Кіріспе
Біркелкей жиынтықтардың ішкі жиынағындағы бірыңғай жинақталудың дуалдық кеңістік топологиясы. Функционалдық талдау және математиканың осымен байланысты салаларында полярлық топология, жинақталу топологиясы немесе жиынтықтардағы бірыңғай жинақталу топологиясы – жұптастырудың векторлық кеңістіктерінде жергілікті дөңес топологияларды анықтау әдісі.
In functional analysis and related areas of mathematics a polar topology, topology of convergence or topology of uniform convergence on the sets of is a method to define locally convex topologies on the vector spaces of a pairing.
Полярлық топологиялар және топологиялық векторлық кеңістіктер
Бұл бөлімде үздіксіз қос кеңістігі бар топологиялық векторлық кеңістік (ТВШ) болады және ол каноникалық жұптасу болады, онда анықтама бойынша векторлық кеңістік әрқашан нүктені ажыратады, бірақ нүктенің өзін ажырата алмайды (мысалы, егер кеңістік Хаусдорф болмаса, мұндай жағдай туындайды), онда бұл жұптасу қос жұп болып табылмайды. Ханн-Банах теоремасы бойынша, егер кеңістік Хаусдорфты және жергілікті дөңес болса, онда ол нүктені ажыратады және осылайша қос жұпты құрайды.
Тұрақты қос кеңістіктегі полярлық топологиялар
Бүкіл мәтін бойында TVS өрісте үздіксіз қос кеңістікпен және каноникалық жұптастырумен байланысты болады. Төмендегі кестеде ең көп қолданылатын полярлық топологиялардың көпшілігі анықталған: Егер полярлық топологияны білдірсе, онда осы топологиямен жабдықталған жиын деп белгіленеді (мысалы, егер онда және солай болса, онда endowed with деп белгіленеді). Егер қосымша болса, онда бұл TVS деп белгіленуі мүмкін (мысалы, ). ("үнемді конвергенция топологиясы") Белгіленуі Атауы ("топологиясы") Балама атауы шекті жинақтар (немесе шекті жинақтардың жабық дискілік қабықтары) нүктелік/жеке конвергенция әлсіз/әлсіз* топологиясы тығыз дөңгелек жинақтар тығыз дөңгелек конвергенция тығыз жинақтар (немесе теңгерілген тығыз жинақтар) тығыз конвергенция тығыз дискілер Маккей топологиясы алдын ала тығыз/толық шектелген жинақтар (немесе теңгерілген алдын ала тығыз жинақтар) алдын ала тығыз конвергенция толық және шектелген дискілер дөңгелек теңгерілген толық шектелген конвергенция толық емес және шектелген дискілер дөңгелек теңгерілген толық емес шектелген конвергенция шектелген жинақтар шектелген конвергенция күшті топология дискілердегі Маккей топологиясы
Notation: If denotes a polar topology then endowed with this topology will be denoted by (e. g. if then and so that denotes with endowed with ). If in addition, then this TVS may be denoted by (for example, ). ("topology of uniform convergence on ") Notation Name ("topology of ") Alternative name finite subsets of (or closed disked hulls of finite subsets of ) pointwise/simple convergence weak/weak* topology compact convex subsets compact convex convergence compact subsets(or balanced compact subsets) compact convergence compact disks Mackey topology precompact/totally bounded subsets(or balanced precompact subsets) precompact convergence complete and bounded disks convex balanced complete bounded convergence infracomplete and bounded disks convex balanced infracomplete bounded convergence bounded subsets bounded convergence strong topology compact disks in Mackey topology
The reason why some of the above collections (in the same row) induce the same polar topologies is due to some basic results. A closed subset of a complete TVS is complete and that a complete subset of a Hausdorff and complete TVS is closed. Furthermore, in every TVS, compact subsets are complete and the balanced hull of a compact (resp. totally bounded) subset is again compact (resp. totally bounded). Also, a Banach space can be complete without being weakly complete. If is bounded then is absorbing in (note that being absorbing is a necessary condition for to be a neighborhood of the origin in any TVS topology on ). If is a locally convex space and is absorbing in then is bounded in Moreover, a subset is weakly bounded if and only if is absorbing in For this reason, it is common to restrict attention to families of bounded subsets of
Жоғарыдағы кейбір жинақтардың (бір қатардағы) бірдей полярлық топологияларды тудыру себебі кейбір негізгі нәтижелерге байланысты. Толық TVS-тің жабық ішкі жиыны толық, ал Хаусдорф және толық TVS-тің толық ішкі жиыны жабық болады. Сонымен қатар, әрбір TVS-де тығыз жинақтар толық, ал тығыз (немесе толық шектелген) жинақтың теңгерілген қабығы қайтадан тығыз (немесе толық шектелген) болады. Сондай-ақ, Банах кеңістігі әлсіз толық болмай-ақ толық болуы мүмкін. Егер шектелген болса, онда сіңірілетін болады (ескеріңіз, сіңірілу кез келген TVS топологиясында шығу тегінің маңында болуы үшін қажетті шарт). Егер жергілікті дөңгелек кеңістік болса және сіңірілетін болса, онда шектелген болады. Сонымен қатар, жинақ әлсіз шектелген, егер және ғана егер сіңірілетін болса. Осы себепті, көбінесе шектелген жинақтар отбасысына назар аударумен шектеледі.
