Кіріспе

Математикада (нақты) топологиялық (немесе дифференциалдық) беттің Тейхмюллер кеңістігі – сәйкестік гомеоморфизміне изотопты гомеоморфизмнің әрекетіне дейін беттегі күрделі құрылымдарды параметрлейтін кеңістік. Тейхмюллер кеңістіктері Освальд Тейхмюллер есімімен аталады. Тейхмюллер кеңістігіндегі әрбір нүкте "белгіленген" Риман беттерінің изоморфизм класы ретінде қарастырылуы мүмкін, мұнда "белгілеу" – беттен өзіне гомеоморфизмдердің изотоптық класы. Оны бетке белгіленген гиперболалық құрылым үшін модульдік кеңістік ретінде қарастыруға болады, бұл оған табиғи топологияны береді, ол жанрдың беті үшін өлшемді шарға гомеоморфты. Осылайша Тейхмюллер кеңістігін Риман модульдік кеңістігінің әмбебап жапқыш орбитасы ретінде қарастыруға болады. Тейхмюллер кеңістігінің канондық күрделі көпқырлы құрылымы және табиғи метрикалардың молдығы бар. Осы құрылымдардың геометриялық ерекшеліктерін зерттеу – белсенді зерттеу саласы. Тейхмюллер кеңістігін зерттейтін математиканың тармағы Тейхмюллер теориясы деп аталады.

Тарих

Риманн беттерінің модульдік кеңістіктері мен олармен байланысты Фуксиандық топтар Бернхард Риманның (1826–1866) еңбектерінен бастап зерттелді. Ол, беттің түріне (genus) қарай, күрделі құрылымдардың өзгеруін сипаттау үшін параметрлердің қажет екенін білген. Тейхмюллер кеңістігінің алғашқы зерттеулері, он тоғызыншы ғасырдың соңы – жиырмасыншы ғасырдың басында, геометриялық сипатқа негізделген және Риманн беттерін гиперболалық беттер ретінде қарастыруға байланысты болды. Осы саладағы негізгі еңбек авторлары – Феликс Кляйн, Анри Пуанкаре, Пол Коэбе, Якоб Нильсен, Роберт Фрике және Вернер Фенхель. Тейхмюллердің модульдік кеңістіктерді зерттеуге қосқан маңызды үлесі – квазиконформальды бейнелеулерді ғылымға енгізу болды. Олар модульдік кеңістіктерді зерттеуге жаңа тереңдік беруге мүмкіндік берді, оларға бұрынғы, қарапайым жұмыстарда болмаған қосымша қасиеттерді сыйлады. Екінші дүниежүзілік соғыстан кейін Ларс Ахлфорс және Липман Берс бұл тақырыпты талдамалық бағытта одан әрі дамытты. Теория қазір де белсенді, Тейхмюллер кеңістігінің күрделі құрылымына (Берс енгізген) қатысты көптеген зерттеулер жүргізілуде. Тейхмюллер кеңістігін зерттеудегі геометриялық бағыт 1970 жылдардың соңында Уильям Терстонның еңбектерінен кейін қайта жанданды. Ол геометриялық жиынтықтауды (компактификация) енгізді, оны беттің бейнелеу кластары тобын зерттеуде пайдаланды. Бұл топқа байланысты басқа да комбинаторлық объектілер (әсіресе қисық кешені) де Тейхмюллер кеңістігімен байланысты, және бұл геометриялық топтар теориясындағы өте маңызды зерттеу тақырыбы болып табылады.

Аяқтық типтегі беттер

Бұл Тейхмюллер кеңістігі ең көп зерттелетін беттер, олардың ішінде жабық беттер де бар. Егер бет, шекті жиынды алып тастағаннан кейін, тығыз бетке диффеоморфты болса, онда ол шекті типті бет болып саналады. Егер генусы жабық бет болса, онда бетінен нүктелерді алып тастау нәтижесінде алынған бет әдетте белгісімен көрсетіледі, ал оның Тейхмюллер кеңістігі арқылы белгіленеді.

