Феликс Хаусдорф: өмірі мен математикалық еңбектері

Кіріспе

Неміс математигі Феликс Хаусдорф (Felix Hausdorff, 8 қараша 1868 – 26 қаңтар 1942) – неміс математигі, «Пол Монгре» (Paul Mongré) псевдонімімен танымал ("à mon gré" (фр.) = "өзімнің талғамымша"), қазіргі заманғы топологияның негізін қалаушылардың бірі және жиын теориясы, сипаттамалық жиын теориясы, өлшем теориясы және функционалдық анализ салаларына маңызды үлес қосты. 1938 жылғы «Хрусталь түнінен» кейін Хаусдорф пен оның отбасы үшін жағдай қиын болды. Келесі жылы ол АҚШ-қа эмиграциялауға тырысты, бірақ зерттеу стипендиясын алуға мүмкіндік таппады. 1942 жылдың 26 қаңтарында Феликс Хаусдорф, оның әйелі және қарындасы Эндених лагеріне көшірілуге және ондағы салдарларға ұшырамас үшін, вероналдың үлкен дозасын ішіп, өз-өзіне қол жұмсады. Ол бұл жағдайдың қаншалықты ауыр болатынын жақсы білген.

Балалық шағы мен жастық шағы

Хаусдорфтың әкесі, еврей саудагері Луи Хаусдорф (1843–1896), 1870 жылдың күзінде жас отбасымен Лейпцигке көшіп келді, және уақыт өте келе зығыр және мақта тауарларын өндіретін фабриканы қоса, әртүрлі компанияларда жұмыс істеді. Ол білімді адам болғандықтан, 14 жасында Морену дәрежесіне ие болған. Ол бірнеше трактаттар жазды, соның ішінде Талмуд заңы тұрғысынан қарағанда, Киелі кітаптың арамей тіліне аудармалары туралы ұзақ еңбек жазды. Хаусдорфтың анасы, Хедвиг (1848–1902), түрлі құжаттарда Йоханна деп те аталады, еврей Тиц отбасынан шыққан. Осы отбасының тағы бір тармағынан Герман Тиц, алғашқы универмагтың негізін қалаушы, кейіннен «Герман Тиц» деп аталған универмагтар желісінің тең иесі болды. Нацистік диктатура кезінде бұл атау «арийлендіріліп», Гертие болып өзгертілді. 1878 жылдан 1887 жылға дейін Феликс Хаусдорф Лейпцигтегі Николай мектебінде оқыды, бұл мектеп гуманитарлық білім беру ошағы ретінде танымал болған. Ол өте жақсы оқушы, көп жыл бойы сынып жетекшісі болды және мектептегі мерекелерде өзі жазған латын немесе неміс тіліндегі өлеңдерін жиі оқып берді. Жоғары сыныптарда Хаусдорф үшін басты мамандықты таңдау оңай болған жоқ. 1926–1932 жылдары Хаусдорфтың үйіне жиі қонаққа келген Магда Диеркесман 1967 жылы былай деп мәлімдеді:

Оның жан-жақты музыкалық таланты соншалықты зор болды, әкесінің талабымен ғана музыканы оқып, композитор болу жоспарынан бас тарды. Ол табиғаттану ғылымдарын оқуға шешім қабылдады, және 1887 жылы бітірген сыныбында ең жоғары баға алған жалғыз студент болды.

Диплом, докторлық және хабилитация

1887 жылдан 1891 жылға дейін Хаусдорф математика мен астрономияны негізінен туған қаласы Лейпцигте оқыды, Фрайбургте (1888 жылдың жазы) және Берлинде (1888/1889 жылдардың қысы) бір семестрлік үзіліс жасады. Басқа студенттердің куәліктері оны өте жан-жақты және қызығушылық танытқан жас жігіт ретінде сипаттайды, ол математикалық және астрономиялық лекциялардан басқа физика, химия және география бойынша лекцияларға, сондай-ақ философия және философия тарихы, тіл, әдебиет және әлеуметтік ғылымдар мәселелері бойынша лекцияларға қатысты. Лейпцигте ол музыка тарихын зерттеуші музыколог Оскар Паульдің лекциясына қатысты. Оның музыкаға деген ертедегі құмарлығы өмір бойы сақталды; Хаусдорфтың үйінде, куәгерлердің айтуынша, үй иесімен бірге фортепианода тамаша музыка кештері өткізді. Лейпцигте оқыған кезінен бастап, ол Рихард Вагнердің музыкасына әуеленді және оны жақсы білді. Оқуының кейінгі семестрлерінде Хаусдорф Генрих Брунсқа (1848–1919) жақын болды. Брунс Лейпциг университетінде астрономия профессоры және обсерватория директоры болды. Оның жетекшілігімен Хаусдорф 1891 жылы атмосферадағы жарықтың астрономиялық дифракциясы теориясы бойынша жұмысын аяқтап, диплом алды. Осы тақырыпта екі жарияланым жарық көрді, ал 1895 жылы атмосферадағы жарық сіңіруі туралы диссертациясымен Хабильтациясын қорғады. Хаусдорфтың бұл ертедегі астрономиялық еңбектері, тамаша математикалық тұжырымдамасына қарамастан, ғылыми қауым үшін аса маңызды болған жоқ. Біріншіден, Брунстың негізгі идеясы кейіннен жүзеге аспайтыны дәлелденді (астрономиялық горизонтқа жақын дифракциялық байқаулар қажет болды, және Джулиус Баушингер көрсеткендей, оларды қажетті дәлдікпен алу мүмкін болмады). Екіншіден, атмосфералық деректерді тікелей өлшеудегі прогресс (ауа шарынан көтерілу арқылы) осы деректердің дифракциялық байқаулардан алынған мұқият дәлдігін қажетсіз етті. Докторлық диссертациясын қорғағаннан кейін Хаусдорф бір жылдық әскери міндетін өтеді, содан кейін Лейпциг обсерваториясында екі жыл есептеуші болып жұмыс істеді.

From 1887 to 1891 Hausdorff studied mathematics and astronomy, mainly in his native city of Leipzig, interrupted by one semester in Freiburg (summer 1888) and Berlin (winter 1888/1889). Surviving testimony from other students depict him as an extremely versatile and interested young man, who, in addition to the mathematical and astronomical lectures, attended lectures in physics, chemistry and geography, and also lectures on philosophy and history of philosophy, as well as on issues of language, literature and social sciences. In Leipzig he attended lectures on the history of music from musicologist Oscar Paul. His early love of music lasted a lifetime; in Hausdorff's home he held impressive musical evenings with the landlord at the piano, according to witness statements made by various participants. Even as a student in Leipzig, he was an admirer and connoisseur of the music of Richard Wagner. In later semesters of his studies, Hausdorff was close to Heinrich Bruns (1848–1919). Bruns was professor of astronomy and director of the observatory at the University of Leipzig. Under his supervision, Hausdorff graduated in 1891 with a work on the theory of astronomical refraction of light in the atmosphere. Two publications on the same subject followed, and in 1895 his Habilitation also followed with a thesis on the absorbance of light in the atmosphere. These early astronomical works of Hausdorff, despite their excellent mathematical formulation, were ultimately of little importance to the scientific community. For one, the underlying idea of Bruns was later shown to not be viable (there was a need for refraction observations near the astronomical horizon, and as Julius Bauschinger would show, this could not be obtained with the required accuracy). And further, the progress in the direct measurement of atmospheric data (from weather balloon ascents) has since made the painstaking accuracy of this data from refraction observations unnecessary. In the time between defending his PhD and his Habilitation, Hausdorff completed his yearlong military requirement, and worked for two years as a human computer at the observatory in Leipzig.

Лейпцигтегі оқытушы

Хаусдорф өзінің абилитациясын қорғағаннан кейін Лейпциг университетінде лекция оқыды, онда ол математиканың түрлі салаларында кең ауқымды оқытумен айналысты. Математикадағы оқыту және зерттеулермен қатар, ол әдебиет және философияға деген құштарлығын да қанағаттандырды. Көптеген әртүрлі қызығушылықтары бар ол, Герман Конради, Рихард Демель, Отто Эрих Хартлебен, Густав Кирштейн, Макс Клингер, Макс Регер және Франк Ведекинд сияқты танымал жазушылармен, суретшілермен және баспагерлермен байланыс жасады. 1897-1904 жылдар оның әдеби және философиялық шығармашылығының шарықталу шегі болды, осы кезеңде оның 22 псевдоним астындағы еңбектерінің 18-і жарияланды, оның ішінде өлеңдер жинағы, пьеса, таным теориясы бойынша кітап және афоризмдер жинағы бар. 1899 жылы Хаусдорф еврей дәрігері Зигисмунд Голдшмидттың қызы Шарлотта Голдшмидтқа үйленді. Оның анасы – белгілі суфражист және балабақша тәрбиешісі Генриетте Голдшмидт. Хаусдорфтың жалғыз баласы, қызы Ленора (Нора) 1900 жылы дүниеге келді; ол нацистік Германия дәуірінен аман қалды және ұзақ өмір сүрді, 1991 жылы Бонн қаласында қайтыс болды.

Бірінші профессорлық қызмет

1901 жылдың желтоқсанында Хаусдорф Лейпциг университетінің адъюнкт-доценті болып тағайындалды. Геттингеннен Хаусдорфқа шақыру келгені және оның оны қабылдамағаны туралы жиі айтылатын мәлімдеме расталмады және көбінесе жалған болып көрінеді. Хаусдорфтың Лейпцигке берген өтінімін қарастырғаннан кейін, декан Кирхнер әріптестерінің өте жағымды пікіріне Генрих Брунстың қосымшасын енгізуге мәжбүр болды:

Факультет өзін Корольдік министрлікке хабарлауға міндетті деп санайды, осы жылдың 2 қарашасында өткен факультет отырысында қарастырылған жоғарыдағы өтініш барлық мүшелердің қолдауына ие болған жоқ, 22 дауысқа қарсы 7 дауыс берілді. Азшылық доктор Хаусдорфтың Мұса дінін ұстанатынына қарсы болды. Бұл цитата ашық антисемитизмді көрсетеді, ол 1873 жылғы қор нарығының құлдырауынан кейін Германия империясы бойынша күрт өсті. Лейпциг, әсіресе студенттер арасында антисемиттік көзқарастардың ортасы болды, бұл Хаусдорфтың Лейпцигте өзін жайлы сезінбеуіне себеп болуы мүмкін. Сондай-ақ, Лейпциг профессорларының статустық жағдайына байланысты туындаған стресс те әсер еткен болуы мүмкін. Habilitation-нен кейін Хаусдорф оптика, Евклидтік емес геометрия және гиперкомплекстік сандар жүйелері туралы, сондай-ақ ықтималдық теориясы бойынша екі мақала жазды. Бірақ оның негізгі жұмысы көп ұзамай жинақтар теориясына, әсіресе реттелген жинақтар теориясына ауысты. Хаусдорф бастапқыда 1897 жылдан бастап Георг Кантордың еңбектерін философиялық қызығушылықтан зерттей бастады, бірақ 1901 жылы жинақтар теориясы бойынша дәріс оқуға кірісті. Оның жинақтар теориясы бойынша оқыған алғашқы дәрістерінің бірі болды; тек Эрнст Зермелоның 1900/1901 жылғы қысқы семестрде Геттинген колледжінде оқыған дәрістері бұрын болған. Сол жылы ол реттік типтер туралы алғашқы мақаласын жариялады, онда ол жақсы реттелген жинақтардың жалпылама түрін, яғни сыныпталған реттік типтерді зерттеді, мұнда сызықтық реттелудің екі сегментінің реттік типі бірдей болмайды. Ол Кантор-Бернштейн теоремасын жалпылады, онда саналатын реттік типтер жиыны континуумның кардиналдығына ие екенін көрсетті және теңдес потенциялық кардиналдығы бар барлық сыныпталған типтер жиынының кардиналдығы 2 екенін дәлелдеді. 1910 жылдың жазғы семестрінде Хаусдорф Бонн университетінің профессоры болып тағайындалды. Ол жинақтар теориясы бойынша лекциялық курс ашты, оны 1912 жылдың жазғы семестрінде маңызды түрде қайта қарады және кеңейтті. 1912 жылдың жазында ол өзінің ең маңызды еңбегі – «Жинақтар теориясының негіздері» кітабын жазуға кірісті. Ол 1913 жылы Грайфсвальдта, онда Хаусдорф жазғы семестрде профессор болып тағайындалған, аяқталды және 1914 жылдың сәуірінде жарық көрді. Грайфсвальд университеті Пруссия университеттерінің ең кішісі болды. Математика институты да шағын болды; 1916 жылдың жазы мен 1916/17 жылдың қысында Хаусдорф Грайфсвальдтағы жалғыз математик болды. Бұл оның негізгі курстарды оқытумен толыққанды айналысуын білдірді. Сондықтан 1921 жылы Хаусдорфтың Боннға тағайындалуы оның академиялық мансабы үшін маңызды жақсарту болды. Ол онда кең ауқымдағы тақырыптарды оқытуға және көбінесе соңғы зерттеулері туралы дәріс беруге мүмкіндік алды. Ол 1923 жылдың жазғы семестрінде ықтималдық теориясы бойынша ерекше дәріс берді (NL Hausdorff: Capsule 21: Fasz 64), онда ол ықтималдық теориясын өлшемдік аксиоматикалық теорияға негіздеді, А.Н. Колмогоровтың «Ықтималдық теориясының негізгі тұжырымдары» (жинақталған еңбектерде, V томда жарияланған) еңбегінен он жыл бұрын. Боннда Хаусдорф Эдуард Студимен, кейін Отто Топлицпен достық және әріптестік қарым-қатынаста болды, екеуі де көрнекті математиктер болды.

