Кіріспе
Математикада дифференциалдық алгебралық теңдеулер жүйесі (DAE) – дифференциалдық теңдеулер мен алгебралық теңдеулерді қамтитын немесе мұндай жүйеге эквивалентті теңдеулер жүйесі. Мұндай жүйенің шешімдері жиынтығы – дифференциалдық алгебралық сан алуандық және дифференциалдық полиномиалдардың дифференциалдық алгебрасындағы идеалға сәйкес келеді. Бір өзгермелі жағдайда, t айнымалысындағы DAE – белгісіз функциялардың векторы болатын бір теңдеу түрінде жазылуы мүмкін. Олар қарапайым дифференциалдық теңдеулерден (ОДЕ) ерекшеленеді, себебі ДАЕ функцияның барлық компоненттерінің туындылары үшін толық шешілмейді, өйткені олардың бәрі пайда болмауы мүмкін (яғни, кейбір теңдеулер алгебралық); техникалық тұрғыдан, имплицитті ОДЕ жүйесі мен ДАЕ жүйесі арасындағы айырмашылық – ДАЕ жүйесі үшін Якобиандық матрицасы сингулярлық матрица болып табылады. ОДЕ мен ДАЕ арасындағы бұл айырмашылық ДАЕ-нің ерекше сипаттамалары бар екенін және оларды шешу көбінесе қиынға соғады. Іс жүзінде ДАЕ мен ОДЕ арасындағы айырмашылық көбінесе ДАЕ жүйесінің шешімі ОДЕ-дегідей сигналдың өзіне емес, кіріс сигналының туындыларына байланысты болады; бұл мәселе гистерезисі бар сызықтық емес жүйелерде, мысалы, Шмидт триггерінде жиі кездеседі. Бұл айырмашылық жүйені қайта жазуға болады, егер x орнына тәуелді айнымалылардың екі векторлық жұбын қарастырсақ, және ДАЕ мынадай түрінде болса, онда , және осы түріндегі ДАЕ жүйесі жартылай айқын деп аталады.
where is a vector of unknown functions. They are distinct from ordinary differential equation (ODE) in that a DAE is not completely solvable for the derivatives of all components of the function x because these may not all appear (i. e. some equations are algebraic); technically the distinction between an implicit ODE system [that may be rendered explicit] and a DAE system is that the Jacobian matrix is a singular matrix for a DAE system. This distinction between ODEs and DAEs is made because DAEs have different characteristics and are generally more difficult to solve. In practical terms, the distinction between DAEs and ODEs is often that the solution of a DAE system depends on the derivatives of the input signal and not just the signal itself as in the case of ODEs; this issue is commonly encountered in nonlinear systems with hysteresis, such as the Schmitt trigger. This difference is more clearly visible if the system may be rewritten so that instead of x we consider a pair of vectors of dependent variables and the DAE has the form
where , , and
A DAE system of this form is called semi explicit.
ДАЕ-ге арналған құрылымдық талдау
Біз осы әдісті дифференциалды-алгебралық теңдеулерді (ДАТ) талдау үшін қолданамыз. ДАТ үшін біз қолтаңба матрицасын құрастырамыз, онда әр қатар әр теңдеуге, ал әр баған әр айнымалыға сәйкес келеді. (i, j) орындағы жазуы – , бұл айнымалы көрінетін ең жоғары ретті туындыны білдіреді, немесе егер теңдеуде болмаса. Жоғарыда келтірілген маятник ДАТ үшін айнымалылар:
For the pendulum DAE above, the variables are The corresponding signature matrix is