Бір элементтен тұратын сақина

Кіріспе

Бір элементтен тұратын бірегей сақина. Сақиналар теориясында, математиканың бір саласы, нөлдік сақина немесе тривиалды сақина – бір элементтен тұратын бірегей сақина (изоморфизмге дейін). (Сирек жағдайларда, "нөлдік сақина" термині нөлге тең квадраттық сақинаны білдіру үшін қолданылады, яғни, барлық x және y үшін 1=xy=0 болатын сақина. Бұл мақалада бір элементті сақина туралы сөз болады.) Сақиналар санатында нөлдік сақина – түпкі объект, ал бүтін сандар сақинасы Z – бастапқы объект.

Анықтама

Нөлдік сақина {0} немесе жай ғана 0 деп белгіленеді, ол бір ғана элементтен – {0} жиынтығынан тұрады, және + және · операциялары 0 + 0 = 0 және 0 · 0 = 0 шартымен анықталады.

Қасиеттері

Нөлдік сақина — 0-дың қосымша бірлігі мен 1-дің көбейту бірлігі сәйкес келетін бірегей сақина. (Дәлел: егер R сақинасында 1=1=0 болса, онда R-дегі барлық r үшін 1=r=1r=0r=0 болады. Соңғы теңдіктің дәлелі осында.) Нөлдік сақина коммутативті. Нөлдік сақинадағы 0 саны бірлік болып табылады, өзінің көбейтуге кері саны ретінде танылады. Нөлдік сақинаның бірлік тобы — {0} тривиалды тобы. Нөлдік сақинадағы 0 саны нөлдік бөлгіш емес. Нөлдік сақинадағы жалғыз идеал — нөлдік идеал {0}, ол сонымен қатар бүкіл сақинаға тең бірлік идеал болып табылады. Бұл идеал максималды да, жай да емес. Нөлдік сақина әдетте өрістерден шығарылады, бірақ кейде тривиалды өріс деп аталады. Оны шығару оның нөлдік идеалы максималды емес екендігімен сәйкес келеді. (Математиктер «бір элементі бар өріс» туралы айтқанда, олар жоқ нәрсе туралы сөз етеді және олардың ниеті — егер ол болғанда, осы объектідегі схемалар санатын анықтайтын санатты анықтау.) Нөлдік сақина, әдетте, интегралдық домендерден шығарылады. Нөлдік сақинаның домен болып саналуы конвенциялық мәселе, бірақ оны домен деп санамаудың екі артықшылығы бар. Біріншіден, бұл доменнің 0 жалғыз нөлдік бөлгіші бар сақина деген анықтамамен сәйкес келеді (әсіресе, 0 нөлдік бөлгіш болуы керек, бұл нөлдік сақинада орындалмайды). Екіншіден, осылайша, оң бүтін сан n үшін, Z/nZ сақинасы домен болады, егер және ғана егер n жай сан болса, бірақ 1 жай сан емес. Кез келген A сақинасы үшін A-дан нөлдік сақинаға дейін бірегей сақина гомоморфизмі бар. Осылайша нөлдік сақина сақиналар санатындағы соңғы объект болып табылады. Егер A нөлдік емес сақина болса, онда нөлдік сақинадан A-ға сақина гомоморфизмі болмайды. Атап айтқанда, нөлдік сақина нөлдік емес сақинаның ішкі сақинасы емес. Нөлдік сақина — 1 сипаттамасының бірегей сақинасы. Нөлдік сақинаның жалғыз модулі — нөлдік модуль. Ол кез келген кардиналдық сан үшін А рангілі бос модуль. Нөлдік сақина жергілікті сақина емес. Дегенмен, ол жартылай жергілікті сақина. Нөлдік сақина Артинияндық және (соның салдарынан) Нотерияндық. Нөлдік сақинаның спектрі — бос схема. Нөлдік сақинаның Крулл өлшемі −∞. Нөлдік сақина жартылай жай, бірақ жай емес. Нөлдік сақина кез келген өріс үстінде орталық жай алгебра емес. Нөлдік сақинаның толық бөлімдік сақинасы — өзі.

The zero ring is the unique ring in which the additive identity 0 and multiplicative identity 1 coincide. (Proof: If 1=1 = 0 in a ring R, then for all r in R, we have 1=r = 1r = 0r = 0. The proof of the last equality is found here.) The zero ring is commutative. The element 0 in the zero ring is a unit, serving as its own multiplicative inverse. The unit group of the zero ring is the trivial group {0}. The element 0 in the zero ring is not a zero divisor. The only ideal in the zero ring is the zero ideal {0}, which is also the unit ideal, equal to the whole ring. This ideal is neither maximal nor prime. The zero ring is generally excluded from fields, while occasionally called as the trivial field. Excluding it agrees with the fact that its zero ideal is not maximal. (When mathematicians speak of the "field with one element", they are referring to a non existent object, and their intention is to define the category that would be the category of schemes over this object if it existed.) The zero ring is generally excluded from integral domains. Whether the zero ring is considered to be a domain at all is a matter of convention, but there are two advantages to considering it not to be a domain. First, this agrees with the definition that a domain is a ring in which 0 is the only zero divisor (in particular, 0 is required to be a zero divisor, which fails in the zero ring). Second, this way, for a positive integer n, the ring Z/nZ is a domain if and only if n is prime, but 1 is not prime. For each ring A, there is a unique ring homomorphism from A to the zero ring. Thus the zero ring is a terminal object in the category of rings. If A is a nonzero ring, then there is no ring homomorphism from the zero ring to A. In particular, the zero ring is not a subring of any nonzero ring. The zero ring is the unique ring of characteristic 1. The only module for the zero ring is the zero module. It is free of rank א for any cardinal number א. The zero ring is not a local ring. It is, however, a semilocal ring. The zero ring is Artinian and (therefore) Noetherian. The spectrum of the zero ring is the empty scheme. The Krull dimension of the zero ring is −∞. The zero ring is semisimple but not simple. The zero ring is not a central simple algebra over any field. The total quotient ring of the zero ring is itself.

Құрылыстар

Кез келген A сақинасы және A-ның I идеалы үшін, A/I коэффициенті нөлдік сақина болады, тек қана егер 1=I=A болса, яғни тек қана егер I бірлік идеал болса. Кез келген коммутативтік сақина A және A-дағы S көбейтуші жиыны үшін, S−1A локализациясы нөлдік сақина болады, тек қана егер S жиыны 0-ді қамтыса. Егер A кез келген сақина болса, онда A-ның үстінен 0 × 0 матрицалардың сақинасы M0(A) нөлдік сақина болады. Бос сақиналар жиынының тікелей көбейтіндісі нөлдік сақина болады. Тривиальды топтың эндоморфизмдер сақинасы нөлдік сақина болады. Бос топологиялық кеңістіктегі үздіксіз, нақты мәнді функциялар сақинасы нөлдік сақина болады.