Кіріспе

Жалпы салыстырмалылық теориясында қолданылатын математикалық құрылымдар мен техникалар Альберт Эйнштейннің жалпы салыстырмалылық теориясын зерттеу және қалыптастыру кезінде әртүрлі математикалық құрылымдар мен техникалар пайдаланылады. Осы геометриялық гравитация теориясындағы негізгі құралдар – кеңістік-уақытты бейнелейтін Лоренцтік көптүрлілікте анықталған тензорлық өрістер. Бұл мақала жалпы салыстырмалылық теориясы математикасының жалпы сипаттамасы болып табылады. Ескерту: Тензорларды қолданатын жалпы салыстырмалылық теориясы туралы мақалаларда абстрактілі индекс нотациясы қолданылады.

Тензорлар

Жалпы коварианстық принципі жалпы салыстырмалылық теориясын дамытудағы маңызды принциптердің бірі болды. Ол физика заңдарының барлық есептесу жүйелерінде бірдей математикалық түрде көріну керектігін айтады. "Жалпы коварианстық" термині жалпы салыстырмалылық теориясының бастапқы тұжырымдамасында қолданылған, бірақ қазір бұл принцип көбінесе "диффеоморфизм коварианттылығы" деп аталады. Диффеоморфизм коварианттылығы жалпы салыстырмалылық теориясының анықтамалық ерекшелігі емес, [1] және оның жалпы салыстырмалылық теориясындағы қазіргі мәртебесіне қатысты пікір таластар тоқтамайды. Дегенмен, принципте көрінетін физикалық заңдардың өзгермейтін қасиеті, сондай-ақ теорияның негізінен геометриялық сипатта болуы (эвклидтік емес геометрияны қолдану) жалпы салыстырмалылықты тензорлар тілінде тұжырымдауға ықпал етті. Бұл мәселе төменде талқыланады.

Уақыт кеңістігі

Математикалық жалпы салыстырмалылық теориясының қазіргі заманғы көптеген тәсілдері көптік ұғымынан басталады. Нақтырақ айтқанда, қисық кеңістік-уақытты бейнелейтін негізгі физикалық құрылым төрт өлшемді, тегіс, байланысты Лоренцтік көптікпен модельделеді. Басқа физикалық сипаттамалар түрлі тензорлармен көрсетіледі, олар төменде талқыланады. Математикалық құрылым ретінде көптікті таңдаудың себебі – қажетті физикалық қасиеттерді көрсету. Мысалы, көптік теориясында әрбір нүкте (әрқашан да бірегей емес) координаттық картаға кіреді, ал бұл картаны бақылаушының (нүктемен бейнеленген) айналасындағы «жергілікті кеңістік-уақыт» деп қарастыруға болады. Арнайы салыстырмалылық заңдары кеңістік-уақыттың әрбір нүктесінде жергілікті түрде орындалатынын айтатын жергілікті Лоренц коварианттылығы принципі, кеңістік-уақытты бейнелеу үшін көптік құрылымын таңдауды одан әрі қолдайды, себебі жалпы көптіктің кез келген нүктесінің маңындағы аймақ Миңковский кеңістігіне (жазық кеңістік-уақыт) ұқсас болады немесе оған өте жақын болады. Координаттық карталар идеясы – «өздерінің маңында өлшеулер жасай алатын жергілікті бақылаушылар» ретінде физикалық мағынаға ие, өйткені осылай физикалық деректер жергілікті түрде жиналады. Космологиялық мәселелер үшін координаттық карта өте кең болуы мүмкін.

Жергілікті және жаһандық құрылым

Физикадағы маңызды айырмашылық – жергілікті және жаһандық құрылымдар арасындағы ерекшелік. Физикадағы өлшемдер кеңістік-уақыттың салыстырмалы түрде шағын аймағында жүргізіледі, және осы себепті жалпы салыстырмалылық теориясында кеңістік-уақыттың жергілікті құрылымын зерттеу маңызды, ал жаһандық кеңістік-уақыт құрылымын анықтау, әсіресе космологиялық мәселелерде, аса қажет. Жалпы салыстырмалылық теориясындағы маңызды мәселе – екі кеңістік-уақыт кем дегенде жергілікті жағынан "бірдей" екенін қалай анықтау. Бұл мәселенің түбірі көпқырлылықтар теориясында жатыр, онда бірдей өлшемдегі екі Римандық көпқырлылықтың жергілікті изометриялық (яғни, "жергілікті түрде бірдей") екендігін анықтау қажет. Бұл мәселе шешілді және оның жалпы салыстырмалылық теориясына бейімделуі Картан-Карлхеде алгоритмі деп аталады.