Тейхмюллер кеңістіктері мен гиперболалық метрикалар

Жоғарыда аталғандардан басқа, кез келген шекті типтегі бағдарланатын бет тұрақты қисықтыққа ие толық Риманн метрикаларын қабылдайды. Берілген шекті типтегі бет үшін, біртектілік теоремасынан келіп шығатындай, мұндай метрикалар мен күрделі құрылымдар арасында біржақты сәйкестік бар. Осылайша, Тейхмюллер кеңістігін белгіленген гиперболалық беттер жиыны ретінде жүзеге асыруға болады, яғни, гиперболалық бет және дифеоморфизм жұптарының жиынтығы, изометрияға изотопты болған жағдайда эквиваленттік қатынас бойынша.

Тейхмюллер кеңістігіндегі топология

Жоғарыда есептелген барлық жағдайларда Тейхмюллер кеңістігінде нақты топология бар. Жалпы жағдайда топология құрудың көптеген табиғи тәсілдері бар, ең қарапайымы – гиперболалық метрикалар және ұзындық функциялары арқылы. Егер жабық қисық болса және белгіленген гиперболалық бет болса, онда оның гомотопия класы бірегей жабық геодезиялыққа (параметрлеуге дейін) гомотоп болады. -қа байланысты ұзындық функциясының нүктесіндегі мәні:

деп есептесек, - қарапайым жабық қисықтар жиыны болсын. Онда кеңістігі көбейтінді топологиясына ие, ал кеңістігіне туынды топология берілген. Осы топология бойынша гомеоморфтық болып табылады.

Шындығында, қисықтары арқылы кіріктіруді алуға болады, тіпті екі жағдайда да кіріктіруді жоғарыдағы гомеоморфизмнің геометриялық дәлелін беру үшін қолдануға болады.

Кішкентай Тейхмюллер кеңістіктерінің үлгілері

Үш тесікті сферада шекті көлемге ие бірегей толық гиперболалық метрика бар, сондықтан тұрақты қисықтығы бар шекті көлемді толық метрикалардың Тейхмюллер кеңістігі бір нүкте болып табылады (бұл сондай-ақ алдыңғы абзацтағы өлшем формуласынан да шығады). Тейхмюллер кеңістіктері Fenchel–Nielsen координаттарын қолдану арқылы көрінетіндей, табиғи түрде жоғары жарты жазықтық ретінде бейнеленеді.

Тейхмюллер кеңістігі және конформальды құрылымдар

Гиперболалық метриканың күрделі құрылымдарының орнына Тейхмюллер кеңістігін конформдық құрылымдарды қолдана отырып анықтауға болады. Шындығында, конформдық құрылымдар екі (нақты) өлшемдегі кешенді құрылымдармен маңызды түрде бірдей. Бұған қоса, Біркелкілендіру теоремасы әрбір конформдық кластағы беттегі Риманн метрикасы үшін тұрақты қисықтыққа ие бірегей метрика бар екенін көрсетеді.

Санаттар туралы ескерту

Жоғарыдағы барлық анықтамалар дифференциалданатын көптүрліліктер санатының орнына топологиялық санатта берілуі мүмкін, және бұл объектілерді өзгерте қоймайды.

Тейхмюллер кеңістіктерінің шексіз өлшемдері

Түпкі типті емес беттер гиперболалық құрылымдарға да ие, оларды шексіз өлшемді кеңістіктермен параметрлеуге болады (гомеоморфты ). Тейхмюллер теориясымен байланысты шексіз өлшемді кеңістіктің тағы бір мысалы – беттердің ламинациясының Тейхмюллер кеңістігі.

Модульдік кеңістік картасы

Тихмюллер кеңістігінен Риман беттерінің модуль кеңістігіне, -ға диффеоморфты болатын, карта бар. Ол It арқылы анықталады. Бұл жапқыш карта, және -ның жай байланысқа ие болуының нәтижесінде, модуль кеңістігі үшін орбиталық әмбебап жапқыш болып табылады.

