Введение

Параметризует сложные структуры на поверхности. В математике пространство Тейхмюллера (реальной) топологической (или дифференциальной) поверхности — это пространство, параметризующее комплексные структуры на этой поверхности с точностью до действия гомеоморфизмов, изотопных тождественному гомеоморфизму. Пространства Тейхмюллера названы в честь Освальда Тейхмюллера. Каждая точка в пространстве Тейхмюллера может рассматриваться как класс изоморфизма "маркированных" поверхностей Римана, где "маркировка" представляет собой класс изотопии гомеоморфизмов поверхности в себя. Его можно рассматривать как модульное пространство для отмеченной гиперболической структуры на поверхности, что наделяет его естественной топологией, при которой оно гомеоморфно шару размерности для поверхности рода . Таким образом, пространство Тейхмюллера можно рассматривать как универсальное накрывающее орбифол пространств модулей Римана. Пространство Тейхмюллера обладает канонической структурой комплексного многообразия и множеством естественных метрик. Изучение геометрических свойств этих различных структур является активной областью исследований. Раздел математики, изучающий пространство Тейхмюллера, называется теорией Тейхмюллера.

История

Пространства модулей для поверхностей Римана и связанных с ними групп Фукса изучались со времен работ Бернарда Римана (1826–1866), который понимал, что для описания вариаций комплексных структур на поверхности рода *g* необходимы параметры. Раннее изучение пространства Тейхмюллера в конце XIX – начале XX века было геометрическим и основывалось на интерпретации поверхностей Римана как гиперболических поверхностей. Среди основных участников были Феликс Кляйн, Анри Пуанкаре, Поль Коэбе, Якоб Нильсен, Роберт Фрике и Вернер Фенхель. Главным вкладом Тейхмюллера в изучение модулей стало введение квазиконформных отображений в эту область. Они позволяют значительно углубить изучение пространств модулей, наделяя их дополнительными свойствами, отсутствовавшими в предыдущих, более элементарных работах. После Второй мировой войны эта область была развита далее в аналитическом направлении, в частности, благодаря работам Ларса Ahlfors и Lipman Bers. Теория продолжает активно развиваться, с многочисленными исследованиями комплексной структуры пространства Тейхмюллера (введённого Bers). Геометрический подход к изучению пространства Тейхмюллера был возрождён после работ Уильяма Thurston в конце 1970-х годов, который ввёл геометрическую компактификацию, которую использовал в своём исследовании группы классов отображений поверхности. Другие, более комбинаторные объекты, связанные с этой группой (в частности, комплекс кривых), также были соотнесены с пространством Тейхмюллера, и это является очень активной областью исследований в геометрической теории групп.

Поверхности конечного типа

Это поверхности, для которых пространство Тейхмюллера изучается наиболее часто, включая замкнутые поверхности. Поверхность называется поверхностью конечного типа, если она диффеоморфна компактной поверхности с удалённым конечным числом точек. Если Σ – замкнутая поверхность рода g, то поверхность, полученная удалением k точек из Σ, обычно обозначается Σk, а её пространство Тейхмюллера – T(Σk).

Пространства Тейхмюллера и гиперболические метрики

Каждая ориентируемая поверхность конечного типа, за исключением вышеуказанных, допускает полные римановы метрики постоянной кривизны. Для данной поверхности конечного типа существует биекция между такими метриками и комплексными структурами, что следует из теоремы об униформизации. Таким образом, пространство Тейхмюллера может быть реализовано как множество отмеченных гиперболических поверхностей рода *g* с *k* куспидами, то есть множество пар (*X*, *f*), где *X* — гиперболическая поверхность, а *f* — диффеоморфизм, по модулю отношения эквивалентности, при котором (*X*, *f*) и (*Y*, *g*) отождествляются, если *g* изотопна изометрии на *X*.

