Введение

Двойное пространство топологии равномерной сходимости на некотором подмножестве ограниченных множеств. В функциональном анализе и смежных областях математики полярная топология, топология сходимости или топология равномерной сходимости на множествах является методом определения локально выпуклых топологий на векторных пространствах дуальности.

Полярные топологии и топологические векторные пространства

В течение всего этого раздела будем рассматривать топологическое векторное пространство (ТВП) с непрерывным сопряжённым пространством , а как каноническое спаривание, где по определению . Векторное пространство всегда разделяет точки из , но может не разделять точки из (это обязательно происходит, например, если не является хаусдорфовым), в этом случае спаривание не образует двойственную пару. По теореме Хана — Банаха, если является хаусдорфовым локально выпуклым пространством, то оно разделяет точки из , и таким образом образует двойственную пару.

Полярные топологии на непрерывном двойном пространстве

Всюду будем рассматривать ТВС над полем с непрерывным двойственным пространством, и будет ассоциироваться с каноническим спариванием. В таблице ниже определены многие из наиболее распространенных полярных топологий на .

Обозначение: Если обозначает полярную топологию, то наделенное этой топологией пространство будет обозначаться (например, если , то и , так что обозначает наделенное ). Если в дополнение, то это ТВС может быть обозначено (например, ). ("топология равномерной сходимости на ")

Обозначение | Название ("топология ") | Альтернативное название
------- | -------- | --------
конечные подмножества (или замкнутые дисковые оболочки конечных подмножеств) | точечная/простая сходимость |
слабая/слабая* топология | |
компактные выпуклые подмножества | компактная выпуклая сходимость |
компактные подмножества (или сбалансированные компактные подмножества) | компактная сходимость |
компактные диски | |
Топология Маккея | |
прекомпактные/полностью ограниченные подмножества (или сбалансированные прекомпактные подмножества) | прекомпактная сходимость |
полные и ограниченные диски | сбалансированная полная ограниченная сходимость |
инфраполные и ограниченные диски | сбалансированная инфраполная ограниченная сходимость |
ограниченные подмножества | ограниченная сходимость |
сильная топология | |
компактные диски в | Топология Маккея |

Причина, по которой некоторые из вышеперечисленных коллекций (в одной строке) индуцируют одни и те же полярные топологии, обусловлена некоторыми базовыми результатами. Закрытое подмножество полного ТВС является полным, а полное подмножество хаусдорфова и полного ТВС – замкнутым. Кроме того, в каждом ТВС компактные подмножества полны, а сбалансированная оболочка компактного (соответственно, полностью ограниченного) подмножества снова является компактной (соответственно, полностью ограниченной). Также, пространство Банаха может быть полным, не будучи слабо полным. Если ограничено, то поглощается в (обратите внимание, что поглощение является необходимым условием для того, чтобы было окрестностью нуля в любой ТВС-топологии на ). Если является локально выпуклым пространством и поглощается в , то ограничено в . Кроме того, подмножество слабо ограничено тогда и только тогда, когда поглощается в . По этой причине обычно ограничивают внимание семействами ограниченных подмножеств .

Предектная конвергенция

Теорема Банаха — Алаоглу: Равнонепрерывное подмножество имеет компактное замыкание в топологии равномерной сходимости на предкомпактных множествах. Более того, эта топология на совпадает с -топологией.

Слабая топология

Предположим, что и — пространства Хаусдорфа, локально выпуклые, с метризуемым и что — линейное отображение. Тогда непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывно. Иными словами, непрерывно, когда и наделены своими исходными топологиями, тогда и только тогда, когда непрерывно, когда и наделены своими слабыми топологиями.

Сближение на равнопродолжительных множествах

Если бы было множеством всех выпуклых, сбалансированных, слабо компактных и равнонепрерывных подмножеств , то была бы индуцирована та же топология. Если является локально выпуклым и хаусдорфовым, то заданная топология (то есть, топология, с которой началось) точно совпадает с . Иначе говоря, для хаусдорфова и локально выпуклого пространства , если , то равнонепрерывно тогда и только тогда, когда равнонепрерывно, и кроме того, для любого является окрестностью нуля тогда и только тогда, когда равнонепрерывно. Важно отметить, что множество непрерывных линейных функционалов на TVS является равнонепрерывным тогда и только тогда, когда оно содержится в полярном множестве некоторой окрестности нуля в (то есть, ). Поскольку топология TVS полностью определяется открытыми окрестностями нуля, это означает, что посредством операции взятия полярного множества, коллекция равнонепрерывных подмножеств "кодирует" всю информацию о топологии (то есть, различные топологии TVS порождают различные коллекции равнонепрерывных подмножеств, и, имея любую такую коллекцию, можно восстановить исходную топологию TVS, взяв полярные множества из этой коллекции). Таким образом, равномерная сходимость на коллекции равнонепрерывных подмножеств по сути является "сходимостью на топологии ".

Топология Макки

Предположим, что X — локально выпуклое пространство Хаусдорфа. Если X метризуемо или бочкообразно, то исходная топология X совпадает с топологией Макки.

Топологии, совместимые с парными системами

Пусть — векторное пространство и пусть — векторное подпространство алгебраического дуала , разделяющее точки на . Если — любая другая локально выпуклая топология гаусдорфова векторного пространства, то она совместима с дуальностью между и , если при оснащении топологией её непрерывным дуальным пространством является . Если задана слабая топология, то является гаусдорфовым локально выпуклым топологическим векторным пространством (TVS) и совместима с дуальностью между и (т. е. ). Возникает вопрос: какие локально выпуклые топологии Hausdorff TVS можно задать на , которые были бы совместимы с дуальностью между и ? Ответ на этот вопрос известен как теорема Макки — Аренса.