Введение
Решетка в 8-мерном пространстве со специальными свойствами
В математике решетка E является специальной решеткой в R. Она может быть охарактеризована как единственная положительно определенная, четная, унимодулярная решетка ранга 8. Название происходит от того, что она является корневой решеткой корневой системы E. Норма решетки E (деленная на 2) представляет собой положительно определенную четную унимодулярную квадратичную форму в 8 переменных, и, наоборот, такую квадратичную форму можно использовать для построения положительно определенной четной унимодулярной решетки ранга 8. Существование такой формы впервые было показано Х. Дж. Смитом в 1867 году, а первое явное построение этой квадратичной формы было дано Коркиным и Золотаревым в 1873 году. Решетка E также называется решеткой Госсета в честь Торольда Госсета, который одним из первых изучал геометрию самой решетки примерно в 1900 году.
Упаковка сфер и поцелуи
Сетка E примечательна тем, что даёт оптимальные решения задачи об упаковке сфер и задачи о числе касаний в 8 измерениях. Задача об упаковке сфер ставит вопрос о том, каким образом можно наиболее плотно упаковать (твёрдые) n-мерные сферы фиксированного радиуса в R так, чтобы сферы не пересекались. Сетчатые упаковки — это особый тип упаковки сфер, в котором сферы расположены в точках решётки. Размещение сфер радиуса 1/ в точках решётки E даёт сетчатую упаковку в R с плотностью. В статье 1935 года Ганса Фредерика Блихфельда было доказано, что это максимальная плотность, которую можно достичь при сетчатой упаковке в 8 измерениях. Более того, решётка E является единственной решёткой (с точностью до изометрий и масштабирований) с такой плотностью. В 2016 году Марина Вязовская доказала, что эта плотность является оптимальной даже для нерегулярных упаковок. Задача о числе касаний ставит вопрос о максимальном количестве сфер фиксированного радиуса, которые могут касаться (или "целовать") центральной сферы того же радиуса. В упомянутой выше сетчатой упаковке E каждая сфера касается 240 соседних сфер. Это связано с тем, что существует 240 решёточных векторов с минимальной ненулевой нормой (корней решётки E). Было показано в 1979 году, что это максимально возможное число в 8 измерениях. Задача об упаковке сфер и задача о числе касаний — удивительно сложные задачи, и оптимальные решения известны только в 1, 2, 3, 8 и 24 измерениях (плюс 4 измерения для задачи о числе касаний). Тот факт, что решения известны в 8 и 24 измерениях, частично обусловлен особыми свойствами решётки E и её 24-мерного аналога — решётки Лича.
A 1935 paper of Hans Frederick Blichfeldt proved that this is the maximum density that can be achieved by a lattice packing in 8 dimensions. Furthermore, the E lattice is the unique lattice (up to isometries and rescalings) with this density. Maryna Viazovska proved in 2016 that this density is, in fact, optimal even among irregular packings. The kissing number problem asks what is the maximum number of spheres of a fixed radius that can touch (or "kiss") a central sphere of the same radius. In the E lattice packing mentioned above any given sphere touches 240 neighboring spheres. This is because there are 240 lattice vectors of minimum nonzero norm (the roots of the E lattice). It was shown in 1979 that this is the maximum possible number in 8 dimensions. The sphere packing problem and the kissing number problem are remarkably difficult and optimal solutions are only known in 1, 2, 3, 8, and 24 dimensions (plus dimension 4 for the kissing number problem). The fact that solutions are known in dimensions 8 and 24 follows in part from the special properties of the E lattice and its 24 dimensional cousin, the Leech lattice.
Код Хамминга
Сетка E очень тесно связана с (расширенным) кодом Хамминга H(8,4) и, фактически, может быть построена на его основе. Код Хамминга H(8,4) – это двоичный код длины 8 и ранга 4, то есть 4-мерное подпространство конечного векторного пространства (F). Если записывать элементы (F) как 8-битные целые числа в шестнадцатеричной системе счисления, то код H(8,4) можно явно представить как множество {00, 0F, 33, 3C, 55, 5A, 66, 69, 96, 99, A5, AA, C3, CC, F0, FF}. Код H(8,4) важен, в частности, потому, что это самодвойственный код типа II. Он имеет минимальный вес Хамминга, равный 4, что означает, что любые два кодовых слова отличаются друг от друга как минимум на 4 бита. Это самый большой двоичный код длины 8, обладающий этим свойством. Решетку Λ можно построить из двоичного кода C длины n, взяв множество всех векторов x в Z, таких что x сравнимо (по модулю 2) с кодовым словом C. Часто бывает удобно перемасштабировать Λ с коэффициентом 1/.
{00, 0F, 33, 3C, 55, 5A, 66, 69, 96, 99, A5, AA, C3, CC, F0, FF}. The code H(8,4) is significant partly because it is a Type II self dual code. It has a minimum Hamming weight 4, meaning that any two codewords differ by at least 4 bits. It is the largest length 8 binary code with this property. One can construct a lattice Λ from a binary code C of length n by taking the set of all vectors x in Z such that x is congruent (modulo 2) to a codeword of C. It is often convenient to rescale Λ by a factor of 1/,
Применение этой конструкции к самодвойственному коду типа II дает четную, унимодулярную решетку. В частности, применение ее к коду Хамминга H(8,4) дает E-сетку. Однако найти явный изоморфизм между этой решеткой и решеткой Γ, определенной выше, не совсем тривиально.
Приложения
В 1982 году Майкл Фридман построил пример 4-мерного топологического многообразия, называемого E-многообразием, форма пересечений которого задается E-решеткой. Это многообразие является примером топологического многообразия, не допускающего гладкой структуры и даже не допускающего триангуляцию. В теории струн гетеротическая струна представляет собой своеобразный гибрид 26-мерной бозонной струны и 10-мерной суперструны. Для корректной работы теории 16 несовпадающих измерений должны быть компактифицированы на четной, унимодулярной решетке ранга 16. Существует две такие решетки: Γ⊕Γ и Γ (построенные аналогичным образом решетке Γ). Это приводит к двум версиям гетеротической струны, известным как гетеротическая струна E×E и гетеротическая струна SO(32).