Введение

Обобщение тензорных полей
В дифференциальной геометрии тензорная плотность или относительный тензор является обобщением понятия тензорного поля. Тензорная плотность преобразуется как тензорное поле при переходе из одной системы координат в другую (см. тензорное поле), за исключением того, что дополнительно умножается или взвешивается на степень W якобиана детерминанта функции перехода координат или его абсолютной величины. Тензорная плотность с одним индексом называется плотностью вектора. Различают (истинные) тензорные плотности, псевдотензорные плотности, чётные тензорные плотности и нечётные тензорные плотности. Иногда тензорные плотности с отрицательным весом W называют тензорной ёмкостью. Тензорная плотность также может рассматриваться как сечение тензорного произведения тензорного расслоения с расслоением плотности.

Мотивация

В физике и смежных областях часто бывает полезно работать с компонентами алгебраического объекта, а не с самим объектом. Примером может служить разложение вектора на сумму базисных векторов, взвешенных некоторыми коэффициентами, например,

где – вектор в трехмерном евклидовом пространстве, – обычные стандартные базисные векторы в евклидовом пространстве. Это обычно необходимо для вычислительных целей и часто может быть полезно, когда алгебраические объекты представляют собой сложные абстракции, но их компоненты имеют конкретную интерпретацию. Однако при такой идентификации необходимо внимательно отслеживать изменения базиса, в котором выражается величина; в процессе вычислений может оказаться целесообразным изменить базис, в то время как вектор остается фиксированным в физическом пространстве. В более общем случае, если алгебраический объект представляет геометрический объект, но выражен в терминах определенного базиса, то при изменении базиса необходимо также изменять представление. Физики часто называют это представление геометрического объекта тензором, если оно преобразуется под действием последовательности линейных отображений при линейном изменении базиса (хотя другие, что вводит в заблуждение, называют тензором сам геометрический объект, который не изменился при преобразовании координат – от такой конвенции эта статья строго уходит). В общем случае существуют представления, которые преобразуются произвольным образом в зависимости от того, как геометрический инвариант восстанавливается из представления. В некоторых особых случаях удобно использовать представления, которые преобразуются почти как тензоры, но с дополнительным нелинейным фактором в преобразовании. Типичным примером является матрица, представляющая векторное произведение (площадь образованного параллелограмма) на . Представление в стандартном базисе дается выражением

Если теперь попытаться выразить то же выражение в базисе, отличном от стандартного, то компоненты векторов изменятся, например, в соответствии с , где – некоторая матрица 2x2, состоящая из действительных чисел. Поскольку площадь образованного параллелограмма является геометрическим инвариантом, она не может измениться при изменении базиса, и поэтому новое представление этой матрицы должно быть:

которое, при раскрытии, является просто исходным выражением, умноженным на определитель , который также равен . Фактически, это представление можно рассматривать как преобразование тензора второго ранга, но с вычислительной точки зрения проще рассматривать правило преобразования тензора как умножение на , а не как два матричных умножения (на самом деле, в более высоких размерностях естественным расширением этого является матричных умножений, что при больших становится совершенно невыполнимым). Объекты, которые преобразуются таким образом, называются тензорными плотностями, поскольку они естественным образом возникают при рассмотрении задач, связанных с площадями и объемами, и поэтому часто используются в интегрировании.

Определение

Некоторые авторы классифицируют тензорные плотности на два типа, называемые (истинными) тензорными плотностями и псевдотензорными плотностями в данной работе. Другие авторы классифицируют их иначе, на типы, называемые чётными тензорными плотностями и нечётными тензорными плотностями. Если вес тензорной плотности – целое число, между этими подходами существует эквивалентность, зависящая от чётности этого числа. Следует отметить, что эти классификации проясняют различные способы, которыми тензорные плотности могут преобразовываться несколько патологично при преобразованиях координат, меняющих ориентацию. Независимо от их классификации на эти типы, тензорные плотности преобразуются единственным образом при преобразованиях координат, сохраняющих ориентацию. В данной статье мы приняли соглашение, согласно которому вес детерминанта метрического тензора, выраженного ковариантными индексами, равен +2. При этом классические плотности, такие как плотность заряда, будут представлены тензорными плотностями веса +1. Некоторые авторы используют соглашение о знаках весов, противоположное представленному здесь. В отличие от значения, используемого в данной статье, в общей теории относительности "псевдотензор" иногда обозначает объект, который не преобразуется как тензор или относительный тензор какого-либо веса.

Весы нуля и единицы

Плотность тензора любого типа с весом ноль также называется абсолютным тензором. Истинный тензор плотности нулевого веса также называется обычным тензором. Если вес не указан, но слово "относительный" или "плотность" используется в контексте, где требуется конкретный вес, обычно подразумевается, что вес равен +1.

Инверсия матрицы и матричный детерминант тензорных плотностей

Если – невырожденная матрица и тензорная плотность второго ранга с весом и ковариантными индексами, то ее обратная матрица будет тензорной плотностью второго ранга с весом − и контравариантными индексами. Аналогичные утверждения применимы, когда оба индекса контравариантны или смешанные – ковариантные и контравариантные. Если – тензорная плотность второго ранга с весом и ковариантными индексами, то матричный определитель будет иметь вес , где – число пространственно-временных измерений. Если – тензорная плотность второго ранга с весом и контравариантными индексами, то матричный определитель будет иметь вес . Матричный определитель будет иметь вес .