Симметриялық және антисимметриялық тензорлар

Кейбір физикалық шамалар компоненттерінің барлығы тәуелсіз емес тензорлармен бейнеленеді. Мұндай тензорлардың маңызды мысалдары симметриялық және антисимметриялық тензорларды қамтиды. Антисимметриялық тензорлар айналуларды бейнелеу үшін жиі қолданылады (мысалы, вихревочный тензор). 4 өлшемдегі жалпы R рангі тензоры 4R компонентке ие болғанымен, тензордағы симметрия немесе антисимметрия сияқты шектеулер ерекше компоненттердің санын азайтады. Мысалы, симметриялық екінші рангі тензор 10 тәуелсіз компонентке ие, ал антисимметриялық (көк симметриялық) екінші рангі тензор 6 тәуелсіз компонентке ие. Екіншіден жоғары рангілер үшін симметриялық немесе антисимметриялық индекс жұптарын нақты көрсету қажет. Екінші рангі антисимметриялық тензорлар қатысу теориясында маңызды рөл атқарады. Мұндай тензорлардың барлық жиынтығы, көбінесе бивектор деп аталады, 6 өлшемді векторлық кеңістік құрайды, кейде бивекторлық кеңістік деп аталады.

Тензорлық жіктелімдер

Тензорларды жіктеу – таза математикалық мәселе. Бірақ, жалпы салыстырмалылық теориясында (ЖСТ) физикалық мағынасы бар кейбір тензорлар, әдетте, тензордың әртүрлі формалары белгілі бір физикалық құбылыстарға сәйкес келіп жіктеледі. Жалпы салыстырмалылық теориясында қолданылатын тензор жіктелімдерінің мысалдары: энергия-импульс тензорының Сегре жіктемесі және Вейль тензорының Петров жіктемесі. Бұл тензорларды жіктеудің әртүрлі әдістері бар, олардың кейбіреулері тензорлық инварианттарды пайдаланады.

Жалпы салыстырмалылық теориясындағы тензорлық өрістер

Тензорлық өрістер — әрбір нүктеге тензорды қосатын бейнелеулер. Бұл ұғымды талшықтық бундель идеясын енгізу арқылы нақтылауға болады, яғни көптіктің барлық нүктелеріндегі барлық тензорларды жинап, оларды тензорлық бундель деп аталатын бір үлкен нысанға «бундей» біріктіру. Тензорлық өріс — бұл көптіктен тензорлық бундельге бейнелеу, онда әрбір нүктеге сол нүктедегі тензор сәйкес келеді. Тензорлық өріс ұғымы ЖЖБ-да маңызды рөл атқарады. Мысалы, жұлдыздың айналасындағы геометрия әрбір нүктеде метрикалық тензормен сипатталады, сондықтан материялық бөлшектердің траекторияларын табу үшін кеңістік-уақыттың әрбір нүктесінде метриканың мәні берілуі керек. Тағы бір мысал — зарядталған қара тесіктің айналасындағы әрбір нүктеде электр және магнит өрістерінің мәндері (электромагниттік өріс тензорымен берілген) және метрика, мұндай өрісте зарядталған бөлшектің қозғалысын анықтау үшін. Векторлық өрістер — бірінші ретті контрвариантты тензорлық өрістер. Релятивистік теориядағы маңызды векторлық өрістерге төрт жылдамдық (нақты уақыт бірлігіне жүрілген координаттық қашықтық), төрт үдеу және заряд пен ток тығыздықтарын сипаттайтын төрт ток кіреді. Релятивистік теориядағы басқа физикалық маңызды тензорлық өрістерге мыналар жатады:
Стресс-энергия тензоры — симметриялық екінші ретті тензор. Электромагниттік өріс тензоры — екінші ретті антисимметриялық тензор. «Тензор» сөзі белгілі бір нүктедегі объектіні білдірсе де, кеңістік-уақыттағы (немесе оның бір бөлігіндегі) тензорлық өрістерді жай ғана «тензорлар» деп атау қалыпты жағдай. Метрика анықталған кеңістік-уақыттың әрбір нүктесінде Сильвестрдің инерция заңы арқылы метриканы Минковский түріне дейін келтіруге болады.

