Кіріспе
Математикада E торы – R кеңістігіндегі ерекше тор. Оны 8-ші дәрежелі, оң анықталған, жұп, бір модульді тор ретінде сипаттауға болады. Осы атау E түбірлік жүйесінің түбір торы болғандықтан берілген. E тордың нормасы (екіге бөлінгенде) 8 айнымалыдағы оң анықталған, жұп, бір модульді квадраттық форма болып табылады, ал керісінше, мұндай квадраттық форманы 8-ші дәрежелі оң анықталған, жұп, бір модульді тор құру үшін қолдануға болады. Мұндай форманың бар екенін алғаш 1867 жылы Х. Дж. Смит көрсетті, ал осы квадраттық форманың алғашқы нақты құрылысын Коркин мен Золотарев 1873 жылы жасады. E торы сондай-ақ, 1900 жылдар шамасында тордың геометриясын алғаш зерттеген Торолд Госсеттің құрметіне Госсет торы деп те аталады.
In mathematics, the E lattice is a special lattice in R. It can be characterized as the unique positive definite, even, unimodular lattice of rank 8. The name derives from the fact that it is the root lattice of the E root system. The norm of the E lattice (divided by 2) is a positive definite even unimodular quadratic form in 8 variables, and conversely such a quadratic form can be used to construct a positive definite, even, unimodular lattice of rank 8. The existence of such a form was first shown by H. J. S. Smith in 1867, and the first explicit construction of this quadratic form was given by Korkin and Zolotarev in 1873. The E lattice is also called the Gosset lattice after Thorold Gosset who was one of the first to study the geometry of the lattice itself around 1900.
Шарларды және өбеу нөмірлерін толтыру
E торшасы ерекше, өйткені ол 8 өлшемде шарларды жинақтау және өбеу нөмірлік мәселелерді оңтайлы шешеді. Шарларды жинақтау мәселесі R кеңістігінде екі сфераның бір-бірімен қабаттаспауы үшін, белгілі радиустағы (қатты) n өлшемді сфераларды жинақтаудың ең тығыз жолын сұрайды. Торлық жинақтамалар – бұл шарлардың тордың нүктелерінде орталанған шарлардың ерекше түрі. E тордың нүктелеріне 1/ радиусы бар шарларды орналастыру R кеңістігінде A тығыздығымен торлық жинақтаманы береді.
1935 жылы Ханс Фредерик Блихфельдт бұл тордың 8 өлшемдегі ең жоғары тығыздық екенін дәлелдеді. Сонымен қатар, E торсы осы тығыздықтағы бірегей тор (изометриялар мен масштабтауларға дейін). 2016 жылы Марина Вьязовская бұл тығыздықтың тіпті қалыптасқан емес жинақтамалар арасында да оңтайлы екенін дәлелдеді. Өбеу нөмірлік мәселесінде, бірдей радиустағы орталық сфераға тие (немесе "өбе) алатын белгілі радиустағы сфералардың ең көп саны қанша болады деп сұралады. Жоғарыда аталған E торлық жинақтамада кез келген сфера 240 көршілес сфераға тиеді. Себебі, ең төменгі нөлден өзгеше нормасы бар 240 тор векторлары бар (E тордың түбірлері). 1979 жылы бұл 8 өлшемдегі ең үлкен сан екені көрсетілді. Шарларды жинақтау және өбеу нөмірлік мәселелер өте қиын, ал оңтайлы шешімдер тек 1, 2, 3, 8 және 24 өлшемдерде (плюс өбеу нөмірлік мәселесі үшін 4 өлшем) белгілі. 8 және 24 өлшемдердегі шешімдердің белгілі болуы E тордың және оның 24 өлшемді туысы – Лич тордың ерекше қасиеттеріне байланысты.
Хамминг коды
E тор (ұзартылған) Хамминг коды H(8,4) -пен тығыз байланысты және одан құрастырылуы мүмкін. Хамминг коды H(8,4) – ұзындығы 8 және рангі 4 болатын екілік код; яғни, ол шекті векторлық кеңістік (F) -тің 4 өлшемді кіші кеңістігі. (F) элементтерін 8 биттік бүтін сандар ретінде он алтылық жүйеде жазса, H(8,4) коды {00, 0F, 33, 3C, 55, 5A, 66, 69, 96, 99, A5, AA, C3, CC, F0, FF} жиыны ретінде беріледі. H(8,4) кодының маңыздылығы оның II типті өзіне-қос код болғандығында. Оның ең төменгі Хамминг салмағы 4-ке тең, яғни кез келген екі код сөзі кем дегенде 4 битпен өзгеше болады. Бұл қасиетке ие ең үлкен 8 биттік код. Ұзындығы n болатын екілік кодтан Λ торын құрастыру үшін Z-дегі барлық x векторларын қарастырамыз, мұнда x, C кодының код сөзімен (2 модуль бойынша) конгруэнтті. Λ торын 1/қ фактормен қайта масштабтау жиі қолайлы. Осы құрылысты II типті өзіне-қос кодқа қолданғанда, жұп, модульсіз тор алынады. Атап айтқанда, оны Хамминг коды H(8,4) -ке қолданғанда E торы пайда болады. Дегенмен, осы тор мен жоғарыда анықталған Γ торы арасындағы нақты изоморфизмді табу оңай емес.
{00, 0F, 33, 3C, 55, 5A, 66, 69, 96, 99, A5, AA, C3, CC, F0, FF}. The code H(8,4) is significant partly because it is a Type II self dual code. It has a minimum Hamming weight 4, meaning that any two codewords differ by at least 4 bits. It is the largest length 8 binary code with this property. One can construct a lattice Λ from a binary code C of length n by taking the set of all vectors x in Z such that x is congruent (modulo 2) to a codeword of C. It is often convenient to rescale Λ by a factor of 1/,
Applying this construction a Type II self dual code gives an even, unimodular lattice. In particular, applying it to the Hamming code H(8,4) gives an E lattice. It is not entirely trivial, however, to find an explicit isomorphism between this lattice and the lattice Γ defined above.
Қолданбалар
1982 жылы Майкл Фридман топологиялық 4-өлшемді кеңістік мысалын жасады, оны Е-кеңістік деп атады, оның қиылысу пішіні E-тормен берілген. Бұл кеңістік тегіс құрылымға ие болмайтын және тіпті үшбұрышталмайтын топологиялық кеңістікке мысал болып табылады. Ішек теориясында гетеротикалық ішек – 26 өлшемді бозондық ішек пен 10 өлшемді суперішектің ерекше қоспасы. Теория дұрыс жұмыс істеуі үшін 16 сәйкес келмейтін өлшемдер 16-шы дәрежелі жұп, біртұтас торға жинақталуы керек. Мұндай торлардың екеуі бар: Γ⊕Γ және Γ (Γ сияқты құрылған). Бұл гетеротикалық ішектің екі түріне әкеледі, олар E×E гетеротикалық ішегі және SO(32) гетеротикалық ішегі деп аталады.