Введение

Оператор обобщения лапласиана в дифференциальной геометрии

В дифференциальной геометрии оператор Лапласа — Бельтрами является обобщением оператора Лапласа для функций, определенных на подмногообразиях в евклидовом пространстве и, в более общем случае, на римановых и псевдоримановых многообразиях. Он назван в честь Пьера Симона Лапласа и Эухенио Бельтрами. Для любой дважды дифференцируемой вещественнозначной функции f, определенной на евклидовом пространстве Rn, оператор Лапласа (также известный как лапласиан) отображает f в дивергенцию его градиентного векторного поля, которое представляет собой сумму n вторых частных производных f по каждому вектору ортонормального базиса для Rn. Подобно лапласиану, оператор Лапласа — Бельтрами определяется как дивергенция градиента и является линейным оператором, отображающим функции в функции. Оператор может быть расширен для действия на тензоры как дивергенция ковариантной производной. Альтернативно, оператор может быть обобщен для действия на дифференциальные формы с использованием дивергенции и внешней производной. Полученный оператор называется оператором Лапласа — де Рама (названным в честь Жоржа де Рама).

Примеры

Многие примеры оператора Лапласа-Бельтрами могут быть вычислены явно.

Евклидово пространство

В обычных (ортонормальных) декартовых координатах xi в евклидовом пространстве метрика сводится к дельте Кронекера, и, следовательно, в этом случае получается обычный лапласиан. В криволинейных координатах, таких как сферические или цилиндрические, получаются альтернативные выражения. Аналогично, оператор Лапласа — Бельтрами, соответствующий метрике Минковского с сигнатурой (− + + +), является оператором Д’Аламбера.

Сферический лаплацкий

Сферический лапласиан — это оператор Лапласа — Бельтрами на (n − 1)-сфере с её канонической метрикой постоянной сечения 1. Удобно рассматривать сферу как изометрически вложенную в Rn в виде единичной сферы, центрированной в начале координат. Тогда для функции f на Sn−1 сферический лапласиан определяется как

где f(x/|x|) — однородное продолжение функции f степени 0 на Rn − {0}, а — лапласиан окружающего евклидова пространства. Конкретно, это следует из хорошо известной формулы для евклидова лапласиана в сферических полярных координатах:

В более общем случае можно сформулировать аналогик, используя нормальный расслоение для определения оператора Лапласа — Бельтрами любого риманова многообразия, изометрически вложенного в гиперповерхность евклидова пространства. Также можно дать внутреннее описание оператора Лапласа — Бельтрами на сфере в нормальной системе координат. Пусть (ϕ, ξ) — сферические координаты на сфере относительно некоторой точки p сферы («северный полюс»), то есть геодезические полярные координаты относительно p. Здесь ϕ представляет собой измерение широты вдоль геодезической единичной скорости от p, а ξ — параметр, представляющий выбор направления геодезической в Sn−1. Тогда сферический лапласиан имеет вид:

где — оператор Лапласа — Бельтрами на обычной единичной (n − 2)-сфере. В частности, для обычной 2-сферы, используя стандартные обозначения полярных координат, получаем: