі жиыны барлық үздіксіз функцияларды қамти алмайды және дифференциалау бойынша жабық болмайды. Бұл таралымдардың аса ерекше объектілер емес екенін көрсетеді; олар тек қажеттілік деңгейінде күрделі.
Үзіліссіз функциялардың туындыларының қосындысы ретінде үлестірілімдерді бөлшектеу
Жоғарыда келтірілген нәтижелерді біріктіру арқылы U-дағы кез келген үлестіруді, компактты қолдауы бар үлестірулер қатарының қосындысы ретінде көрсетуге болады, мұнда осы үлестірулердің әрқайсысы U-дағы үздіксіз функциялардың үлестіру туындыларының шекті қосындысы ретінде жазылуы мүмкін. Басқаша айтқанда, кез келген үшін мынаны жазуға болады:
мұнда - көп индекстердің шекті жиындары және функциялар үздіксіз. Жоғарыдағы шексіз қосындының үлестірілім ретінде дұрыс анықталғанын ескеріңіз. Берілген үшін T мәнін, қолдауын қиып өтетін шекті сандарды пайдалана отырып есептеуге болады.
Радонның оң әсері
Функциялар кеңістігіндегі сызықтық функция, егер доменіне жататын қандай да бір функция теріс емес болса (яғни, нақты мәнді және ), онда оң деп аталады. Кез келген оң сызықтық функционал міндетті түрде үздіксіз (яғни, міндетті түрде Радон шарасы) екенін көрсетуге болады. Лебег шарасы – оң Радон шарасының мысалы.
Таралымдар ретінде сынақ функциялары
Сынақ функциялары өзі локальды интегралданады, демек, олар таралымдарды анықтайды. Сынақ функциялары кеңістігі күшті топологияға қатысты тізбекті түрде тығыз. Яғни, кез келген үшін, сынақ функцияларының тізбегі табылады, ол (өзінің күшті жұптас топологиясында) таралымдар тізбегі ретінде қарастырылғанда жақындасады. Немесе, басқаша айтқанда,
Температивті үлестірулер мен Фурье трансформациясы
Төменде температуралы үлестірулер анықталған, олар кеңістіктегі үлестірулер кеңістігінің ішкі кеңістігін құрайды. Бұл нақты ішкі кеңістік: әрбір температуралы үлестіру – үлестіру және элементі болып табылады, бірақ керісіншесі дұрыс емес. Температуралы үлестірулер Фурье түрлендірмесін зерттегенде пайдалы, себебі барлық температуралы үлестірулердің Фурье түрлендірмесі бар, ал кез келген үлестіру үшін мұндай қасиет міндетті емес.
Температуралы үлестірулер
Инклюзия картасы – бұл кодоменасындағы бейнесі тығыз болатын үздіксіз инъекция, сондықтан транспозы да үздіксіз инъекция болып табылады. Осылайша, транспоздық картаның бейнесі, деп белгіленетін, таралу кеңістігін құрайды. Бұл кеңістік темперлі таралымдар кеңістігі деп аталады. Ол Шварц кеңістігінің үздіксіз қос кеңістігі. Басқаша айтқанда, таралым егер және тек егер болса, темперлі таралым болып табылады.
Темперлі таралымның туындысы да темперлі таралым болып табылады. Темперлі таралымдар шектелген (немесе баяу өсетін) жергілікті интегралданатын функцияларды жалпылайды; барлық компактты қолдауы бар таралымдар және барлық квадратты интегралданатын функциялар – темперлі таралымдар. Көбірек айтқанда, Lp кеңістігінің элементтерімен көбейтілген полиномдардың көбейтіндісі болып табылатын барлық функциялар – темперлі таралымдар. Темперлі таралымдарды баяу өсетін деп сипаттауға болады, яғни оның әрбір туындысы ең көп дегенде бір полином сияқты тез өседі. Бұл сипаттама Шварц кеңістігіндегі функция туындыларының жылдам төмендеуімен сәйкес келеді, онда функцияның әрбір туындысы кез келген кері қуаттан жылдамырақ төмендейді. Жылдам төмендейтін функцияның мысалы, кез келген оң үшін.
Сынақ функциялары ретінде голоморфты функцияларды қолдану
Теорияның табысы гиперфункция идеясын зерттеуге алып келді, онда голоморфтық функциялар кеңістіктері сынақ функциялары ретінде қолданылады. Нақтырақ айтқанда, Микио Сатоның алгебралық талдауы, қаптар теориясы және бірнеше комплекс айнымалыны пайдалана отырып, күрделендірілген теория жасалды. Бұл математиканың қатаң дәлелдерге негізделген түріне айналдыруға болатын символдық әдістердің мүмкіндіктерін кеңейтеді, мысалы, Фейнман интегралдары.