Кольцо с одним элементом

Введение

Уникальное кольцо, состоящее из одного элемента

В теории колец, разделе математики, нулевое кольцо или тривиальное кольцо — это единственное кольцо (с точностью до изоморфизма), состоящее из одного элемента. (Реже термин "нулевое кольцо" используется для обозначения любого полукольца с нильпотентным элементом, то есть полукольца, в котором для всех x и y выполняется равенство 1 = xy = 0. В данной статье речь идет о кольце, состоящем из одного элемента.) В категории колец нулевое кольцо является терминальным объектом, а кольцо целых чисел Z — начальным объектом.

Определение

Нулевое кольцо, обозначаемое {0} или просто 0, состоит из множества, содержащего единственный элемент {0}, с операциями сложения (+) и умножения (·), определенными так, что 0 + 0 = 0 и 0 · 0 = 0.

Свойства

Нулевое кольцо — это уникальное кольцо, в котором совпадают аддитивная единица 0 и мультипликативная единица 1. (Доказательство: если 1 = 1 = 0 в кольце R, то для всех r из R имеем 1r = r = 1r = 0r = 0. Доказательство последнего равенства можно найти здесь.) Нулевое кольцо коммутативно. Элемент 0 в нулевом кольце является обратимым элементом, являющимся своим собственным мультипликативным обратным. Группа обратимых элементов нулевого кольца — тривиальная группа {0}. Элемент 0 в нулевом кольце не является делителем нуля. Единственный идеал в нулевом кольце — нулевой идеал {0}, который также является единичным идеалом, равным всему кольцу. Этот идеал не является ни максимальным, ни простым. Нулевое кольцо обычно исключается из рассмотрения полей, хотя иногда его называют тривиальным полем. Исключение согласуется с тем фактом, что его нулевой идеал не является максимальным. (Когда математики говорят о «поле с одним элементом», они имеют в виду несуществующий объект и намереваются определить категорию, которая была бы категорией схем над этим объектом, если бы он существовал.) Нулевое кольцо обычно исключается из рассмотрения целостных областей. То, считается ли нулевое кольцо вообще областью, является вопросом соглашения, но есть два аргумента в пользу того, чтобы не считать его областью. Во-первых, это согласуется с определением, согласно которому область — это кольцо, в котором 0 является единственным делителем нуля (в частности, требуется, чтобы 0 был делителем нуля, что не выполняется в нулевом кольце). Во-вторых, таким образом, для положительного целого числа n кольцо Z/nZ является областью тогда и только тогда, когда n является простым числом, но 1 не является простым числом. Для каждого кольца A существует единственный гомоморфизм колец из A в нулевое кольцо. Таким образом, нулевое кольцо является терминальным объектом в категории колец. Если A — ненулевое кольцо, то не существует гомоморфизма колец из нулевого кольца в A. В частности, нулевое кольцо не является подкольцом любого ненулевого кольца. Нулевое кольцо — это уникальное кольцо характеристики 1. Единственный модуль над нулевым кольцом — это нулевой модуль. Он свободен ранга א для любого кардинального числа א. Нулевое кольцо не является локальным кольцом. Однако оно является полулокальным кольцом. Нулевое кольцо является артиновым и (следовательно) нётеровым. Спектр нулевого кольца — пустая схема. Размерность Крулла нулевого кольца равна −∞. Нулевое кольцо является полупростым, но не простым. Нулевое кольцо не является центральной простой алгеброй над каким-либо полем. Полное кольцо частных нулевого кольца совпадает с ним самим.

The zero ring is the unique ring in which the additive identity 0 and multiplicative identity 1 coincide. (Proof: If 1=1 = 0 in a ring R, then for all r in R, we have 1=r = 1r = 0r = 0. The proof of the last equality is found here.) The zero ring is commutative. The element 0 in the zero ring is a unit, serving as its own multiplicative inverse. The unit group of the zero ring is the trivial group {0}. The element 0 in the zero ring is not a zero divisor. The only ideal in the zero ring is the zero ideal {0}, which is also the unit ideal, equal to the whole ring. This ideal is neither maximal nor prime. The zero ring is generally excluded from fields, while occasionally called as the trivial field. Excluding it agrees with the fact that its zero ideal is not maximal. (When mathematicians speak of the "field with one element", they are referring to a non existent object, and their intention is to define the category that would be the category of schemes over this object if it existed.) The zero ring is generally excluded from integral domains. Whether the zero ring is considered to be a domain at all is a matter of convention, but there are two advantages to considering it not to be a domain. First, this agrees with the definition that a domain is a ring in which 0 is the only zero divisor (in particular, 0 is required to be a zero divisor, which fails in the zero ring). Second, this way, for a positive integer n, the ring Z/nZ is a domain if and only if n is prime, but 1 is not prime. For each ring A, there is a unique ring homomorphism from A to the zero ring. Thus the zero ring is a terminal object in the category of rings. If A is a nonzero ring, then there is no ring homomorphism from the zero ring to A. In particular, the zero ring is not a subring of any nonzero ring. The zero ring is the unique ring of characteristic 1. The only module for the zero ring is the zero module. It is free of rank א for any cardinal number א. The zero ring is not a local ring. It is, however, a semilocal ring. The zero ring is Artinian and (therefore) Noetherian. The spectrum of the zero ring is the empty scheme. The Krull dimension of the zero ring is −∞. The zero ring is semisimple but not simple. The zero ring is not a central simple algebra over any field. The total quotient ring of the zero ring is itself.

Строительство

Для любого кольца A и идеала I в A, факторкольцо A/I является нулевым кольцом тогда и только тогда, когда 1 ∈ I = A, то есть тогда и только тогда, когда I является единичным идеалом. Для любого коммутативного кольца A и мультипликативного множества S в A, локализация S⁻¹A является нулевым кольцом тогда и только тогда, когда S содержит 0. Если A – любое кольцо, то кольцо M₀(A) матриц 0 × 0 над A является нулевым кольцом. Прямое произведение пустого семейства колец является нулевым кольцом. Кольцо эндоморфизмов тривиальной группы является нулевым кольцом. Кольцо непрерывных вещественнозначных функций на пустом топологическом пространстве является нулевым кольцом.