Тензориялық туындылар

Жалпы салыстырмалылық теориясының пайда болуына дейін физикалық процестердегі өзгерістер көбінесе ішінара туындылармен сипатталды, мысалы, электромагниттік өрістердегі өзгерістерді сипаттауда (Максвелл теңдеулерін қараңыз). Тіпті арнайы салыстырмалылық теориясында да мұндай өзгерістерді сипаттау үшін ішінара туынды жеткілікті болып табылады. Дегенмен, жалпы салыстырмалылық теориясында тензорлар болатын туындыларды қолдану қажет екені анықталды. Туындылардың ортақ белгілері бар, оның ішінде векторлық өрістердің интегралдық қисықтары бойынша есептелуі де бар. Жазық емес көпқырлылықтарда туындыларды анықтаудағы қиындық – әртүрлі нүктелердегі векторларды салыстырудың табиғи тәсілінің болмауы. Туындыларды анықтау үшін жалпы көпқырлылыққа қосымша құрылым қажет. Төменде әр жағдайда көпқырлылыққа қосымша құрылымды енгізу арқылы анықталатын екі маңызды туынды сипатталған.

Энергия-импульс тензоры

Кез келген гравитациялық өрістің (материя мен энергияның) көздері, қатысу теориясында (0, 2) типті симметриялық тензормен көрсетіледі, ол энергия-импульс тензоры деп аталады. Ол Риччи тензорымен тығыз байланысты. Төрт өлшемдегі екінші дәрежелі тензор болғандықтан, энергия-импульс тензорын 4x4 матрица ретінде қарастыруға болады. Джордан формалары деп аталатын әртүрлі қабылданған матрица түрлерінің бәрі де кездесе алмайды, себебі энергия-импульс тензоры орындауы тиіс энергия шарттары белгілі бір формаларды қабылдамайды.

Энергияны үнемдеу

Арнайы және жалпы салыстырмалылық теорияларында энергия-импульс сақталуының жергілікті заңы бар. Оны тензорлық теңдеу арқылы қысқаша түсіндіруге болады:

Бұл «жартылай туындылар ковариантты туындыларға ауысады» деген қағиданы көрсетеді.

Эйнштейн өрісі теңдеулері

Эйнштейн өрісі теңдеулері (EFE) жалпы салыстырмалылық теориясының негізі болып табылады. EFE масса мен энергияның (көтеріліс-энергия тензорында көрсетілгендей) кеңістік-уақыттың қисықтығымен (Эйнштейн тензорында көрсетілгендей) қалай байланысты екенін сипаттайды. Абстрактілі индекс нотациясында EFE былай жазылады:

мұнда – Эйнштейн тензоры, – космологиялық тұрақты, – метрикалық тензор, – вакуумдағы жарық жылдамдығы және – Ньютонның жалқы гравитация заңынан туындаған гравитациялық тұрақты. EFE-нің шешімдері метрикалық тензорлар болып табылады. EFE, метрикаға қатысты сызықты емес дифференциалдық теңдеулер болғандықтан, оларды шешу көбінесе қиынға соғады. Оларды шешу үшін бірнеше стратегия қолданылады. Мысалы, бір стратегия – соңғы метриканың ансазынан (немесе білімді болжамнан) бастап, оны координаттар жүйесін қолдауға жеткілікті нақты, бірақ белгісіздері бар бірнеше дифференциалдық теңдеулер жиынтығын алуға жеткілікті жалпы болатындай жетілдіру. Энергия-импульс таралуы физикалық тұрғыдан орынды болатын жағдайларда алынған дифференциалдық теңдеулерді дәл шешуге болатын метрикалық тензорлар нақты шешімдер деп аталады. Маңызды нақты шешімдердің мысалдары – Шварцшильд шешімі және Фридман-Лематр-Робертсон-Уокер шешімі. EIH жуықтауы және басқа сілтемелер (мысалы, Geroch және Jang, 1975, «Жалпы салыстырмалылық теориясында дененің қозғалысы», JMP, 16-том, 1-шығарылым).