Карталау класы тобының іс-қимылы

Карталау класы тобы — сәйкестікке изотоптық болатын дифеоморфизмдердің қалыпты кіші тобының дифеоморфизм тобының косет тобы (осы анықтаманы дифеоморфизмдердің орнына гомеоморфизмдермен де жасауға болады, және беттер үшін бұл нәтижелі топты өзгертпейді). Дифеоморфизмдер тобы Тейхмюллер кеңістігінде табиғи түрде әрекет етеді. Егер — карталау класы болса және оны бейнелейтін екі дифеоморфизм болса, онда олар изотоптық. Сондықтан, және кластары Тейхмюллер кеңістігінде бірдей, ал жоғарыдағы әрекет карталау класы тобы арқылы факторланады. Карталау класы тобының Тейхмюллер кеңістігіндегі әрекеті дұрыс үзіліссіз, ал бөліндісі — модуль кеңістігі.

Белгілі нүктелер

Нильсенді іске асыру мәселесі карталау класы тобының кез келген шекті кіші тобының Тейхмюллер кеңістігінде жаһандық бекітілген нүктесі (топтың барлық элементтерімен бекітілген нүкте) болатынын сұрайды. Көбірек классикалық тұрғыда, сұрақ мынадай: кез келген шекті кіші топты белгілі бір толық гиперболалық метриканың изометриялар тобы ретінде (немесе эквивалентті түрде, кейбір күрделі құрылымның голоморфты дифеоморфизмдер тобы ретінде) іске асыруға болады ма? Бұл мәселені Стивен Керкхофф шешті.

Фенхель-Нильсен координаттары

Фенхель-Нильсен координаттары (Вернер Фенхель және Якоб Нильсеннің есімдерімен аталған) Тейхмюллер кеңістігінде беттің шалбарларға жіктелуімен байланысты. Бұл бетті шалбарлар жұптарына жіктеу, ал жіктелудегі әр қисыққа гиперболалық метрикадағы ұзындығы және бұрылыс деп аталатын тағы бір нақты параметр сәйкес келеді, оның анықталуы күрделірек. Жабық беттің туысы болғанда, шалбарларға жіктелуде қисықтар болады және біз параметрлерді аламыз, бұл өлшемді құрайды. Фенхель-Нильсен координаттары іс жүзінде гомеоморфизмді анықтайды. Тесіктер бар бет жағдайында кейбір шалбарлар жұптары "дегенеративті" (оларда төбесі бар) болып келеді және ұзындығы мен бұрылысы бар екі параметрді ғана береді. Осы жағдайда да Фенхель-Нильсен координаттары гомеоморфизмді анықтайды.

Қиып-сұрағыш координаттары

Егер бет идеалдық үшбұрыштарды қабылдаса (олардың төбелері дәл тесіктермен сәйкес келеді). Ойлер сипаттамасының формуласына сәйкес, мұндай үшбұрыштау үшбұрыштардан тұрады. Гиперболалық құрылым әр үшбұрышты гиперболалық идеалдық үшбұрышқа жіберіп, (изотопияға дейін бірегей) диффеоморфизмді анықтайды, осылайша нүктесін анықтайды. Мұндай құрылымның параметрлері үшбұрыштаудың ішінде жабыстырылған үшбұрыштардың әрбір жұп қабырғасының аударма ұзындығы болып табылады. Бұл параметрлердің саны бар, және әрқайсысы ішінде кез келген мәнді қабылдай алады, ал құрылымның толықтығы сызықтық теңдеуге сәйкес келеді, сондықтан дұрыс өлшемді аламыз. Бұл координаттар қисайту координаттары деп аталады. Жабық беттер үшін, шалбарды екі идеалдық үшбұрыштың бірігісі ретінде жіктеуге болады (оны үш тесікті шардағы толық емес гиперболалық метрика ретінде қарастыруға болады). Осылайша, біз де қисайту координаттарын аламыз.

