Кіріспе
Топтарды пермутациялар арқылы бейнелеу. Граф теориясындағы белгіленген ағаштар саны. Топтар теориясында Артур Кейлидің құрметіне аталған Кейли теоремасы, кез келген G тобы симметриялық топтың кіші тобына изоморфты екенін көрсетеді. Нақтырақ айтқанда, G тобы, оның элементтері G-нің негізгі жиынының пермутациялары болатын симметриялық топтың бір кіші тобына изоморфты болады. Әрбір g үшін, әрбір элементті x-тен gx-ке жіберу арқылы сол жақтан көбейту g операциясы G-нің пермутациясы болып табылады, ал әрбір элементті g-ге жіберу функциясы инъективті гомоморфизм болып табылады, сондықтан ол G-ден G-нің кіші тобына изоморфизмді анықтайды. Бұл гомоморфизмді G-нің негізгі жиынындағы сол жақтан аударма әрекетінен туындаған деп түсінуге болады.
the number of labeled trees in graph theory
In group theory, Cayley's theorem, named in honour of Arthur Cayley, states that every group G is isomorphic to a subgroup of a symmetric group. More specifically, G is isomorphic to a subgroup of the symmetric group whose elements are the permutations of the underlying set of G.
Explicitly,
for each , the left multiplication by g map sending each element x to gx is a permutation of G, and
the map sending each element g to is an injective homomorphism, so it defines an isomorphism from G onto a subgroup of The homomorphism can also be understood as arising from the left translation action of G on the underlying set G.
When G is finite, is finite too. The proof of Cayley's theorem in this case shows that if G is a finite group of order n, then G is isomorphic to a subgroup of the standard symmetric group But G might also be isomorphic to a subgroup of a smaller symmetric group, for some ; for instance, the order 6 group is not only isomorphic to a subgroup of , but also (trivially) isomorphic to a subgroup of The problem of finding the minimal order symmetric group into which a given group G embeds is rather difficult. Alperin and Bell note that "in general the fact that finite groups are imbedded in symmetric groups has not influenced the methods used to study finite groups". When G is infinite, is infinite, but Cayley's theorem still applies.
G шекті болса, |G| да шекті болады. Кейли теоремасының дәлелі осы жағдайда, егер G n ретті шекті топ болса, онда G стандартты симметриялық топтың кіші тобына изоморфты екенін көрсетеді. Бірақ G кішірек симметриялық топтың кіші тобына да изоморфты болуы мүмкін, мысалы, 6 реттік топ тек S6-ның кіші тобына ғана емес, сонымен қатар (тривиальды түрде) S3-нің кіші тобына да изоморфты. Берілген G тобын қамтитын ең кішкентай симметриялық топты табу мәселесі өте қиын. Алперин мен Белл "жалпы алғанда, шекті топтардың симметриялық топтарға енуі шекті топтарды зерттеуге қолданылатын әдістерге әсер еткен жоқ" деп атап өтті. G шексіз болса, |G| да шексіз болады, бірақ Кейли теоремасы бәрібір қолданылады.
the number of labeled trees in graph theory
In group theory, Cayley's theorem, named in honour of Arthur Cayley, states that every group G is isomorphic to a subgroup of a symmetric group. More specifically, G is isomorphic to a subgroup of the symmetric group whose elements are the permutations of the underlying set of G.
Explicitly,
for each , the left multiplication by g map sending each element x to gx is a permutation of G, and
the map sending each element g to is an injective homomorphism, so it defines an isomorphism from G onto a subgroup of The homomorphism can also be understood as arising from the left translation action of G on the underlying set G.
When G is finite, is finite too. The proof of Cayley's theorem in this case shows that if G is a finite group of order n, then G is isomorphic to a subgroup of the standard symmetric group But G might also be isomorphic to a subgroup of a smaller symmetric group, for some ; for instance, the order 6 group is not only isomorphic to a subgroup of , but also (trivially) isomorphic to a subgroup of The problem of finding the minimal order symmetric group into which a given group G embeds is rather difficult. Alperin and Bell note that "in general the fact that finite groups are imbedded in symmetric groups has not influenced the methods used to study finite groups". When G is infinite, is infinite, but Cayley's theorem still applies.
Өмірбаян
A жиынының пермутациясы – A-дан A-ға биективті функция. A жиынының барлық пермутациялары жиыны функция композициясы бойынша топты құрайды, бұл A жиынының симметриялық тобы деп аталады және Sₙ деп жазылады. Атап айтқанда, A-ны G тобының негізгі жиыны ретінде алғанда, S(G) деп белгіленетін симметриялық топ пайда болады.
Дәлелдің баламалы параметрі
Басқаша жағдай топтық әрекеттер тілін қолданады. Біз топты сол жақтан көбейту арқылы өзінің үстінен әрекет ететін деп қарастырамыз, яғни, ол пермутациялық өрнеуге ие, мысалы . Егер өрнеу инъективті болса, яғни, егер ядросы тривиалды болса, онда ол адал. Егер онда, демек, ядросы тривиалды. Нәтиже бірінші изоморфизм теоремасын қолдану арқылы шығады, одан біз аламыз.
The representation is faithful if is injective, that is, if the kernel of is trivial. Suppose Then, Thus, is trivial. The result follows by use of the first isomorphism theorem, from which we get .
Топтың тұрақты өкілдіктеріне қатысты ескертулер
Топтың сәйкестік элементі сәйкестік пермутацияға сәйкес келеді. Барлық басқа топ элементтері деранжименттерге сәйкес келеді: ешбір элементті өзгеріссіз қалдырмайтын пермутациялар. Бұл топ элементтерінің дәрежелеріне де қатысты, яғни элементтің ретінен төмен дәрежедегі әрбір элемент бірдей ұзындықтағы циклдардан тұратын пермутацияға сәйкес келеді: осы ұзындық сол элементтің ретін көрсетеді. Әрбір циклдегі элементтер сол элементпен туындаған кіші топтың оң жақтан қосындысын құрайды.