Топология на пространстве Тейхмюллера

Во всех рассмотренных выше случаях на пространстве Тейхмюллера существует естественная топология. В общем случае существует множество способов задать топологию, возможно, самый простой – через гиперболические метрики и функции длины. Если γ – замкнутая кривая на S, а X – отмеченная гиперболическая поверхность, то γ гомотопна единственной замкнутой геодезической γ' на X (с точностью до параметризации). Значение функции длины, связанной с (классом гомотопии) γ в точке X, тогда равно:

Пусть C – множество простых замкнутых кривых на S. Тогда отображение

является вложением. Пространство C наделено топологией произведения, а S – индуцированной топологией. При этой топологии S гомеоморфно

Фактически, можно получить вложение с n кривыми, и даже с бесконечным числом кривых. В обоих случаях можно использовать это вложение для геометрического доказательства вышеуказанного гомеоморфизма.

Еще примеры небольших пространств Тейхмуллера

На трехотверстной сфере существует единственная полная гиперболическая метрика конечного объема, и, следовательно, пространство Тейхмюллера полных метрик постоянной кривизны конечного объема является точкой (это также вытекает из формулы размерности, приведенной в предыдущем абзаце). Пространства Тейхмюллера и естественно представляются верхней полуплоскостью, что можно увидеть, используя координаты Фенхеля — Нильсена.

Пространство Тейхмюллера и конформные структуры

Вместо сложных структур гиперболических метрик пространство Тейхмюллера можно определить, используя конформные структуры. Действительно, конформные структуры эквивалентны комплексным структурам в двух (действительных) измерениях. Более того, теорема об униформизации также подразумевает, что в каждом конформном классе римановых метрик на поверхности существует единственная метрика постоянной кривизны.

Замечание о категориях

Все вышеперечисленные определения можно сформулировать в топологической категории вместо категории дифференцируемых многообразий, и это не изменит рассматриваемые объекты.

Бесконечные пространства Тейхмюллера

Поверхности, не являющиеся поверхностями конечного типа, также допускают гиперболические структуры, которые могут быть параметризованы бесконечномерными пространствами (гомеоморфными к ). Другим примером бесконечномерного пространства, связанного с теорией Тейхмюллера, является пространство Тейхмюллера ламинации поверхностями.

Карта модульного пространства

Существует отображение из пространства Тейхмюллера в модульное пространство римановых поверхностей, диффеоморфных к , заданное как накрывающая карта. Поскольку является односвязным, оно является орбитальным универсальным накрытием для модульного пространства.

Действия группы классов отображения

Классическая группа отображений — это группа косетов группы диффеоморфизмов по нормальной подгруппе, состоящей из диффеоморфизмов, изотопных тождественному отображению (такое же определение можно дать, используя гомеоморфизмы вместо диффеоморфизмов, и для поверхностей это не меняет результирующую группу). Группа диффеоморфизмов действует естественным образом на пространство Тейхмюллера.

Если — класс отображений, а и — два диффеоморфизма, представляющие его, то они изотопны. Следовательно, классы и совпадают в пространстве Тейхмюллера, и указанное выше действие факторизуется через группу классических отображений. Действие группы классических отображений на пространство Тейхмюллера является собственно разрывным, а факторпространство — пространством модулей.

Фиксированные точки

Проблема реализации Нильсена спрашивает, имеет ли какая-либо конечная подгруппа группы классов отображений глобальную неподвижную точку (точку, фиксированную всеми элементами группы) в пространстве Тейхмюллера. В более классических терминах вопрос состоит в следующем: можно ли любую конечную подгруппу реализовать как группу изометрий некоторой полной гиперболической метрики на некотором пространстве (или, эквивалентно, как группу голоморфных диффеоморфизмов некоторой комплексной структуры). Это было решено Стивеном Керкхоффом.