The faculty, however, considers itself obliged to report to the Royal Ministry that the above application, considered on November 2nd of this year when a faculty meeting had taken place, was not accepted by all, but with 22 votes to 7. The minority was opposed, because Dr. Hausdorff is of the Mosaic faith. This quote emphasizes the undisguised antisemitism present, which especially took a sharp upturn throughout the German Reich after the stock market crash of 1873. Leipzig was a focus of antisemitic sentiment, especially among the student body, which may well be the reason that Hausdorff did not feel at ease in Leipzig. Another contributing factor may also have been the stresses due to the hierarchical posturing of the Leipzig professors. After his Habilitation, Hausdorff wrote other works on optics, on non Euclidean geometry, and on hypercomplex number systems, as well as two papers on probability theory. However, his main area of work soon became set theory, especially the theory of ordered sets. Initially, it was only out of philosophical interest that Hausdorff began to study Georg Cantor's work, beginning around 1897, but already in 1901 Hausdorff began lecturing on set theory. His was one of the first ever lectures on set theory; only Ernst Zermelo's lectures in Göttingen College during the winter of 1900/1901 were earlier. That same year, he published his first paper on order types in which he examined a generalization of well orderings called graded order types, where a linear order is graded if no two of its segments share the same order type. He generalized the Cantor–Bernstein theorem, which said the collection of countable order types has the cardinality of the continuum and showed that the collection of all graded types of an idempotent cardinality has a cardinality of 2. For the summer semester of 1910 Hausdorff was appointed as professor to the University of Bonn. There he began a lecture series on set theory, which he substantially revised and expanded for the summer semester of 1912. In the summer of 1912 he also began work on his magnum opus, the book Basics of set theory. It was completed in Greifswald, where Hausdorff had been appointed for the summer semester as full professor in 1913, and was released in April 1914. The University of Greifswald was the smallest of the Prussian universities. The mathematical institute there was also small; during the summer of 1916 and the winter of 1916/17, Hausdorff was the only mathematician in Greifswald. This meant that he was almost fully occupied in teaching basic courses. It was thus a substantial improvement for his academic career when Hausdorff was appointed in 1921 to Bonn. There he was free to teach about wider ranges of topics, and often lectured on his latest research. He gave a particularly noteworthy lecture on probability theory (NL Hausdorff: Capsule 21: Fasz 64) in the summer semester of 1923, in which he grounded the theory of probability in measure theoretic axiomatic theory, ten years before A. N. Kolmogorov's "Basic concepts of probability theory" (reprinted in full in the collected works, Volume V). In Bonn, Hausdorff was friends and colleagues with Eduard Study, and later with Otto Toeplitz, who were both
outstanding mathematicians.

"Магнум Опус": "Көпшілік теориясының қағидалары"