Геодезиялық теңдеулер

ЕЭҚ-ны метрика алу үшін шешкеннен кейін, кеңістік-уақытта инерциялық денелердің қозғалысын анықтау қалады. Жалпы салыстырмалылық теориясында инерциялық қозғалыс уақыт бойынша параметрленген уақыт тәрізді және нөлдік геодезиялықтар бойынша жүреді деп есептеледі. Геодезиялық қисықтар – өздерінің жанама векторын параллель түрде тасымалдайтын қисықтар; яғни, бұл шарт, геодезиялық теңдеу, координаталық жүйеде жанама вектор арқылы жазылуы мүмкін:

мұнда τ қисық бойындағы өздік уақытты параметрлейді және Христофель символдарының болуын көрсетеді. Жалпы салыстырмалылық теориясының басты ерекшелігі – гравитациялық өрістердегі бөлшектер мен сәулелердің траекторияларын анықтау. Бұл геодезиялық теңдеулерді шешу арқылы іске асырылады. ЭЭҚ жалпы материяның (энергияның) таралуын кеңістік-уақыттың қисықтығымен байланыстырады. Олардың сызықтық еместігі нәтижесінде пайда болған кеңістік-уақытта материяның нақты қозғалысын анықтауда қиындықтар туындайды. Мысалы, бір планетадан және жұлдыздан тұратын жүйеде планетаның қозғалысы планета мен жұлдыздың энергия-импульс тензорларының қосындысымен өріс теңдеулерін шешу арқылы анықталады. Планетаның гравитациялық өрісі жалпы кеңістік-уақыт геометриясына және, демек, денелердің қозғалысына әсер етеді. Сондықтан, геодезиялық теңдеулерді алу үшін өріс теңдеулерін қолдануға болады деп санау орынды. Егер жүйенің энергия-импульс тензоры шаң тензоры болса, энергия-импульс тензорының жергілікті сақталу заңын қолдану арқылы геодезиялық теңдеулердің дәл орындалатынын көрсетуге болады.

Лагранж формуласы

Физикалық теориядағы қозғалыс теңдеулерін немесе өріс теңдеулерін тудыру мәселесі көптеген зерттеушілерге тартымды көрінеді. Мұндай тудыруларды жүзеге асырудың кең таралған әдісі вариациялық есептеу әдістерін қолдану болып табылады, оның негізгі объектілері – Лагранж функциялары. Көптегендер бұл тәсілді теорияны құрудың әдемі жолы деп есептейді, ал басқалары – теорияны тұжырымдаудың формалды тәсілі деп санайды (әдетте, Лагранж функциясын құру теория дамығаннан кейін жасалады).

Уақыт-кеңістікті талдаудың математикалық әдістері

Теорияны құруға қолданылатын негізгі математикалық құрылымдарды баяндағаннан кейін, кеңістік-уақытты зерттеуде қолданылатын маңызды математикалық техникалар талқыланатын болады.

Фреймдік өрістер

Фрейм өрісі – бұл кеңістік-уақытта анықталған 4 векторлық өрістің (1 уақыт тәрізді, 3 кеңістік тәрізді) ортонормал жиынтығы. Әрбір фрейм өрісін уақыт тәрізді векторлық өрістің интегралды қисықтары бойынша қозғалатын кеңістік-уақыттағы бақылаушы ретінде қарастыруға болады. Кез келген тензорлық шаманы фрейм өрісі арқылы өрнектеуге болады, әсіресе метрикалық тензор ерекше қолайлы түрде келеді. Кофрейм өрістерімен қатар қолданылғанда, фрейм өрістері кеңістік-уақытты талдау және математикалық нәтижелерді физикалық тұрғыдан түсіндіру үшін қуатты құралды ұсынады.

Симметриялық векторлық өрістер

Кейбір заманауи кеңістік-уақытты талдау әдістері кеңістік-уақыттың симметрияларын пайдалануға көп көңіл бөледі. Бұл симметриялар векторлық өрістер арқылы шексіз кішкентай өзгерістермен туындайды (әдетте жергілікті түрде анықталады) және кеңістік-уақыттың белгілі бір қасиеттерін сақтайды. Мұндай симметриялық векторлық өрістердің ең көп таралған түрлері – Киллинг векторлық өрістері (олар метрикалық құрылымды сақтайды) және олардың жалпыланған түрі – жалпыланған Киллинг векторлық өрістері. Симметриялық векторлық өрістер жалпы салыстырмалылық теориясындағы нақты шешімдерді зерттеуде кеңінен қолданылады, ал барлық осындай векторлық өрістер жиынтығы көбінесе шекті өлшемді Ли алгебрасын құрайды.

