Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Развитие математики в Южной Азии
Development of mathematics in South Asia
Индийская математика возникла на Индийском субконтиненте до конца XVIII века. В классический период индийской математики (400–1200 гг. н.э.) важный вклад внесли такие ученые, как Арьябхата, Брахмагупта, Бхаскара II и Варахамихира. Десятичная система счисления, используемая сегодня, впервые была зафиксирована в индийской математике. Индийские математики внесли ранний вклад в изучение концепции нуля как числа, отрицательных чисел, арифметики и алгебры. Дальнейшее развитие математики происходило в Индии, и, в частности, там были разработаны современные определения синуса и косинуса. Эти математические концепции были переданы на Ближний Восток, в Китай и Европу и привели к дальнейшему развитию, которое теперь составляет основу многих областей математики. Древние и средневековые индийские математические труды, все составленные на санскрите, обычно состояли из раздела сутр, в котором набор правил или задач излагался в стихах с максимальной краткостью для облегчения запоминания учениками. За этим следовал второй раздел, состоящий из прозаического комментария (иногда нескольких комментариев разных ученых), который более подробно объяснял задачу и давал обоснование решения. В прозаической части форма (и, следовательно, ее запоминание) считалась менее важной, чем содержащиеся в ней идеи. Все математические труды передавались устно примерно до 500 г. до н.э.; после этого они передавались как устно, так и в рукописной форме. Самым старым сохранившимся математическим документом, созданным на Индийском субконтиненте, является рукопись Бахшали на березовой коре, обнаруженная в 1881 году в деревне Бахшали, недалеко от Пешавара (современный Пакистан), и, вероятно, датируется VII веком н.э. Позднее важной вехой в индийской математике стало развитие рядов разложений для тригонометрических функций (синуса, косинуса и арктангенса) математиками школы Кералы в XV веке н.э. Их работа, завершенная за два столетия до изобретения дифференциального и интегрального исчисления в Европе, предоставила то, что теперь считается первым примером степенного ряда (за исключением геометрических рядов). Однако они не сформулировали систематическую теорию дифференцирования и интегрирования, и нет прямых доказательств того, что их результаты были переданы за пределы Кералы.
Indian mathematics emerged in the Indian subcontinent until the end of the 18th century. In the classical period of Indian mathematics (400 CE to 1200 CE), important contributions were made by scholars like Aryabhata, Brahmagupta, Bhaskara II, and Varāhamihira. The decimal number system in use today was first recorded in Indian mathematics. Indian mathematicians made early contributions to the study of the concept of zero as a number, negative numbers, arithmetic, and algebra. was further advanced in India, and, in particular, the modern definitions of sine and cosine were developed there. These mathematical concepts were transmitted to the Middle East, China, and Europe and led to further developments that now form the foundations of many areas of mathematics. Ancient and medieval Indian mathematical works, all composed in Sanskrit, usually consisted of a section of sutras in which a set of rules or problems were stated with great economy in verse in order to aid memorization by a student. This was followed by a second section consisting of a prose commentary (sometimes multiple commentaries by different scholars) that explained the problem in more detail and provided justification for the solution. In the prose section, the form (and therefore its memorization) was not considered so important as the ideas involved. All mathematical works were orally transmitted until approximately 500 BCE; thereafter, they were transmitted both orally and in manuscript form. The oldest extant mathematical document produced on the Indian subcontinent is the birch bark Bakhshali Manuscript, discovered in 1881 in the village of Bakhshali, near Peshawar (modern day Pakistan) and is likely from the 7th century CE. A later landmark in Indian mathematics was the development of the series expansions for trigonometric functions (sine, cosine, and arc tangent) by mathematicians of the Kerala school in the 15th century CE. Their work, completed two centuries before the invention of calculus in Europe, provided what is now considered the first example of a power series (apart from geometric series). However, they did not formulate a systematic theory of differentiation and integration, nor is there any direct evidence of their results being transmitted outside Kerala.
Предыстория
Раскопки в Хараппе, Мохенджо-Даро и других поселениях цивилизации долины Инда обнаружили свидетельства использования "практической математики". Жители цивилизации долины Инда изготавливали кирпичи, размеры которых находились в соотношении 4:2:1, что считалось благоприятным для устойчивости кирпичных сооружений. Они использовали стандартизированную систему весов, основанную на соотношениях: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 и 500, при этом основная единица веса составляла приблизительно 28 граммов (что примерно соответствовало английской или греческой унции). Они серийно производили веса правильной геометрической формы, включая гексаэдры, бочкообразные фигуры, конусы и цилиндры, демонстрируя тем самым знание основ геометрии. Жители цивилизации Инда также стремились к стандартизации измерения длины с высокой степенью точности. Они создали линейку – линейку Мохенджо-Даро, единица длины которой (около 1,32 дюйма или 3,4 сантиметра) была разделена на десять равных частей. Кирпичи, изготовленные в древнем Мохенджо-Даро, часто имели размеры, кратные этой единице длины. Полые цилиндрические предметы из раковин, найденные в Лотале (2200 г. до н.э.) и Дхолавире, способны измерять углы на плоскости, а также определять положение звезд для навигации.