Notation: If denotes a polar topology then endowed with this topology will be denoted by (e. g. if then and so that denotes with endowed with ). If in addition, then this TVS may be denoted by (for example, ). ("topology of uniform convergence on ") Notation Name ("topology of ") Alternative name finite subsets of (or closed disked hulls of finite subsets of ) pointwise/simple convergence weak/weak* topology compact convex subsets compact convex convergence compact subsets(or balanced compact subsets) compact convergence compact disks Mackey topology precompact/totally bounded subsets(or balanced precompact subsets) precompact convergence complete and bounded disks convex balanced complete bounded convergence infracomplete and bounded disks convex balanced infracomplete bounded convergence bounded subsets bounded convergence strong topology compact disks in Mackey topology
The reason why some of the above collections (in the same row) induce the same polar topologies is due to some basic results. A closed subset of a complete TVS is complete and that a complete subset of a Hausdorff and complete TVS is closed. Furthermore, in every TVS, compact subsets are complete and the balanced hull of a compact (resp. totally bounded) subset is again compact (resp. totally bounded). Also, a Banach space can be complete without being weakly complete. If is bounded then is absorbing in (note that being absorbing is a necessary condition for to be a neighborhood of the origin in any TVS topology on ). If is a locally convex space and is absorbing in then is bounded in Moreover, a subset is weakly bounded if and only if is absorbing in For this reason, it is common to restrict attention to families of bounded subsets of
Алдын ала конвергенция
Банах–Алауглу теоремасы: Тең үздіксіз жиынның шектеулі жиындардағы біркелкі жинақталу топологиясында компактты жабылуы болады. Бұдан әрі, жиындағы бұл топология топологиямен келіседі.
Әлсіз топология
Егер және Хаусдорф жергілікті дөңес кеңістіктер болса, және өлшенетін болса, ал – сызықтық бейнелеу болса, онда – үздікес, егер және тек қана егер – үздікес болса. Яғни, егер және берілген топологияларын алып жүрсе, онда – үздікес, егер және әлсіз топологияларын алып жүрсе ғана.
Тең үздіксіз жиынтықтардың конвергенциясы
Егер барлық дөңгелек, теңгерілген, әлсіз компактты және тең үздіксіз кіші жиынтықтар жиыны болса, онда бірдей топология туындаған болар еді. Егер кеңістік жергілікті дөңгелек және Хаусдорф болса, онда берілген топология (яғни бастапқы топология) дәл сол. Яғни, Хаусдорф және жергілікті дөңгелек кеңістік үшін, егер онда тек қана егер эквиконтинуитті болса, онда эквиконтинуитті, және одан әрі, кез келген жағдайда, нөлдік нүктенің маңы эквиконтинуитті болады. Маңыздысы, TVS-дегі үздіксіз сызықтық функционалдар жиыны, егер және тек қана егер нөлдік нүктенің кейбір маңының полярлық жиынына кірсе, эквиконтинуитті болады. TVS топологиясы бастапқы нүктенің ашық маңдарымен толық анықталатындықтан, жиынның полярларын алу операциясы арқылы, эквиконтинуитті кіші жиынтар жиыны кеңістіктің топологиясы туралы барлық ақпаратты "кодтайды" (яғни, кеңістіктегі әртүрлі TVS топологиялары эквиконтинуитті кіші жиынтардың әртүрлі жиынтарын тудырады, және кез келген мұндай жиынтық берілген жағдайда, жинақтағы жиынтардың полярларын алу арқылы TVS-тің бастапқы топологиясын қалпына келтіруге болады). Осылайша, эквиконтинуитті кіші жиынтар жиынындағы біртекті жуысу, негізінен, кеңістіктің топологиясындағы жуысу болып табылады.
That is, for Hausdorff and locally convex, if then is equicontinuous if and only if is equicontinuous and furthermore, for any is a neighborhood of the origin if and only if is equicontinuous. Importantly, a set of continuous linear functionals on a TVS is equicontinuous if and only if it is contained in the polar of some neighborhood of the origin in (i. e. ). Since a TVS's topology is completely determined by the open neighborhoods of the origin, this means that via operation of taking the polar of a set, the collection of equicontinuous subsets of "encode" all information about 's topology (i. e. distinct TVS topologies on produce distinct collections of equicontinuous subsets, and given any such collection one may recover the TVS original topology by taking the polars of sets in the collection). Thus uniform convergence on the collection of equicontinuous subsets is essentially "convergence on the topology of ".
Маки топологиясы
Бұл жергілікті дөңес Хаусдорф кеңістігі болсын. Егер ол метрикалық немесе баррельді болса, онда бастапқы топологиясы Мэки топологиясына сәйкес келеді.
Жұптастыруға сәйкес келетін топологиялар
Болсын – векторлық кеңістік, ал – кеңістіктің алгебралық дуалының векторлық ішкі кеңістігі, ол кеңістіктегі нүктелерді бөледі. Егер – кез келген басқа жергілікті дөңес Хаусдорф топологиялық векторлық кеңістік болса, онда – кеңістік пен оның дуалы арасындағы дуалдықпен үйлесімді, егер –мен жабдықталғанда, оның үздіріссіз дуалдық кеңістігі болып табылады. Егер –ке әлсіз топология берілген болса, онда – Хаусдорфтың жергілікті дөңес топологиялық векторлық кеңістігі (TVS) болып табылады және – кеңістік пен оның дуалы арасындағы дуалдықпен үйлесімді (яғни). Сұрақ туындайды: кеңістікке қандай жергілікті дөңес Хаусдорф TVS топологияларын қоюға болады, олар кеңістік пен оның дуалы арасындағы дуалдыққа үйлесімді? Бұл сұраққа жауап Маккей-Аренс теоремасы деп аталады.