Введение

Математические структуры и методы, используемые в теории общей относительности.

При изучении и формулировании теории общей относительности Альберта Эйнштейна используются различные математические структуры и методы. Основными инструментами в этой геометрической теории гравитации являются тензорные поля, определенные на лоренцевом многообразии, представляющем пространство-время. Данная статья представляет собой общий обзор математического аппарата общей теории относительности. Обратите внимание: в статьях по общей теории относительности, использующих тензоры, будет применяться абстрактная индексная нотация.

Тензоры

Принцип общей ковариантности был одним из центральных принципов в развитии общей теории относительности. Он утверждает, что законы физики должны иметь одну и ту же математическую форму во всех системах отсчета. Термин «общая ковариантность» использовался в ранних формулировках общей теории относительности, но в настоящее время этот принцип чаще называют «ковариантностью диффеоморфизмов». Ковариантность диффеоморфизмов не является определяющей характеристикой общей теории относительности [1], и вокруг ее современного статуса в общей теории относительности продолжаются дискуссии. Однако свойство инвариантности физических законов, вытекающее из этого принципа, в сочетании с тем, что теория по своей сути геометрическая (использует неевклидову геометрию), подсказало сформулировать общую теорию относительности на языке тензоров. Это будет рассмотрено подробнее ниже.

Пространство-время как многообразие

Большинство современных подходов к математической общей теории относительности начинаются с концепции многообразия. Более точно, основная физическая конструкция, представляющая искривление, моделируется четырёхмерным, гладким, связным, лоренцевым многообразием. Другие физические характеристики описываются различными тензорами, которые будут рассмотрены ниже. Обоснование выбора многообразия в качестве фундаментальной математической структуры заключается в отражении желаемых физических свойств. Например, в теории многообразий каждая точка содержится в (вообще говоря, не единственной) координатной окрестности, и эту окрестность можно рассматривать как представление "локального пространства-времени" вокруг наблюдателя (представленного этой точкой). Принцип локальной лоренц-ковариантности, утверждающий, что законы специальной теории относительности выполняются локально вблизи каждой точки пространства-времени, дополнительно подтверждает выбор многообразной структуры для представления пространства-времени, поскольку локально в окрестности любой точки общего многообразия область "выглядит как" или очень близко аппроксимируется пространством Минковского (плоским пространством-временем). Представление координатных окрестностей как "локальных наблюдателей, способных проводить измерения в своей окрестности" также имеет хороший физический смысл, поскольку именно так фактически собираются физические данные локально. Для космологических задач координатная окрестность может быть весьма обширной.

Местная структура против глобальной

Важным различием в физике является различие между локальными и глобальными структурами. Измерения в физике проводятся в относительно небольшой области пространства-времени, и это одна из причин изучения локальной структуры пространства-времени в общей теории относительности, в то время как определение глобальной структуры пространства-времени важно, особенно в космологических задачах. Важной задачей в общей теории относительности является установление того, когда два пространства-времени "эквивалентны", по крайней мере, локально. Эта задача берет начало в теории многообразий, где определяется, являются ли два римановых многообразия одной и той же размерности локально изометричными ("локально одинаковыми"). Эта последняя задача была решена, и ее адаптация для общей теории относительности называется алгоритмом Картана — Карлхеде.

Симметричные и антисимметричные тензоры

Некоторые физические величины представляются тензорами, не все компоненты которых независимы. Важными примерами таких тензоров являются симметричные и антисимметричные тензоры. Антисимметричные тензоры обычно используются для представления вращений (например, тензор завихренности). Хотя тензор общего ранга R в 4 измерениях имеет 4R компонент, ограничения на тензор, такие как симметрия или антисимметрия, приводят к уменьшению числа независимых компонент. Например, симметричный тензор второго ранга удовлетворяет условию и имеет 10 независимых компонент, в то время как антисимметричный (кососимметричный) тензор второго ранга удовлетворяет условию и имеет 6 независимых компонент. Для рангов, больших двух, симметричные или антисимметричные пары индексов должны быть указаны явно. Антисимметричные тензоры второго ранга играют важную роль в теории относительности. Множество всех таких тензоров, часто называемых бивекторами, образует векторное пространство размерности 6, иногда называемое бивекторным пространством.

Классификация тензоров

Классификация тензоров — чисто математическая задача. Однако в ОТО некоторые тензоры, имеющие физическую интерпретацию, могут быть классифицированы, причем различные формы тензора обычно соответствуют определенным физическим свойствам. Примеры классификаций тензоров, полезных в общей теории относительности, включают классификацию Сегре тензора энергии-импульса и классификацию Петрова тензора Вейля. Существуют различные методы классификации этих тензоров, некоторые из которых основаны на тензорных инвариантах.