Координаты Фенхеля-Нильсена

Координаты Фенхеля — Нильсена (названные в честь Вернера Фенхеля и Якоба Нильсена) на пространстве Тейхмюллера связаны с разложением поверхности на «штаны». Это разложение поверхности на пары штанов, и каждой кривой в этом разложении сопоставляется её длина в гиперболической метрике, соответствующей данной точке в пространстве Тейхмюллера, а также другой вещественный параметр, называемый скруткой, который сложнее определить. В случае замкнутой поверхности рода *g* в разложении на штаны имеется 3*g* - 3 кривых, и мы получаем 6*g* - 6 параметров, что соответствует размерности пространства Тейхмюллера. Координаты Фенхеля — Нильсена фактически определяют гомеоморфизм. В случае поверхности с проколами некоторые пары штанов являются «вырожденными» (имеют куспид) и дают только два параметра – длину и скрутку. И в этом случае координаты Фенхеля — Нильсена определяют гомеоморфизм.

Координаты сдвига

Если поверхность допускает идеальные триангуляции (вершинами которых являются точно проколы). По формуле для характеристики Эйлера такая триангуляция имеет треугольников. Гиперболическая структура на определяет (единственный с точностью до изотопии) диффеоморфизм, отображающий каждый треугольник в гиперболический идеальный треугольник, и, следовательно, является точкой в пространстве параметров. Параметрами такой структуры являются длины переноса для каждой пары сторон треугольников, склеенных в триангуляции. Существует таких параметров, каждый из которых может принимать любое значение в , а полнота структуры соответствует линейному уравнению, таким образом, мы получаем правильную размерность. Эти координаты называются координатами сдвига. Для замкнутых поверхностей штаны можно разложить как объединение двух идеальных треугольников (их можно рассматривать как неполную гиперболическую метрику на трехдырявой сфере). Таким образом, мы также получаем координат сдвига на .

Землетрясения

Простая траектория землетрясения в пространстве Тейхмюллера — это траектория, определяемая изменением одной координатой сдвига или длины Фенхеля — Нильсена (для фиксированной идеальной триангуляции поверхности). Название происходит от представления идеальных треугольников или «штанов» как тектонических плит, а сдвига — как движения этих плит. В более общем случае можно проводить землетрясения вдоль геодезических ламинаций. Теорема Турстона утверждает, что любые две точки в пространстве Тейхмюллера соединены единственной траекторией землетрясения.

Квазиконформальные сопоставления

Квазиконформное отображение между двумя поверхностями Римана — это гомеоморфизм, который деформирует конформную структуру ограниченным образом на поверхности. Более точно, оно дифференцируемо почти всюду и существует постоянная, называемая дилатацией, такая что

где — производные в конформной координате и ее комплексно сопряженной. Квазиконформные отображения существуют в каждом классе изотопии, поэтому альтернативное определение пространства Тейхмюллера следующее: фиксируем поверхность Римана, диффеоморфную , и пространство Тейхмюллера находится в естественной биекции с отмеченными поверхностями, где — квазиконформное отображение, с точностью до того же отношения эквивалентности, что и выше.

Квадратные дифференциалы и встраивание Bers

При указанном определении существует естественное отображение из пространства Тейхмюллера в пространство эквивариантных решений уравнения Бельтрами. Эти решения, посредством производной Шварца, порождают квадратичные дифференциалы на пространстве, которое является комплексным пространством комплексной размерности , а образ пространства Тейхмюллера является открытым множеством. Это отображение называется вложением Берса. Квадратичный дифференциал на можно представить поверхностью переноса, конформной к .

Картографирование Тейхмюллера

Теорема Тейхмюллера утверждает, что между любыми двумя отмеченными поверхностями Римана всегда существует единственное квазиконформное отображение в классе изотопии, обладающее минимальным растяжением. Это отображение называется отображением Тейхмюллера. В геометрической интерпретации это означает, что для любых двух диффеоморфных поверхностей Римана и диффеоморфизма существует по два многоугольника, представляющих эти поверхности, и аффинное преобразование, переводящее один в другой, которое имеет наименьшее растяжение среди всех квазиконформных отображений.

