Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Оңтүстік Азияда математиканың дамуы
Development of mathematics in South Asia
Үнді математикасы Үнді субконтинентінде 18-ші ғасырдың соңына дейін қалыптасты. Үнді математикасының классикалық кезеңінде (б.з. 400–1200 жж.) Арьябхатта, Брахмагупта, Бхаскара II және Варахмихира сияқты ғалымдар маңызды үлес қосты. Қазіргі ондық сандар жүйесі алғаш рет үнді математикасында тіркелген. Үнді математиктері нөлді сан ретінде, теріс сандарды, арифметиканы және алгебраны зерттеуге алғашқы үлес қосты. Бұл сала Үндістанда одан әрі дамыды, әсіресе синус пен косинус қазіргі заманғы анықтамалары осы жерде жасалды. Бұл математикалық ұғымдар Таяу Шығысқа, Қытайға және Еуропаға тарады, соның нәтижесінде математиканың көптеген салаларының негізін құрайтын жаңа дамуларға әкелді. Ежелгі және ортағасырлық үнді математикалық еңбектері, барлығы санскрит тілінде жазылған, әдетте сутралар бөлімінен тұратын, онда ережелердің немесе мәселелердің жиынтығы студенттердің есте сақтауына көмектесу үшін ғылыми тұрғыдан айтылған. Одан кейін екінші бөлімде мәселені егжей-тегжейлі түсіндіріп, шешімін негіздеген прозалық түсіндірмелер (кейде әртүрлі ғалымдардың бірнеше түсіндірмелері) келтірілген. Прозалық бөлімде форма (демек, оның жатқа айтылуы) идеяларға қарағанда маңыздырақ емес деп есептелді. Барлық математикалық еңбектер шамамен б.з.д. 500 жылға дейін ауызша беріліп келді; содан кейін олар ауызша және қолжазба түрінде таратылды. Үнді субконтинентінде жасалған ең көне математикалық құжат – 1881 жылы Пешавар (қазіргі Пәкістан) маңындағы Бахшали ауылында табылған қайың қабығынан жасалған Бахшали қолжазбасы, ол шамамен 7-ші ғасырға жатады. Үнді математикасындағы кезекті маңызды қадам – 15-ші ғасырда Керала мектебінің математиктері жасаған тригонометриялық функциялардың (синус, косинус және арктангенс) қатарлық кеңейтімдері болды. Олардың еңбегі, Еуропада есептеуіштер ойлап табылғанға дейін екі ғасыр бұрын аяқталды, қазіргі кезде қуат қатарларының (геометриялық қатарлардан басқа) алғашқы мысалы болып саналады. Алайда, олар дифференциалдау және интегралдаудың жүйелі теориясын жасаған жоқ, сондай-ақ олардың нәтижелері Кераладан тыс жерлерге тарағандығы туралы тікелей дәлелдер де жоқ.
Indian mathematics emerged in the Indian subcontinent until the end of the 18th century. In the classical period of Indian mathematics (400 CE to 1200 CE), important contributions were made by scholars like Aryabhata, Brahmagupta, Bhaskara II, and Varāhamihira. The decimal number system in use today was first recorded in Indian mathematics. Indian mathematicians made early contributions to the study of the concept of zero as a number, negative numbers, arithmetic, and algebra. was further advanced in India, and, in particular, the modern definitions of sine and cosine were developed there. These mathematical concepts were transmitted to the Middle East, China, and Europe and led to further developments that now form the foundations of many areas of mathematics. Ancient and medieval Indian mathematical works, all composed in Sanskrit, usually consisted of a section of sutras in which a set of rules or problems were stated with great economy in verse in order to aid memorization by a student. This was followed by a second section consisting of a prose commentary (sometimes multiple commentaries by different scholars) that explained the problem in more detail and provided justification for the solution. In the prose section, the form (and therefore its memorization) was not considered so important as the ideas involved. All mathematical works were orally transmitted until approximately 500 BCE; thereafter, they were transmitted both orally and in manuscript form. The oldest extant mathematical document produced on the Indian subcontinent is the birch bark Bakhshali Manuscript, discovered in 1881 in the village of Bakhshali, near Peshawar (modern day Pakistan) and is likely from the 7th century CE. A later landmark in Indian mathematics was the development of the series expansions for trigonometric functions (sine, cosine, and arc tangent) by mathematicians of the Kerala school in the 15th century CE. Their work, completed two centuries before the invention of calculus in Europe, provided what is now considered the first example of a power series (apart from geometric series). However, they did not formulate a systematic theory of differentiation and integration, nor is there any direct evidence of their results being transmitted outside Kerala.