Тензорные поля в общей теории относительности

Тензорные поля на многообразии — это отображения, которые сопоставляют тензор каждой точке многообразия. Это понятие можно уточнить, введя идею расслоения, которое в данном контексте означает объединение всех тензоров во всех точках многообразия, тем самым "объединяя" их в один большой объект, называемый тензорным расслоением. Тензорное поле тогда определяется как отображение с многообразия в тензорное расслоение, где каждой точке сопоставлен тензор. Понятие тензорного поля имеет важное значение в ОТО. Например, геометрия вокруг звезды описывается метрическим тензором в каждой точке, поэтому в каждой точке пространства-времени необходимо задавать значение метрики для решения уравнений движения материальных частиц. Другой пример — значения электрических и магнитных полей (заданные тензором электромагнитного поля) и метрика в каждой точке вокруг заряженной чёрной дыры для определения движения заряженной частицы в таком поле. Векторные поля являются ковариантными тензорными полями первого ранга. Важные векторные поля в теории относительности включают четырехскорость, которая представляет собой координатное расстояние, пройденное за единицу собственного времени, четырехскорение и четырехток, описывающие плотность заряда и тока. Другие физически важные тензорные поля в теории относительности включают следующее: тензор энергии-импульса, симметричный тензор второго ранга; электромагнитный тензор, антисимметричный тензор второго ранга. Хотя термин "тензор" относится к объекту в точке, принято называть тензорные поля в пространстве-времени (или в его области) просто "тензорами". В каждой точке пространства-времени, на котором определена метрика, метрику можно привести к форме Минковского, используя закон инерции Сильвестра.

Тензориальные производные

До появления общей теории относительности изменения в физических процессах обычно описывались частными производными, например, при описании изменений в электромагнитных полях (см. уравнения Максвелла). Даже в специальной теории относительности частная производная всё ещё достаточна для описания таких изменений. Однако в общей теории относительности оказывается, что необходимо использовать производные, которые также являются тензорами. Эти производные имеют общие черты, в частности, они являются производными вдоль интегральных кривых векторных полей. Проблема определения производных на многообразиях, не являющихся плоскими, заключается в отсутствии естественного способа сравнения векторов в разных точках. Для определения производных требуется дополнительная структура на общем многообразии. Ниже описаны две важные производные, которые можно определить, наложив дополнительную структуру на многообразие в каждом случае.

Тензор энергии-импульса

Источники любого гравитационного поля (материи и энергии) в теории относительности описываются симметричным тензором типа (0,2), называемым тензором энергии-импульса. Он тесно связан с тензором Риччи. Являясь тензором второго ранга в четырех измерениях, тензор энергии-импульса может быть представлен в виде матрицы 4x4. Не все допустимые типы матриц, называемые жордановыми формами, могут возникать, поскольку энергетические условия, которым должен удовлетворять тензор энергии-импульса, исключают некоторые из них.

Энергосбережение

В специальной и общей теории относительности существует локальный закон сохранения энергии-импульса. Его можно кратко выразить тензорным уравнением:

Это иллюстрирует эмпирическое правило, что "частные производные заменяются ковариантными производными".

Уравнения Эйнштейна

Уравнения Эйнштейна (EFE) являются основой общей теории относительности. EFE описывают, как масса и энергия (представленные в тензоре энергии-импульса) связаны с кривизной пространства-времени (представленной тензором Эйнштейна). В абстрактной индексной нотации EFE записываются следующим образом:

где – тензор Эйнштейна, – космологическая постоянная, – метрический тензор, – скорость света в вакууме и – гравитационная постоянная, вытекающая из закона всемирного тяготения Ньютона. Решениями EFE являются метрические тензоры. Поскольку EFE представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения для метрики, они часто сложны для решения. Существует ряд стратегий для их решения. Например, одна из стратегий заключается в том, чтобы начать с анзаца (или обоснованного предположения) для конечной метрики и уточнять его до тех пор, пока он не станет достаточно конкретным для поддержки системы координат, но при этом достаточно общим, чтобы получить набор связанных дифференциальных уравнений с неизвестными, которые можно решить. Метрические тензоры, получаемые в случаях, когда полученные дифференциальные уравнения могут быть точно решены для физически разумного распределения энергии-импульса, называются точными решениями. Примеры важных точных решений включают решение Шварцшильда и решение Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера. Приближение EIH и другие работы (например, Geroch и Jang, 1975, «Движение тела в общей теории относительности», JMP, Vol. 16, Issue 1).

Геодезические уравнения

После того, как уравнения ЭФЭ решены для получения метрики, необходимо определить движение инерциальных объектов в пространстве-времени. В общей теории относительности предполагается, что инерциальное движение происходит вдоль времениподобных и нулевых геодезических пространства-времени, параметризуемых собственным временем. Геодезические – это кривые, которые параллельно переносят свой собственный тангенциальный вектор; то есть, это условие, геодезическое уравнение, может быть записано в системе координат с тангенциальным вектором: где обозначает производную по собственному времени, , при этом τ параметризует собственное время вдоль кривой и явно демонстрирует присутствие символов Кристоффеля. Важнейшая особенность общей теории относительности заключается в определении траекторий частиц и излучения в гравитационных полях. Это достигается путем решения геодезических уравнений. Уравнения ЭФЭ связывают распределение всей материи (энергии) с искривлением пространства-времени. Их нелинейность создает трудности в определении точного движения материи в полученном пространстве-времени. Например, в системе, состоящей из одной планеты, вращающейся вокруг звезды, движение планеты определяется решением уравнений поля с тензором энергии-импульса, являющимся суммой вкладов от планеты и звезды. Гравитационное поле планеты влияет на общую геометрию пространства-времени и, следовательно, на движение объектов. Поэтому разумно предположить, что уравнения поля могут быть использованы для вывода геодезических уравнений. Если тензор энергии-импульса для системы соответствует тензору пыли, то, используя локальный закон сохранения энергии-импульса, можно показать, что геодезические уравнения выполняются точно.