Жер сілкіністері

Тейхмюллер кеңістігіндегі қарапайым жер сілкінісі жолы – бір қиып немесе ұзындығы Фенхель-Нильсен координатын өзгерту арқылы анықталатын жол (бір беттің белгілі идеалдық үшбұрыштылауы үшін). Бұл атау идеалдық үшбұрыштарды немесе шалбарларды тектоникалық тақталар ретінде, ал қиылысты – тақталардың қозғалысы ретінде қарастырудан туындаған. Көбірек жағдайда, жер сілкінісін геодезиялық ламинациялар бойынша жүргізуге болады. Тёрстонның теоремасы бойынша, Тейхмюллер кеңістігіндегі екі нүкте бірегей жер сілкінісі жолымен байланыстырылады.

Квазиконформалды сәйкестендірулер

Екі Риманн беті арасындағы квазиконформальды бейнелеу – бетте конформальды құрылымды шектелген түрде деформациялайтын гомеоморфизм. Нақтырақ айтқанда, ол дерлік барлық жерде дифференциалданады және дилатация деп аталатын тұрақты болады, яғни

мұндағы – конформальды координатадағы туындылар және оның комплекстік серігі. Кез келген изотопия класында квазиконформальды бейнелеулер бар, сондықтан Тейхмюллер кеңістігі үшін баламалы анықтама мынадай: , бетіне диффеоморфты Риманн бетін бекітіп, Тейхмюллер кеңістігін табиғи түрде белгіленген беттермен сәйкестендіріңіз, мұнда – квазиконформальды бейнелеу, жоғарыда көрсетілгендей эквиваленттілік қатынасына дейін.

Квадраттық дифференциалдар және Берс кіріктіруі

Жоғарыдағы анықтамаға сәйкес, Тейхмюллер кеңістігінен Белтрами дифференциалдық теңдеуіне эквивариантты шешімдер кеңістігіне табиғи бейнелеу бар. Бұл бейнелеу Шварц туындысы арқылы квадраттық дифференциалдарды тудырады. Олардың кеңістігі – күрделі өлшемді күрделі кеңістік, ал Тейхмюллер кеңістігінің бейнесі ашық жиынтық болып табылады. Бұл бейнелеу Берс ендірілімі деп аталады. Квадраттық дифференциалды берілгенге конформды аударма беті арқылы көрсетуге болады.

Тейхмюллер карталары

Тейхмюллер теоремасы екі белгіленген Риман беті арасында, олардың изотопия класындағы бірегей квазиконформальды бейнелеуінің әрқашан болатынын көрсетеді, оның минималды созуы бар. Бұл бейнелеу Тейхмюллер бейнелеуі деп аталады. Геометриялық тұрғыдан алғанда, бұл әрбір екі диффеоморфты Риман беті және диффеоморфизм үшін, оларды ұсынатын екі көпбұрыш бар екенін білдіреді, сондай-ақ біреуін екіншісіне жіберуші аффиндік бейнелеу бар, ол барлық квазиконформальды бейнелеулердің арасында ең кіші созуға ие.

Тейхмюллер метрикасы

Егер және олардың арасындағы Тейхмюллерлік бейнелеуде созу коэффициенті болса, онда олардың арасындағы Тейхмюллерлік қашықтық анықтама бойынша тең болады. Бұл шындығында топологиясын тудыратын және толық болатын қашықтықты анықтайды. Бұл Тейхмюллер кеңістігінің метрикалық геометриясын зерттеу үшін ең көп қолданылатын метрика. Әсіресе геометриялық топтар теориясымен айналысатын зерттеушілер үшін қызығушылық тудырады. Гиперболалық беттер арасындағы бейнелеулердің Липшиц тұрақтыларын квазиконформациялық созу коэффициенттерінің орнына қолдана отырып, ұқсас анықталған функция бар, ол симметриялық емес.

Вейль-Петерсон метрикасы

Риман бетіндегі квадраттық дифференциалдар Тейхмюллер кеңістігіндегі котангенттік кеңістікке сәйкес келеді. Вейль-Петерсон метрикасы – квадраттық дифференциалдардағы ішкі көбейту арқылы анықталатын Риман метрикасы.