Метрика Тейхмюллера

Если и отображение Тейхмюллера между ними имеет дилатацию , то расстояние Тейхмюллера между ними по определению равно . Это действительно определяет метрику на , которая индуцирует его топологию и является полной. Это наиболее часто используемая метрика для изучения метрической геометрии пространства Тейхмюллера, и она представляет особый интерес для теоретиков геометрических групп. Существует также функция, аналогично определенная с использованием констант Липшица отображений между гиперболическими поверхностями вместо квазиконформных дилатаций, на , которая не является симметричной.

Метрика Вейла-Петрсона

Квадратичные дифференциалы на римановой поверхности отождествляются с котангентным пространством к пространству Тейхмюллера. Метрика Вейля — Петерсона — это риманова метрика, задаваемая внутренним произведением на квадратичных дифференциалах.

Компактификации

Было изучено несколько неэквивалентных компактификаций пространств Тейхмюллера. Некоторые из более ранних компактификаций зависят от выбора точки в пространстве Тейхмюллера и поэтому не инвариантны относительно модульной группы, что может быть неудобно. Уильям Турстон позже обнаружил компактификацию, лишенную этого недостатка, которая стала наиболее распространенной.

Плотность Тёрстона

Рассматривая гиперболические длины простых замкнутых кривых для каждой точки в пространстве Тейхмюллера и беря замыкание в (бесконечномерном) проективном пространстве, было введено уплотнение, точки в бесконечности которого соответствуют проективным измеренным ламинациям. Уплотнённое пространство гомеоморфно замкнутому шару. Это уплотнение Та́рстона непрерывно действует модульная группа. В частности, любой элемент модульной группы имеет неподвижную точку в уплотнении Та́рстона, которую Та́рстон использовал в своей классификации элементов модульной группы.

Плотное уплотнение

Компактификация Берса получается замыканием образа вложения Берса пространства Тейхмюллера, изучаемого в работах Берса. Вложение Берса зависит от выбора точки в пространстве Тейхмюллера и, следовательно, не является инвариантным относительно модулярной группы, более того, модулярная группа не действует непрерывно на компактификации Берса.

Компактификация Тейхмюллера

"Точки в бесконечности" в компактификации Тейхмюллера состоят из геодезических лучей (относительно метрики Тейхмюллера), исходящих из фиксированной базовой точки. Эта компактификация зависит от выбора базовой точки, поэтому она не инвариантна относительно действия модульной группы, и, как показал Керкгофф, действие модульной группы на пространство Тейхмюллера не может быть продолжено до непрерывного действия на этой компактификации.

Гарднер Масур

рассматривается как компактификация, подобная компактификации Тёрстона, но использующая экстремальную длину вместо гиперболической. Модулярная группа действует непрерывно на этой компактификации, но они показали, что их компактификация содержит строго больше точек на бесконечности.

Показатели, исходящие из сложной структуры

Поскольку пространство Тейхмюллера является комплексным многообразием, оно обладает метрикой Каратеодори. Пространство Тейхмюллера является гиперболическим в смысле Кобаяси, и его метрика Кобаяси совпадает с метрикой Тейхмюллера. Этот последний результат используется в доказательстве Ройдена, утверждающем, что группа модулей является полной группой изометрий метрики Тейхмюллера. Вложение Берса реализует пространство Тейхмюллера как область голоморфности и, следовательно, также обладает метрикой Бергмана.

Метрики Кэхлера на пространстве Тейхмюллера

Метрика Вейля — Петерсона является кэлеровой, но неполной. Ченг и Яу показали, что в пространстве Тейхмюллера существует единственная полная кэлерова — эйнштейнова метрика. Она имеет постоянную отрицательную скалярную кривизну. Пространство Тейхмюллера также обладает полной кэлеровой метрикой с ограниченной сечной кривизной, введенной, которая является кэлеровой гиперболической метрикой.

Эквивалентность показателей

За исключением неполной метрики Вейля — Петерсона, все метрики на пространстве Тейхмюллера, рассмотренные здесь, квазиизометричны друг другу.