Введение
Математическая группа, возникающая в алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий.
В математике группа Пикарда кольцевого пространства X, обозначаемая Pic(X), — это группа классов изоморфизма обратимых пучков (или линейных расслоений) на X, где групповой операцией является тензорное произведение. Эта конструкция является глобальной версией построения группы классов делителей или группы классов идеалов и широко используется в алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий. Альтернативно, группу Пикарда можно определить как группу когомологий пучка.
Для интегральных схем группа Пикарда изоморфна группе классов делителей Картье. Для комплексных многообразий экспоненциальная последовательность пучков предоставляет основную информацию о группе Пикарда. Название дано в честь теорий Эмиля Пикара, в частности, теорий делителей на алгебраических поверхностях.
Схема Пикарда
Построение структуры схемы на (представляемой функторной версии) группе Пикарда, схеме Пикарда, является важным шагом в алгебраической геометрии, в частности, в теории двойственности абелевых многообразий. Оно было построено , а также описано и . В случаях наибольшего значения для классической алгебраической геометрии, для несингулярного полного многообразия V над полем характеристики ноль, связная компонента единицы в схеме Пикарда является абелевым многообразием, называемым многообразием Пикарда и обозначаемым Pic0(V). Двойственное к многообразию Пикарда – это многообразие Альбанезе, и в частности, когда V является кривой, многообразие Пикарда естественным образом изоморфно многообразию Якоби V. Однако для полей положительной характеристики Игуса построил пример гладкой проективной поверхности S с Pic0(S) нередуцированной и, следовательно, не являющейся абелевым многообразием. Частное Pic(V)/Pic0(V) является конечно порожденной абелевой группой, обозначаемой NS(V), группой Нерона-Севери V. Иными словами, группа Пикарда вписывается в точную последовательность. Тот факт, что ранг NS(V) конечен, является теоремой об основании Франческо Севери; ранг – это число Пикарда V, часто обозначаемое ρ(V). Геометрически NS(V) описывает классы алгебраической эквивалентности дивизоров на V; то есть, используя более сильное, нелинейное отношение эквивалентности вместо линейной эквивалентности дивизоров, классификация становится доступной для дискретных инвариантов. Алгебраическая эквивалентность тесно связана с численной эквивалентностью, по сути топологической классификацией по числам пересечений.
In the cases of most importance to classical algebraic geometry, for a non singular complete variety V over a field of characteristic zero, the connected component of the identity in the Picard scheme is an abelian variety called the Picard variety and denoted Pic0(V). The dual of the Picard variety is the Albanese variety, and in the particular case where V is a curve, the Picard variety is naturally isomorphic to the Jacobian variety of V. For fields of positive characteristic however, Igusa constructed an example of a smooth projective surface S with Pic0(S) non reduced, and hence not an abelian variety. The quotient Pic(V)/Pic0(V) is a finitely generated abelian group denoted NS(V), the Néron–Severi group of V. In other words, the Picard group fits into an exact sequence
The fact that the rank of NS(V) is finite is Francesco Severi's theorem of the base; the rank is the Picard number of V, often denoted ρ(V). Geometrically NS(V) describes the algebraic equivalence classes of divisors on V; that is, using a stronger, non linear equivalence relation in place of linear equivalence of divisors, the classification becomes amenable to discrete invariants. Algebraic equivalence is closely related to numerical equivalence, an essentially topological classification by intersection numbers.
Сравнительная схема Пикарда
Пусть f: X → S — морфизм схем. Относительный функтор Пикарда (или относительная схема Пикарда, если это схема) задается следующим образом: для любой S-схемы T,
где — изменение основания f, а fT* — обратное отображение. Мы говорим, что L имеет степень r, если для любой геометрической точки s: T → S откат L вдоль s имеет степень r как обратимый пучок над волокном Xs (когда степень определена для группы Пикарда Xs).