Коши проблемасы

Коши проблемасы (кейде бастапқы мән проблемасы деп аталады) – бастапқы шарттар берілген дифференциалдық теңдеуге шешім табуға жасалған әрекет. Жалпы салыстырмалылық теориясы контекстінде, бұл гиперболалық дербес дифференциалдық теңдеулер жүйесі болып табылатын Эйнштейннің өріс теңдеулеріне, гипербетте берілген бастапқы деректер негізінде шешім табу мәселесін білдіреді. Коши проблемасын зерттеу жалпы салыстырмалылық теориясындағы себеп-салдар қатынасы тұжырымын қалыптастыруға, сондай-ақ өріс теңдеулерінің шешімдерін «параметрлеуге» мүмкіндік береді. Идеалды жағдайда, жаһандық шешімдерге қол жеткізуге ұмтылу керек, бірақ көбінесе жергілікті шешімдерге ғана үміттене алады. Әдетте, бұл бастапқы мән проблемасын шешу үшін нақты координаталық шарттарды таңдау қажет.

Спинор формализмі

Спинондар қатысу теориясында маңызды қолданыстарға ие. Атап айтқанда, Ньюман-Пенроуз формализмінде, тетрадаларды қолдана отырып кеңістік-уақытты талдау әдісі ретінде олардың қолданылуы маңызды. Жалпы қатысу теориясында спинондардың тағы бір тартымды ерекшелігі – спинор формализмін пайдалана отырып, кейбір тензорлық теңдеулерді ықшам түрде жазу мүмкіндігі. Мысалы, Вейль тензорын жіктеу кезінде, тензорлық әдіспен салыстырғанда, әртүрлі Петров типтерін анықтау әлдеқайда жеңілдеу болады.

Реджестік есептеу

Реджтік есептеу — Лоренцтік кеңістікті дискретті 'кескіндерге' (төрт өлшемді симплекстік блоктар) бөлетін формализм, мұнда блок қабырғаларының ұзындығы негізгі айнымалылар болып алынады. Бұл блоктардың кемтіктік бұрыштарын қарастыру арқылы Эйнштейн-Хилберт әрекетінің дискретті түрі алынады, мұнда нөлдік кемтіктік бұрыш қисықтықтың болмауына сәйкес келеді. Бұл жаңа идея сандық салыстырмалылық және кванттық гравитациядағы жуықтау әдістерінде қолданылады, соңғысы Реджтік есептеудің жалпыланған нұсқасын пайдаланады.

Сингулярлық теоремалар

Жалпы салыстырмалылық теориясында, ең көп кездесетін жағдайларда, гравитациялық құлдырау міндетті түрде сингулярлық деп аталатын нәрсенің пайда болуына алып келеді. Сингулярлық – теңдеулердің шешімдері шексіз болатын нүкте, бұл теорияның тиісті емес диапазонды зерттеуде қолданылғандығын көрсетеді.

Сандық салыстырмалылық теориясы

Сандық салыстырмалылық – Эйнштейн теңдеулерін сандық әдістерді қолдану арқылы шешуге бағытталған жалпы салыстырмалылық теориясының бір саласы. Шешім табу үшін шекті айырма, шекті элемент және псевдоспектрлік әдістер қолданылады. Сандық салыстырмалылықпен дамытылған жаңа техникалардың қатарында қара тесіктер кеңістігінде туындайтын ерекшеліктермен күресу үшін экзиция және пункция әдістері бар. Көбінесе қара тесіктер мен нейтронды жұлдыздар зерттеледі.

Тоқырау әдістері

Эйнштейн өрісі теңдеулерінің сызықтық емес болуы жиі оларды шешуде жуықтау әдістерін қарастыруға алып келеді. Мысалы, маңызды тәсіл – өріс теңдеулерін сызықтыландыру. Бұл салаларда бұзылыс теориясының (perturbation theory) әдістері кеңінен қолданылады.