Компактификациялар

Тейхмюллер кеңістіктерінің бірнеше баламасыз тығыздалулары зерттелген. Алдыңғы тығыздалулардың көптегені Тейхмюллер кеңістігіндегі нүктенің таңдалуына тәуелді болғандықтан, модульдік топ бойынша инвариант емес, бұл қиындық тудыруы мүмкін. Уильям Терстон кейіннен осы кемшіліктен құтылған тығыздалуды тапты, ол ең көп қолданылатын тығыздалуға айналды.

Тёрстон тығыздауы

Тейхмюллер кеңістігіндегі әрбір нүкте үшін қарапайым жабық қисықтардың гиперболалық ұзындығын қарастырып және (шексіз өлшемді) проективті кеңістікте жабылуын алып, шексіздіктегі нүктелері проективті өлшенген ламинацияларға сәйкес келетін тығыздау енгізілді. Тығыздалған кеңістік жабық шарға гомеоморфты. Бұл Тёрстон тығыздауы модульдік топтың үздік әрекетіне түседі. Атап айтқанда, модульдік топтың кез келген элементі Тёрстонның тығыздауында бекітілген нүктеге ие, және Тёрстон осыны модульдік топтың элементтерін жіктеу үшін пайдаланды.

Берсті тығыздату

Берс тығыздалуы Теичмюллер кеңістігінің Берс ендірілімінің бейнесінің жабылуын алу арқылы беріледі, ол Берс ендірілімі Теичмюллер кеңістігіндегі нүктенің таңдалуына тәуелді болғандықтан модульдік топқа қатысты өзгермейді, және модульдік топ Берс тығыздалуына үздіксіз әсер ете алмайды.

Тейхмюллер тығыздауы

Тейхмюллер тығыздауындағы "шетсіз нүктелер" (Тейхмюллер метрикасы бойынша) белгілі бір базалық нүктеден басталатын геодезиялық сәулелерден құралады. Бұл тығыздау базалық нүктенің таңдалуына тәуелді болғандықтан, модульдік топ оған әсер етпейді, ал Керкгофф модульдік топтың Тейхмюллер кеңістігіндегі әсері осы тығыздауға үздіксіз кеңейтілмейтінін көрсетті.

Gardiner Masur тығыздалуы

Thurston компактификациясына ұқсас компактификация ретінде қарастырылды, бірақ гиперболалық ұзындығының орнына экстремалды ұзындық қолданылды. Модульдік топ осы тығыздануға үздіксіз әсер етеді, бірақ олар өздерінің компактификациясы шексіздікте қатаң түрде көбірек нүктелерге ие екенін көрсетті.

Күрделі құрылымнан келетін өлшемдер

Тейхмюллер кеңістігі күрделі көптік болғандықтан, ол Каратеодори метрикасын мұралайды. Тейхмюллер кеңістігі Кобаяши гиперболалық және оның Кобаяши метрикасы Тейхмюллер метрикасымен сәйкес келеді. Осы соңғы нәтиже Ройденнің карталау класы тобы Тейхмюллер метрикасы үшін изометриялардың толық тобы екенін дәлелдеуінде пайдаланылады. Берс енгізуі Тейхмюллер кеңістігін голоморфия домені ретінде іске асырады, сондықтан ол Бергман метрикасын да мұралайды.

Тейхмюллер кеңістігіндегі Кэхлер метрикасы

Вейль-Петерсон метрикасы Кэхлер, бірақ ол толық емес. Ченг пен Яу Тейхмюллер кеңістігінде бірегей толық Кэхлер-Эйнштейн метрикасы бар екенін көрсетті. Оның тұрақты теріс скалярлық қисықтығы бар. Тейхмюллер кеңістігі сондай-ақ, шектелген қималық қисықтығы бар толық Кэхлер метрикасын да қамтиды, ол Кэхлер гиперболалық болып табылады.

Метрикалық көрсеткіштердің теңдестігі

Толық емес Вейл-Петерсон метрикасын қоспағанда, мұнда ұсынылған Тейхмюллер кеңістігіндегі барлық метрикалар бір-біріне квазиизометриялық.