Кіріспе
Алгебралық геометрия және күрделі көптүрліліктер теориясында кездесетін математикалық топ. Математикада, Pic(X) арқылы белгіленетін, сақиналы кеңістік X-тің Пикард тобы – X-тегі инвертирленетін қаптардың (немесе түзу бундельдердің) изоморфизм кластарының тобы, мұнда топтық операция тензорлық көбейту болып табылады. Бұл құрылым – бөлгіш кластық тобының немесе идеал кластық тобының құрылымының глобальдық нұсқасы және алгебралық геометрияда және күрделі көптүрліліктер теориясында кеңінен қолданылады. Басқаша айтқанда, Пикард тобын шешімді схемалар үшін Картье бөлгіштерінің кластық тобына изоморфты деп анықтауға болады. Күрделі көптүрліліктер үшін экспоненциалдық қаптар тізбегі Пикард тобы туралы негізгі мәліметтерді ұсынады. Бұл атау Эмиль Пикардтың теорияларының, әсіресе алгебралық беттердегі бөлгіштерге арналған еңбектерінің құрметіне берілген.
In mathematics, the Picard group of a ringed space X, denoted by Pic(X), is the group of isomorphism classes of invertible sheaves (or line bundles) on X, with the group operation being tensor product. This construction is a global version of the construction of the divisor class group, or ideal class group, and is much used in algebraic geometry and the theory of complex manifolds. Alternatively, the Picard group can be defined as the sheaf cohomology group
For integral schemes the Picard group is isomorphic to the class group of Cartier divisors. For complex manifolds the exponential sheaf sequence gives basic information on the Picard group. The name is in honour of Émile Picard's theories, in particular of divisors on algebraic surfaces.
Пикард схемасы
Пикард тобының (өкілдік функциялық нұсқасы) схемалық құрылымын салу, Пикард схемасы, алгебралық геометрияда, әсіресе абельдік түрлердің дуалдық теориясында маңызды қадам болып табылады. Ол , сондай-ақ және сипаттаған. Классикалық алгебралық геометрия үшін маңызды жағдайларда, нөлдік сипаттамасы бар өріс үстіндегі толық емес сорт V үшін, Пикард схемасындағы бірлікке байланысқан компонент Пикард сорты деп аталатын абельдік сорт болып табылады және Pic0(V) деп белгіленеді. Пикард сортының дуалы – албандық сорт, ал V қисық болған жағдайда, Пикард сорты V-нің Якоб сортына табиғи түрде изоморфты. Дегенмен, оң сипаттамалы өрістер үшін Игуза Pic0(S) азайтылмаған, демек абельдік сорт емес, тегіс проективтік бет S мысалын жасады. Pic(V)/Pic0(V) бөлігі – NS(V) деп белгіленетін шекті туынды Абель тобы, V-нің Нерон-Севери тобы. Басқаша айтқанда, Пикард тобы нақты тізбекке сәйкес келеді. NS(V) рангысының шекті екендігі – Франческо Северидің базаға қатысты теоремасы; ранг V-нің Пикард саны, көбінесе ρ(V) деп белгіленеді. Геометриялық тұрғыдан NS(V) V-дегі бөлгіштердің алгебралық эквиваленттілік кластарын сипаттайды; яғни, бөлгіштердің сызықтық эквиваленттілігі орнына күшті, сызықтық емес эквиваленттілік қатынасын қолдану арқылы жіктеме дискретті инварианттарға бейімделеді. Алгебралық эквиваленттілік сандық эквиваленттілікпен тығыз байланысты, бұл қиылысу сандары арқылы негізінен топологиялық жіктеме.
In the cases of most importance to classical algebraic geometry, for a non singular complete variety V over a field of characteristic zero, the connected component of the identity in the Picard scheme is an abelian variety called the Picard variety and denoted Pic0(V). The dual of the Picard variety is the Albanese variety, and in the particular case where V is a curve, the Picard variety is naturally isomorphic to the Jacobian variety of V. For fields of positive characteristic however, Igusa constructed an example of a smooth projective surface S with Pic0(S) non reduced, and hence not an abelian variety. The quotient Pic(V)/Pic0(V) is a finitely generated abelian group denoted NS(V), the Néron–Severi group of V. In other words, the Picard group fits into an exact sequence
The fact that the rank of NS(V) is finite is Francesco Severi's theorem of the base; the rank is the Picard number of V, often denoted ρ(V). Geometrically NS(V) describes the algebraic equivalence classes of divisors on V; that is, using a stronger, non linear equivalence relation in place of linear equivalence of divisors, the classification becomes amenable to discrete invariants. Algebraic equivalence is closely related to numerical equivalence, an essentially topological classification by intersection numbers.
Салыстырмалы Пикард схемасы
f: X → S схемалардың морфизмі болсын. Салыстырмалы Пикард функторы (немесе егер ол схема болса, салыстырмалы Пикард схемасы) былай беріледі: кез келген S схемасы T үшін, мұнда f базалық өзгеруі және fT * кері тартылу. L-дің ішіндегі дәрежесі r-ге тең деу үшін, кез келген геометриялық нүкте s → T үшін L-дің s арқылы кері тартылуы Xs талшығындағы кері айналатын қабат ретінде r дәрежесіне ие болуы керек (Xs Пикард тобы үшін дәреже анықталған жағдайда).
where is the base change of f and fT * is the pullback. We say an L in has degree r if for any geometric point s → T the pullback of L along s has degree r as an invertible sheaf over the fiber Xs (when the degree is defined for the Picard group of Xs.)