Кіріспе

Дифференциалдық геометрияда Лаплас операторын жалпылау

Дифференциалдық геометрияда Лаплас-Белтрами операторы – Евклид кеңістігіндегі кішікөптүрліліктерде және одан да жалпы, Риман және псевдо-Риман көптүрліліктерінде анықталған функциялар үшін Лаплас операторының жалпылауы болып табылады. Ол Пьер Симон Лаплас және Эухенио Белтрамидің есімдерімен аталады. Евклид кеңістігінде Rn анықталған кез келген екі рет дифференциалданатын f нақты мәнді функциясы үшін Лаплас операторы (кейде Лапласиан деп те аталады) f-ті оның градиенттік векторлық өрісінің дивергенциясына, яғни Rn-нің ортонормалдық негізінің әр векторына қатысты f-тің n таза екінші туындыларының қосындысына түрлендіреді. Лаплас операторы сияқты, Лаплас-Белтрами операторы да градиенттің дивергенциясы ретінде анықталады және функцияларды функцияларға түрлендіретін сызықтық оператор болып табылады. Операторды ковариантты туындының дивергенциясы ретінде тензорларға қолдануға болады. Сондай-ақ, операторды дифференциалдық формаларға дивергенция және сыртқы туындыны қолдану арқылы жалпылауға болады. Соның нәтижесінде алынған оператор Лаплас де Рам операторы деп аталады (Жорж де Рамның есімімен аталған).

Мысалдар

Лапластың-Белтрами операторының көптеген мысалдарын есептеп шығаруға болады.

Евклид кеңістігі

Евклид кеңістігіндегі әдеттегі (ортонормальды) картезиялық координаттар xi-де метрика Кронекер дельтасына дейін тоғытылады, сондықтан осы жағдайда, ол қарапайым Лапласиан болады. Иілген координаттарда, мысалы, сфералық немесе цилиндрлік координаттарда, басқаша өрнектер алынады. Сол сияқты, (− + + +) қолтаңбасы бар Минковский метрикасына сәйкес Лаплас-Бельтрами операторы д’Аламбертиан деп аталады.

Сфералық лаплац

Сфералық Лапласиан – (n − 1) сферадағы Лаплас-Белтрами операторы, оның канондық метрикасы тұрақты қималық қисықтығы 1-ге тең. Сфераны Rn-ге изометриялық түрде енгізілген, бастапқы нүктесінде ортасы бар бірлік сфера ретінде қарастыру ыңғайлы. Содан кейін Sn−1 сферасындағы f функциясы үшін сфералық Лапласиан былай анықталады:

мұнда f(x/|x|) функциясы Rn − {0} кеңістігіне f функциясының нөлдік дәрежелі гомогенді кеңейтілуі, ал – қоршаған Евклид кеңістігінің Лапласианы. Нақты айтқанда, бұл сфералық полярлық координаттардағы Евклид Лапласының жақсы белгілі формуласымен түсіндіріледі:

Жалпы алғанда, Евклид кеңістігінің гипербеті ретінде изометриялық түрде енгізілген кез келген Риманн көптігінің Лаплас-Белтрами операторын анықтау үшін нормалық бундельді пайдаланып, ұқсас амал жасауға болады. Сферадағы Лаплас-Белтрами операторын қалыпты координаттар жүйесінде де ішкі түрде сипаттауға болады. (ϕ, ξ) координаталарын сфераның белгілі бір нүктесі p ("солтүстік полюс") арқылы сфералық координаттар ретінде қарастырайық, яғни p-ге қатысты геодезиялық полярлық координаттар. Мұнда ϕ – p-ден бірлік жылдамдықты геодезия бойымен ендік өлшемі, ал ξ – Sn−1 геодезиясының бағытын таңдауды білдіретін параметр. Онда сфералық Лапласианның түрі:

мұнда – қарапайым бірлік (n − 2) сферадағы Лаплас-Белтрами операторы. Атап айтқанда, полярлық координаттар үшін стандартты белгілеулерді қолдансақ, қарапайым 2 сфера үшін келесідей болады: