Дифференциально-алгебраические системы уравнений: теория и анализ
Differential-algebraic system of equations
Дифференциально-алгебраические уравнения (ДАУ): определение, отличие от ОДУ, особенности решения. Математика, дифференциальная алгебра, сингулярные матрицы.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
В математике дифференциально-алгебраическая система уравнений (DAE) – это система уравнений, которая либо содержит дифференциальные и алгебраические уравнения, либо эквивалентна такой системе. Множество решений такой системы является дифференциально-алгебраическим многообразием и соответствует идеалу в дифференциальной алгебре дифференциальных полиномов. В одномерном случае DAE относительно переменной t может быть записана как одно уравнение вида
In mathematics, a differential algebraic system of equations (DAE) is a system of equations that either contains differential equations and algebraic equations, or is equivalent to such a system. The set of the solutions of such a system is a differential algebraic variety, and corresponds to an ideal in a differential algebra of differential polynomials. In the univariate case, a DAE in the variable t can be written as a single equation of the form
где – вектор неизвестных функций. DAE отличаются от обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) тем, что DAE не всегда можно полностью разрешить относительно производных всех компонентов функции x, поскольку не все они могут присутствовать (то есть некоторые уравнения являются алгебраическими). Технически, различие между неявной системой ОДУ [которую можно сделать явной] и системой DAE заключается в том, что якобиан является сингулярной матрицей для системы DAE. Это различие между ОДУ и DAE делается потому, что DAE обладают различными характеристиками и, как правило, сложнее в решении. На практике различие между DAE и ОДУ часто заключается в том, что решение системы DAE зависит от производных входного сигнала, а не только от самого сигнала, как в случае ОДУ; эта проблема часто возникает в нелинейных системах с гистерезисом, таких как триггер Шмитта. Это различие становится более очевидным, если систему можно переписать таким образом, чтобы вместо x мы рассматривали пару векторов зависимых переменных, и DAE приобрела форму
where is a vector of unknown functions. They are distinct from ordinary differential equation (ODE) in that a DAE is not completely solvable for the derivatives of all components of the function x because these may not all appear (i. e. some equations are algebraic); technically the distinction between an implicit ODE system [that may be rendered explicit] and a DAE system is that the Jacobian matrix is a singular matrix for a DAE system. This distinction between ODEs and DAEs is made because DAEs have different characteristics and are generally more difficult to solve. In practical terms, the distinction between DAEs and ODEs is often that the solution of a DAE system depends on the derivatives of the input signal and not just the signal itself as in the case of ODEs; this issue is commonly encountered in nonlinear systems with hysteresis, such as the Schmitt trigger. This difference is more clearly visible if the system may be rewritten so that instead of x we consider a pair of vectors of dependent variables and the DAE has the form
где , , и
where , , and
DAE такой формы называется полуявной.
A DAE system of this form is called semi explicit.
Структурный анализ для DAE
Мы используем данный метод для анализа дифференциально-алгебраического уравнения (ДАУ). Для ДАУ мы строим матрицу сигнатур, где каждая строка соответствует каждому уравнению, а каждый столбец – каждой переменной. Элемент в позиции (i, j) равен , что обозначает наивысший порядок производной, с которым переменная встречается в уравнении , или 0, если переменная в уравнении не встречается.
We use the method to analyze a DAE. We construct for the DAE a signature matrix , where each row corresponds to each equation and each column corresponds to each variable The entry in position is , which denotes the highest order of derivative to which occurs in , or if does not occur in
For the pendulum DAE above, the variables are The corresponding signature matrix is
Для ДАУ, описывающего маятник, указанного выше, переменными являются. Соответствующая матрица сигнатур:
We use the method to analyze a DAE. We construct for the DAE a signature matrix , where each row corresponds to each equation and each column corresponds to each variable The entry in position is , which denotes the highest order of derivative to which occurs in , or if does not occur in
For the pendulum DAE above, the variables are The corresponding signature matrix is