Формулировка Лагранжа

Вопрос выведения уравнений движения или уравнений поля в любой физической теории представляется привлекательным для многих исследователей. Довольно универсальным способом осуществления этих выводов является использование методов вариационного исчисления, основными объектами в котором выступают лагранжианы. Многие рассматривают этот подход как элегантный способ построения теории, другие – лишь как формальный способ её представления (как правило, построение лагранжиана выполняется после того, как теория уже разработана).

Математические методы анализа пространства-времени

Описав основные математические структуры, применяемые при формулировании теории, мы теперь обсудим некоторые важные математические методы, используемые для изучения пространств-времен.

Поля рамки

Поле рамки — это ортонормальный набор из 4 векторных полей (1 временноподобное, 3 пространственноподобные), определенных на пространстве-времени. Каждое поле рамки можно рассматривать как представление наблюдателя в пространстве-времени, движущегося вдоль интегральных кривых временноподобного векторного поля. Любая тензорная величина может быть выражена через поле рамки, в частности, метрический тензор принимает особенно удобный вид. В сочетании с кофреймами, поля рамки предоставляют мощный инструмент для анализа пространств-времени и физической интерпретации математических результатов.

Векторные поля симметрии

Некоторые современные методы анализа пространств-времени в значительной степени опираются на использование симметрий пространства-времени, которые бесконечно мало генерируются векторными полями (обычно задаваемыми локально) на пространстве-времени, сохраняющими определенные свойства этого пространства-времени. Наиболее распространенными типами таких векторных полей симметрии являются поля Киллинга (сохраняющие метрическую структуру) и их обобщения, называемые обобщенными полями Киллинга. Векторные поля симметрии широко применяются при изучении точных решений в общей теории относительности, а множество всех таких полей обычно образует конечномерную алгебру Ли.

Проблема Коши

Проблема Коши (иногда называемая начальной задачей) — это попытка найти решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях. В контексте общей теории относительности это означает задачу нахождения решений уравнений Эйнштейна — системы гиперболических частных дифференциальных уравнений — при заданных начальных данных на гиперповерхности. Изучение проблемы Коши позволяет сформулировать понятие причинности в общей теории относительности, а также параметризовать решения уравнений поля. В идеале желательно получить глобальные решения, но обычно приходится довольствоваться локальными решениями. Как правило, для решения этой начальной задачи требуется выбор конкретных условий задания координат.

Спинорический формализм

Спиноры находят несколько важных применений в теории относительности. Их использование как метода анализа пространства-времени с помощью тетрад, особенно в формализме Ньюмана — Пенроуза, имеет большое значение. Еще одним привлекательным свойством спиноров в общей теории относительности является компактный способ записи некоторых тензорных уравнений, использующий спинорный формализм. Например, при классификации тензора Вейля определение различных типов Петрова значительно упрощается по сравнению с тензорным подходом.

Реджеский анализ

Редж-калькуль — это формализм, который разбивает лоренцево многообразие на дискретные «куски» (четырёхмерные симплексные блоки), при этом длины рёбер блоков принимаются за основные переменные. Дискретная версия действия Эйнштейна — Гильберта получается путем рассмотрения так называемых углов дефицита этих блоков, при этом угол дефицита, равный нулю, соответствует отсутствию кривизны. Эта новая идея находит применение в методах аппроксимации в численной общей теории относительности и квантовой гравитации, причем последняя использует обобщение редж-калькуля.

Теоремы сингулярности

В общей теории относительности было отмечено, что при достаточно общих условиях гравитационный коллапс неизбежно приводит к так называемой сингулярности. Сингулярность — это точка, в которой решения уравнений становятся бесконечными, что указывает на то, что теория была применена к областям, выходящим за рамки её применимости.

Числовая теория относительности

Численная теория относительности – это раздел общей теории относительности, который направлен на решение уравнений Эйнштейна с использованием численных методов. Для приближенного решения возникающих частных дифференциальных уравнений применяются методы конечных разностей, конечных элементов и псевдоспектральные методы. Новые методы, разработанные в рамках численной теории относительности, включают метод вырезания и метод прокола для работы с сингулярностями, возникающими в пространстве-времени чёрных дыр. Распространенные темы исследований включают чёрные дыры и нейтронные звезды.

Методы возмущения

Нелинейность уравнений Эйнштейна часто заставляет исследователей прибегать к методам приближения при их решении. Например, важным подходом является линеаризация уравнений поля. Методы теории возмущений широко используются в этих областях.