Тарихқа дейінгі дәуір
Хараппа, Мохенджо-Даро және Инд өркениетінің басқа да ескерткіштеріндегі қазба жұмыстары «практикалық математиканы» қолданғандығына куәліктер тапты. Инд өркениетінің халқы кірпіштерді 4:2:1 пропорциясында жасаған, бұл кірпіш құрылысының тұрақтылығы үшін жақсы деп есептелген. Олар 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 және 500 қатынастарындағы салмақтардың стандартизацияланған жүйесін қолданды, ал бірлік салмағы шамамен 28 граммқа тең (сондай-ақ шамамен ағылшын унциясына немесе грек унциясына тең). Олар гексаэдр, бөшке, конус және цилиндр сияқты тұрақты геометриялық пішіндердегі салмақтарды жаппай өндірді, осылайша геометрияның негізгі білімдерін көрсетті. Инд өркениетінің тұрғындары ұзындықты өлшеуді жоғары дәлдікпен стандартизациялауға тырысты. Олар Мохенджо-Даро үкімшісін жасады, оның ұзындық бірлігі (шамамен 1,32 дюйм немесе 3,4 сантиметр) он тең бөлікке бөлінген. Ежелгі Мохенджо-Дарода жасалған кірпіштердің өлшемдері көбінесе осы ұзындық бірлігінің толық еселері болды. Лоталдан (б.з.д. 2200 ж.) және Дхолавирадан табылған қуыс цилиндрлі заттар жазықтықтағы бұрыштарды өлшеуге, сондай-ақ теңіз саяхаты үшін жұлдыздардың орнын анықтауға қабілетті екені анықталды.
Excavations at Harappa, Mohenjo daro and other sites of the Indus Valley civilisation have uncovered evidence of the use of "practical mathematics". The people of the Indus Valley Civilization manufactured bricks whose dimensions were in the proportion 4:2:1, considered favourable for the stability of a brick structure. They used a standardised system of weights based on the ratios: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, and 500, with the unit weight equaling approximately 28 grams (and approximately equal to the English ounce or Greek uncia). They mass produced weights in regular geometrical shapes, which included hexahedra, barrels, cones, and cylinders, thereby demonstrating knowledge of basic geometry. The inhabitants of Indus civilisation also tried to standardise measurement of length to a high degree of accuracy. They designed a ruler—the Mohenjo daro ruler—whose unit of length (approximately 1.32 inches or 3.4 centimetres) was divided into ten equal parts. Bricks manufactured in ancient Mohenjo daro often had dimensions that were integral multiples of this unit of length. Hollow cylindrical objects made of shell and found at Lothal (2200 BCE) and Dholavira are demonstrated to have the ability to measure angles in a plane, as well as to determine the position of stars for navigation.
Самиталар мен брахманалар
Веда дәуіріндегі діни мәтіндер үлкен сандар қолданылғанын көрсетеді. Яджурведасамхита (б.з.д. 1200–900) тұсында мәтіндерде 10^{12} дейін сандар кездеседі.
The religious texts of the Vedic Period provide evidence for the use of large numbers. By the time of the Yajurvedasaṃhitā (1200–900 BCE), numbers as high as 10^(12) were being included in the texts.
