Введение
Представление групп с помощью перестановок, количество помеченных деревьев в теории графов.
the number of labeled trees in graph theory
In group theory, Cayley's theorem, named in honour of Arthur Cayley, states that every group G is isomorphic to a subgroup of a symmetric group. More specifically, G is isomorphic to a subgroup of the symmetric group whose elements are the permutations of the underlying set of G.
Explicitly,
for each , the left multiplication by g map sending each element x to gx is a permutation of G, and
the map sending each element g to is an injective homomorphism, so it defines an isomorphism from G onto a subgroup of The homomorphism can also be understood as arising from the left translation action of G on the underlying set G.
When G is finite, is finite too. The proof of Cayley's theorem in this case shows that if G is a finite group of order n, then G is isomorphic to a subgroup of the standard symmetric group But G might also be isomorphic to a subgroup of a smaller symmetric group, for some ; for instance, the order 6 group is not only isomorphic to a subgroup of , but also (trivially) isomorphic to a subgroup of The problem of finding the minimal order symmetric group into which a given group G embeds is rather difficult. Alperin and Bell note that "in general the fact that finite groups are imbedded in symmetric groups has not influenced the methods used to study finite groups". When G is infinite, is infinite, but Cayley's theorem still applies.
В теории групп теорема Кэли, названная в честь Артура Кэли, утверждает, что каждая группа G изоморфна подгруппе симметрической группы. Более конкретно, G изоморфна подгруппе симметрической группы, элементы которой являются перестановками базового множества G.
the number of labeled trees in graph theory
In group theory, Cayley's theorem, named in honour of Arthur Cayley, states that every group G is isomorphic to a subgroup of a symmetric group. More specifically, G is isomorphic to a subgroup of the symmetric group whose elements are the permutations of the underlying set of G.
Explicitly,
for each , the left multiplication by g map sending each element x to gx is a permutation of G, and
the map sending each element g to is an injective homomorphism, so it defines an isomorphism from G onto a subgroup of The homomorphism can also be understood as arising from the left translation action of G on the underlying set G.
When G is finite, is finite too. The proof of Cayley's theorem in this case shows that if G is a finite group of order n, then G is isomorphic to a subgroup of the standard symmetric group But G might also be isomorphic to a subgroup of a smaller symmetric group, for some ; for instance, the order 6 group is not only isomorphic to a subgroup of , but also (trivially) isomorphic to a subgroup of The problem of finding the minimal order symmetric group into which a given group G embeds is rather difficult. Alperin and Bell note that "in general the fact that finite groups are imbedded in symmetric groups has not influenced the methods used to study finite groups". When G is infinite, is infinite, but Cayley's theorem still applies.
Явно, для каждого g, левое умножение на g, отображающее каждый элемент x в gx, является перестановкой G, а отображение, посылающее каждый элемент g в g⁻¹, является инъективным гомоморфизмом, поэтому оно определяет изоморфизм из G в подгруппу Sym(G). Этот гомоморфизм также можно понимать как возникающий из левого трансляционного действия G на базовое множество G.
the number of labeled trees in graph theory
In group theory, Cayley's theorem, named in honour of Arthur Cayley, states that every group G is isomorphic to a subgroup of a symmetric group. More specifically, G is isomorphic to a subgroup of the symmetric group whose elements are the permutations of the underlying set of G.
Explicitly,
for each , the left multiplication by g map sending each element x to gx is a permutation of G, and
the map sending each element g to is an injective homomorphism, so it defines an isomorphism from G onto a subgroup of The homomorphism can also be understood as arising from the left translation action of G on the underlying set G.
When G is finite, is finite too. The proof of Cayley's theorem in this case shows that if G is a finite group of order n, then G is isomorphic to a subgroup of the standard symmetric group But G might also be isomorphic to a subgroup of a smaller symmetric group, for some ; for instance, the order 6 group is not only isomorphic to a subgroup of , but also (trivially) isomorphic to a subgroup of The problem of finding the minimal order symmetric group into which a given group G embeds is rather difficult. Alperin and Bell note that "in general the fact that finite groups are imbedded in symmetric groups has not influenced the methods used to study finite groups". When G is infinite, is infinite, but Cayley's theorem still applies.
Когда G конечна, Sym(G) также конечна. Доказательство теоремы Кэли в этом случае показывает, что если G — конечная группа порядка n, то G изоморфна подгруппе стандартной симметрической группы Sₙ. Но G также может быть изоморфна подгруппе меньшей симметрической группы Sₘ для некоторого m; например, группа порядка 6 не только изоморфна подгруппе S₆, но также (тривиально) изоморфна подгруппе S₃. Задача нахождения симметрической группы минимального порядка, в которую вкладывается данная группа G, является довольно сложной. Альперин и Белл отмечают, что "в общем случае тот факт, что конечные группы вкладываются в симметрические группы, не оказал влияния на методы, используемые для изучения конечных групп". Когда G бесконечна, Sym(G) бесконечна, но теорема Кэли все равно применима.
the number of labeled trees in graph theory
In group theory, Cayley's theorem, named in honour of Arthur Cayley, states that every group G is isomorphic to a subgroup of a symmetric group. More specifically, G is isomorphic to a subgroup of the symmetric group whose elements are the permutations of the underlying set of G.
Explicitly,
for each , the left multiplication by g map sending each element x to gx is a permutation of G, and
the map sending each element g to is an injective homomorphism, so it defines an isomorphism from G onto a subgroup of The homomorphism can also be understood as arising from the left translation action of G on the underlying set G.
When G is finite, is finite too. The proof of Cayley's theorem in this case shows that if G is a finite group of order n, then G is isomorphic to a subgroup of the standard symmetric group But G might also be isomorphic to a subgroup of a smaller symmetric group, for some ; for instance, the order 6 group is not only isomorphic to a subgroup of , but also (trivially) isomorphic to a subgroup of The problem of finding the minimal order symmetric group into which a given group G embeds is rather difficult. Alperin and Bell note that "in general the fact that finite groups are imbedded in symmetric groups has not influenced the methods used to study finite groups". When G is infinite, is infinite, but Cayley's theorem still applies.
Предыстория
Пермутация множества A — это биективное отображение из A в A. Множество всех перестановок A образует группу относительно композиции функций, называемую симметрической группой на A и обозначаемую как . В частности, если A является базовым множеством группы G, то получается симметрическая группа, обозначаемая .
Альтернативная установка доказательства
В альтернативной постановке используется язык групповых действий. Мы рассматриваем группу как действующую на себя посредством левого умножения, то есть , что дает пермутационное представление, скажем, . Представление является верным, если отображение инъективно, то есть, если ядро отображения тривиально. Предположим, что Тогда, следовательно, ядро тривиально. Результат следует из первой теоремы об изоморфизмах, из которой мы получаем .
The representation is faithful if is injective, that is, if the kernel of is trivial. Suppose Then, Thus, is trivial. The result follows by use of the first isomorphism theorem, from which we get .
Замечания по поводу регулярного представительства группы
Идентичный элемент группы соответствует тождественному перестановке. Все остальные элементы группы соответствуют деранжировкам: перестановкам, которые не оставляют ни один элемент без изменений. Поскольку это применимо и к степеням элемента группы, меньшим его порядка, каждый элемент соответствует перестановке, состоящей из циклов одинаковой длины: эта длина равна порядку элемента. Элементы в каждом цикле образуют правый смежный класс подгруппы, порожденной этим элементом.