Excavations at Harappa, Mohenjo daro and other sites of the Indus Valley civilisation have uncovered evidence of the use of "practical mathematics". The people of the Indus Valley Civilization manufactured bricks whose dimensions were in the proportion 4:2:1, considered favourable for the stability of a brick structure. They used a standardised system of weights based on the ratios: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, and 500, with the unit weight equaling approximately 28 grams (and approximately equal to the English ounce or Greek uncia). They mass produced weights in regular geometrical shapes, which included hexahedra, barrels, cones, and cylinders, thereby demonstrating knowledge of basic geometry. The inhabitants of Indus civilisation also tried to standardise measurement of length to a high degree of accuracy. They designed a ruler—the Mohenjo daro ruler—whose unit of length (approximately 1.32 inches or 3.4 centimetres) was divided into ten equal parts. Bricks manufactured in ancient Mohenjo daro often had dimensions that were integral multiples of this unit of length. Hollow cylindrical objects made of shell and found at Lothal (2200 BCE) and Dholavira are demonstrated to have the ability to measure angles in a plane, as well as to determine the position of stars for navigation.
Самхиты и брахманы
Религиозные тексты Ведического периода содержат свидетельства об использовании больших чисел. К периоду Яджурведасамхиты (1200–900 гг. до н.э.) в текстах уже встречались числа вплоть до 10^(12).
The religious texts of the Vedic Period provide evidence for the use of large numbers. By the time of the Yajurvedasaṃhitā (1200–900 BCE), numbers as high as 10^(12) were being included in the texts.
Сульба-сутра
В Сульба-сутрах (буквально «Афоризмы аккордов» на ведическом санскрите) (ок. 700–400 гг. до н.э.) перечислены правила для построения жертвенных огневых алтарей. Большинство математических задач, рассматриваемых в Сульба-сутрах, проистекают из «единого теологического требования» – строительства огневых алтарей, которые имеют разные формы, но занимают одну и ту же площадь. Алтари должны были быть построены из пяти слоев обожженного кирпича, при условии, что каждый слой состоит из 200 кирпичей и что никакие два смежных слоя не имеют одинакового расположения кирпичей. Поскольку это сутра, она неизбежно сжата, и то, что производят веревки, не детализируется, но контекст ясно подразумевает квадратные площади, построенные на их длине, что учитель объяснил бы ученику. Эти площади являются частными случаями диофантовых уравнений. Они также содержат утверждения (которые, как мы теперь знаем, являются приближенными) о квадратуре круга и «окружении квадрата». Бадхаяна (ок. 8 в. до н.э.) составил Сульба-сутру Бадхаяны, наиболее известную Сульба-сутру, которая содержит примеры простых пифагорейских троек, такие как: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25) и (12, 35, 37), а также формулировку теоремы Пифагора для сторон квадрата: «Веревка, натянутая по диагонали квадрата, образует площадь вдвое большую, чем исходный квадрат». В ней также содержится общая формулировка теоремы Пифагора (для сторон прямоугольника): «Веревка, натянутая вдоль длины диагонали прямоугольника, образует площадь, равную сумме площадей, образованных вертикальной и горизонтальной сторонами». Это выражение точно до пяти десятичных знаков, истинное значение равно 1,41421356. Это выражение по структуре аналогично выражению, найденному на месопотамской табличке из древневавилонского периода (1900–1600 гг. до н.э.): «содержит пятнадцать пифагорейских троек с довольно большими значениями, включая (13500, 12709, 18541), которая является примитивной тройкой, что указывает, в частности, на наличие в Месопотамии в 1850 г. до н.э. глубокого понимания этой темы». «Поскольку эти таблички предшествуют периоду Сульба-сутр на несколько столетий, и учитывая контекстуальное появление некоторых из этих троек, разумно предположить, что аналогичное понимание существовало и в Индии». Дани продолжает:
The Śulba Sūtras (literally, "Aphorisms of the Chords" in Vedic Sanskrit) (c. 700–400 BCE) list rules for the construction of sacrificial fire altars. Most mathematical problems considered in the Śulba Sūtras spring from "a single theological requirement," that of constructing fire altars which have different shapes but occupy the same area. The altars were required to be constructed of five layers of burnt brick, with the further condition that each layer consist of 200 bricks and that no two adjacent layers have congruent arrangements of bricks.</blockquote> Since the statement is a sūtra, it is necessarily compressed and what the ropes produce is not elaborated on, but the context clearly implies the square areas constructed on their lengths, and would have been explained so by the teacher to the student. which are particular cases of Diophantine equations. They also contain statements (that with hindsight we know to be approximate) about squaring the circle and "circling the square." Baudhayana (c. 8th century BCE) composed the Baudhayana Sulba Sutra, the best known Sulba Sutra, which contains examples of simple Pythagorean triples, such as: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), and (12, 35, 37), as well as a statement of the Pythagorean theorem for the sides of a square: "The rope which is stretched across the diagonal of a square produces an area double the size of the original square." It also contains the general statement of the Pythagorean theorem (for the sides of a rectangle): "The rope stretched along the length of the diagonal of a rectangle makes an area which the vertical and horizontal sides make together." The expression is accurate up to five decimal places, the true value being 1.41421356 This expression is similar in structure to the expression found on a Mesopotamian tablet from the Old Babylonian period (1900–1600 BCE): "contains fifteen Pythagorean triples with quite large entries, including (13500, 12709, 18541) which is a primitive triple, indicating, in particular, that there was sophisticated understanding on the topic" in Mesopotamia in 1850 BCE. "Since these tablets predate the Sulbasutras period by several centuries, taking into account the contextual appearance of some of the triples, it is reasonable to expect that similar understanding would have been there in India." Dani goes on to say:
Прозаический комментарий, сопровождающий пример, решает задачу, сводя ее к трем (неопределенным) уравнениям с четырьмя неизвестными и предполагая, что цены являются целыми числами.
The prose commentary accompanying the example solves the problem by converting it to three (under determined) equations in four unknowns and assuming that the prices are all integers.