Кіріспе

Тензорлық өрістерді жалпылау. Дифференциалдық геометрияда тензорлық тығыздық немесе салыстырмалы тензор – тензорлық өріс түсінігінің жалпылауы болып табылады. Тензорлық тығыздық бір координаттық жүйеден екіншісіне аусқанда тензорлық өріс сияқты түрленеді (тензорлық өріске қараңыз), бірақ ол қосымша координаттық өту функциясының Якобиандық детерминантының W дәрежесімен немесе оның абсолюттік мәнімен көбейтіледі немесе салмақталдырылады. Бір индексі бар тензорлық тығыздық векторлық тығыздық деп аталады. (Шын) тензорлық тығыздықтар, псевдотензорлық тығыздықтар, жұп тензорлық тығыздықтар және тақ тензорлық тығыздықтар арасында ерекшелік жасалады. Кейде теріс салмаққа ие W тензорлық тығыздықтар тензорлық сыйымдылық деп аталады. Тензорлық тығыздықты тензорлық шоғырдың тығыздық шоғырымен тензорлық көбейтіндісінің қимасы ретінде де қарастыруға болады.

Мотивация

Физика және оған қатысты салаларда алгебралық объектінің өзі емес, оның компоненттерімен жұмыс істеу жиі пайдалы болады. Мысал ретінде, векторды кейбір коэффициенттермен салмақталған базистік векторлардың қосындысына жіктеуді қарастырайық, яғни:

мұнда – 3 өлшемді Евклид кеңістігіндегі вектор, ал – Евклид кеңістігіндегі стандартты базистік векторлар. Бұл көбінесе есептеу мақсаты үшін қажет, және алгебралық объектілер күрделі абстракцияларды бейнелегенде, бірақ олардың компоненттері нақты интерпретацияға ие болғанда түсінікті болуы мүмкін. Дегенмен, осы идентификацияда кеңейтілген негізгі базистің өзгеруін қадағалауға сақ болу керек; есептеу процесінде вектор физикалық кеңістікте өзгермей тұрғанда базисті өзгерту ыңғайлы болуы мүмкін. Жалпы алғанда, егер алгебралық объект геометриялық объектіні бейнелесе, бірақ белгілі бір базис тұрғысынан берілсе, онда базис өзгертілген кезде оның бейнесін де өзгерту қажет. Физиктер геометриялық объектінің осы бейнесін базистің сызықтық өзгеруіне байланысты сызықтық түрленулер тізбегі арқылы өзгеретін жағдайда тензор деп атайды (бірақ бұл мақалада қатаң түрде сақталмайтын конвенция). Жалпы, геометриялық инварианттың бейнелеуден қалпына келтірілу жолына байланысты кез келген тәсілмен түрленетін бейнелер бар. Кейбір ерекше жағдайларда, тензорларға ұқсас түрленетін, бірақ түрлендіруде қосымша сызықтық емес факторға ие бейнелерді пайдалану ыңғайлы. Типик мысал – қиылыс көбейтіндісін (жазықтықтағы параллелограмның ауданы) матрица арқылы бейнелеу. Стандартты базисте бұл бейнелеу былай беріледі:

Егер енді осы өрнекті стандартты емес базисте көрсетуге тырыссақ, онда векторлардың компоненттері өзгереді, мысалы: , мұнда – нақты сандардың 2x2 матрицасы. Параллограмның ауданы геометриялық инвариант болғандықтан, базис өзгертілген кезде ол өзгермейді, сондықтан бұл матрицаның жаңа бейнесі келесідей болуы керек:

Бұл өрнекті кеңейткенде бастапқы өрнек шығады, бірақ матрицасының анықтамасына көбейтілген. Шындығында, бұл бейнелеуді екі индекс тізбектік түрлендіру ретінде қарастыруға болады, бірақ есептеу жағынан көбейту арқылы тензорлық түрлендіру ережесін қарастыру оңай (әсіресе, жоғары өлшемдерде, оның табиғи кеңейтілуі матрицалық көбейтуді құрайды, бұл үлкен мәні үшін есептеуге мүмкін емес). Осылайша түрленетін объектілер тензорлық тығыздықтар деп аталады, өйткені олар аудандар мен көлемдерге қатысты мәселелерді қарастырғанда табиғи түрде пайда болады, сондықтан интегралдауда жиі қолданылады.

Анықтама

Кейбір авторлар тензорлық тығыздықтарды (нақты) тензорлық тығыздықтар және осы мақалада псевдотензорлық тығыздықтар деп аталатын екі түрге жіктейді. Басқа авторлар оларды жұп тензорлық тығыздықтар және тақ тензорлық тығыздықтар деп аталатын түрлерге бөліп, басқаша жіктейді. Тензорлық тығыздық салмағы бүтін сан болған жағдайда, бұл тәсілдердің арасында бүтін санның жұп немесе тақ болуына байланысты эквиваленттілік бар. Бұл жіктелімдер тензорлық тығыздықтардың координаттық түрлендірулерді кері бұра отырып, патологиялық түрде өзгеруі мүмкін әртүрлі жолдарды түсіндіретінін ескеріңіз. Олардың осы типтерге жіктелуіне қарамастан, тензорлық тығыздықтар координаттық түрлендірулерді сақтап, бағдарлау кезінде өзгеретін бір ғана жолы бар. Осы мақалада біз коварианттық индекстермен берілген метрикалық тензордың детерминантына +2 салмақ беру конвенциясын қабылдадық. Бұл таңдау арқылы заряд тығыздығы сияқты классикалық тығыздықтар +1 салмақты тензорлық тығыздықтармен бейнеленеді. Кейбір авторлар салмақ үшін мұнда ұсынылғаннан кері белгілер конвенциясын қолданады. Осы мақалада қолданылған мағынаға қарамастан, жалпы салыстырмалылық теориясында "псевдотензор" кейде кез келген салмақтың тензоры немесе туасты тензоры сияқты түрленбейтін объектіні білдіреді.

0 және 1 салмақтары

Кез келген типтегі салмағы нөлге тең тензор тығыздығы абсолютті тензор деп аталады. (Жұп) нақты тензор тығыздығы салмағы нөлге тең болса, қарапайым тензор деп те аталады. Егер салмақ көрсетілмесе, бірақ "негізгі" немесе "тығыздық" сөзі нақты салмақ қажет болатын жағдайда қолданылса, әдетте салмағы +1 деп есептеледі.

Тензорлық тығыздықтардың матрицалық инверсиясы мен матрицалық детерминанты

Егер матрица сингуляр емес болса және салмағы ковариантты индекстері бар екінші ретті тензорлық тығыздық болса, онда оның матрицалық керісі салмағы - қарсы индекстері бар екінші ретті тензорлық тығыздық болады. Осыған ұқсас мәлімдемелер екі индекс те қарсы бағытты немесе ковариантты және қарсы бағытты аралас болған жағдайда да қолданылады. Егер салмағы ковариантты индекстері бар екінші ретті тензорлық тығыздық болса, онда матрицалық детерминанттың салмағы болады, мұнда - кеңістік-уақыт өлшемдерінің саны. Егер салмағы қарсы бағытты индекстері бар екінші ретті тензорлық тығыздық болса, онда матрицалық детерминанттың салмағы болады. Матрицалық детерминанттың салмағы болады.