Шүлба сүрелері
Шулба сутралары (Веда санскритіндегі мағынасы – «Шеңберлер туралы афоризмдер») (б.з.д. 700–400 ж.ш.) құрбандық от алтарьларын салу ережелерін тізімдейді. Шулба сутраларында қарастырылған математикалық мәселелердің көпшілігі «бір теологиялық талаптан» туындайды, яғни әртүрлі пішіндегі, бірақ бірдей ауданды алып тұратын от алтарьларын салу қажеттігінен. Алтарьлар беш қабат күйдірілген кірпіштен салынуы керек еді, әр қабаты 200 кірпіштен тұруы тиіс, және екі іргелес қабаттың кірпіштері бір-біріне сәйкес келмеуі керек. Бұл мәлімдеме сūтра болғандықтан, ол қысқартылған, ал арқандар нені тудыратыны нақты айтылмаған, бірақ контекст олардың ұзындығына салынған шаршы аудандарды білдіреді және мұғалім оны студентке түсіндіретін еді. Олар Диофанти теңдеулерінің ерекше жағдайлары болып табылады. Сондай-ақ, оларда шеңберді шаршылау және «шаршыны айналдыру» туралы шамамен дұрыс екендігі кейіннен белгілі болған мәлімдемелер бар. Баудхаяна (б.з.д. 8 ғасыр) ең танымал Сулба сутрасы – Баудхаяна Сулба сутрасын жазды, онда қарапайым пифагорлық үштіктердің мысалдары келтірілген, мысалы: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25) және (12, 35, 37), сондай-ақ квадраттың қабырғалары үшін Пифагор теоремасының мәлімдемесі: «Квадраттың диагоналі бойынша созылған арқан бастапқы квадраттың екі еселенген ауданын тудырады». Сондай-ақ, тіктөртбұрыштың қабырғалары үшін Пифагор теоремасының жалпы тұжырымы бар: «Тіктөртбұрыштың диагоналінің ұзындығы бойынша созылған арқан тік және көлденең қабырғаларының аудандарының қосындысына тең ауданды құрайды». Бұл өрнек бес ондық таңбаға дейін дәл, нақты мәні 1.41421356. Бұл өрнек құрылымы жағынан ежелгі Вавилон кезеңінен (б.з.д. 1900–1600 ж.ж.) Месопотамиялық тақташада табылған өрнекке ұқсас: «оның ішінде он бес пифагорлық үштік бар, оның ішінде (13500, 12709, 18541) – бұл түпкілікті үштік, бұл, әсіресе, тақырып бойынша күрделі түсінік болғанын көрсетеді» Месопотамияда б.з.д. 1850 ж. «Бұл тақташалар Сулба сутраларының кезеңінен бірнеше ғасыр бұрын жазылғандықтан, кейбір үштіктердің контекстін ескере отырып, Үндістанда да осындай түсінік болған деп күтуге болады». Дани былай деп жалғастырады: Мысалға қоса берілген прозалық түсіндірме оны төрт белгісізі бар үш (белгісіздігі жоқ) теңдеуге түрлендіріп, бағалардың барлығы бүтін сандар деп есептеп, мәселені шешеді.
The Śulba Sūtras (literally, "Aphorisms of the Chords" in Vedic Sanskrit) (c. 700–400 BCE) list rules for the construction of sacrificial fire altars. Most mathematical problems considered in the Śulba Sūtras spring from "a single theological requirement," that of constructing fire altars which have different shapes but occupy the same area. The altars were required to be constructed of five layers of burnt brick, with the further condition that each layer consist of 200 bricks and that no two adjacent layers have congruent arrangements of bricks.</blockquote> Since the statement is a sūtra, it is necessarily compressed and what the ropes produce is not elaborated on, but the context clearly implies the square areas constructed on their lengths, and would have been explained so by the teacher to the student. which are particular cases of Diophantine equations. They also contain statements (that with hindsight we know to be approximate) about squaring the circle and "circling the square." Baudhayana (c. 8th century BCE) composed the Baudhayana Sulba Sutra, the best known Sulba Sutra, which contains examples of simple Pythagorean triples, such as: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), and (12, 35, 37), as well as a statement of the Pythagorean theorem for the sides of a square: "The rope which is stretched across the diagonal of a square produces an area double the size of the original square." It also contains the general statement of the Pythagorean theorem (for the sides of a rectangle): "The rope stretched along the length of the diagonal of a rectangle makes an area which the vertical and horizontal sides make together." The expression is accurate up to five decimal places, the true value being 1.41421356 This expression is similar in structure to the expression found on a Mesopotamian tablet from the Old Babylonian period (1900–1600 BCE): "contains fifteen Pythagorean triples with quite large entries, including (13500, 12709, 18541) which is a primitive triple, indicating, in particular, that there was sophisticated understanding on the topic" in Mesopotamia in 1850 BCE. "Since these tablets predate the Sulbasutras period by several centuries, taking into account the contextual appearance of some of the triples, it is reasonable to expect that similar understanding would have been there in India." Dani goes on to say:
The prose commentary accompanying the example solves the problem by converting it to three (under determined) equations in four unknowns and assuming that the prices are all integers.