Бұрынғы түсініктерге сәйкес, жинақтар теориясы жалпы жинақтар теориясымен қатар, нүктелер жинақтарының теориясын және өлшемдер теориясын да қамтыды. Хаусдорфтың оқулығы жинақтар теориясының барлық аспектілерін осы кең мағынада жүйелі түрде және толық дәлелдермен ұсынған алғашқы еңбек болды. Хаусдорф адам санасының қателік жасауға бейім екенін, сонымен қатар қаталдық пен шындық іздеуге ұмтылатынын білгендіктен, өзінің кітабының алғы сөзінде: «адамның қателік жасау мүмкіндігін барынша тиімді пайдалануға тырысамын» деп уәде берді. Бұл кітап бұған дейін белгілі тұжырымдамаларды шеберлікпен бейнелеуден әлдеқайда асып түсті. Онда автордың бірқатар маңызды жаңа үлестері де бар. Кітаптың алғашқы тараулары жалпы жинақтар теориясының негізгі ұғымдарын қарастырады. Хаусдорф бастапқыда жинақ алгебрасын, соның ішінде жаңа ұғымдарды (айырмалар тізбегі, жинақ сақиналары мен жинақ өрістері, жүйелер) толыққанды түрде ұсынады. Жинақтар мен олардың арақатынастары туралы кіріспе бөлімдерде, мысалы, функциялардың қазіргі заманғы жинақтар теориялық анықтамасы келтірілген. 3-тен 5-ке дейінгі тарауларда кардинал сандардың классикалық теориясы, реттік типтері мен реттік сандар талқыланды. Ал 6-шы тарауда «Реттелген және жақсы реттелген жинақтар арасындағы қатынастар» Хаусдорф реттелген жинақтар бойынша өзінің зерттеулерінің ең маңызды нәтижелерін ұсынады. «Нүктелік жинақтар» тарауларында – топологиялық тарауларда – Хаусдорф белгілі көршілік аксиомаларына негізделген топологиялық кеңістіктердің жүйелі теориясын алғаш рет дамытты, сонымен қатар кейіннен оның атымен аталатын бөліну аксиомасын қосты. Бұл теория басқа математиктердің бұрынғы тәсілдерінің және кеңістік мәселесіне қатысты Хаусдорфтың жеке ойларының кешенді синтезінен туындады. Классикалық нүктелік жинақтар теориясының ұғымдары мен теоремалары мүмкіндігінше жалпы жағдайға көшіріледі, осылайша жаңадан құрылған жалпы немесе жинақтар теориялық топологияның құрамдас бөлігіне айналады. Бірақ Хаусдорф тек осы «аударма жұмысын» ғана емес, сонымен қатар топологияның негізгі құрылыс әдістерін, мысалы, өзекті құру (ашық өзекті, өзіне тығыз өзекті) және қабық құру (жабылу) сияқты негіздерді дамытты. Ол ашық жиынтық (оның «аумақ» деп атауы) және Фреше енгізген компакттылық ұғымының маңыздылығын ашты. Ол сондай-ақ байланысты жинақтар теориясын құрды және дамытты, әсіресе «компонент» және «квази-компонент» терминдерін енгізу арқылы. Бірінші Хаусдорфтың санау аксиомасы және кейіннен екіншісі қарастырылып отырған кеңістіктерді одан әрі мамандандырды. Саналатын бірінші аксиоманы қанағаттандыратын кеңістіктердің үлкен класы – метрикалық кеңістіктер. Оларды 1906 жылы Фреше «кластар (Е)» деп атап енгізді. «Метрикалық кеңістік» термині Хаусдорфқа тиесілі. «Принциптерде» ол метрикалық кеңістіктер теориясын дамытып, оны жаңа ұғымдар сериясы арқылы жүйелі түрде байытты: Хаусдорф метрикасы, толықтық, жалпы шектелу, байланыс, азайтылатын жинақтар. Фрешеттің жұмысы аса танымал емес; тек Хаусдорфтың «Принциптері» арқылы ғана метрикалық кеңістіктер математиктерге кеңінен белгілі болды. Мысалдар туралы тарау және «Принциптердің» өлшем және интеграция теориясы туралы соңғы тарауы материалдың жалпылығымен және тұсаукесердің түпнұсқалығымен байытылған. Хаусдорфтың ықтималдық теориясы үшін өлшемдердің маңыздылығы туралы айтуы, оның қысқалығына қарамастан, үлкен тарихи әсер етті. Осы тарауда Эмиль Борельдің үлкен сандар заңының алғашқы дұрыс дәлелі табылды. Соңында, қосымшада кітаптың ең керемет нәтижесі бар, атап айтқанда Хаусдорф теоремасы, ол барлық шектелген ішкі жинақтар үшін көлемді анықтау мүмкін емес екенін көрсетеді. Дәлелдеу Хаусдорфтың парадоксалды шарлардың ыдырауына негізделген, оның құруы таңдау аксиомасын қажет етеді. 20 ғасырда математикалық теорияларды аксиомалық жинақтар теориясына негіздеу қалыпты жағдайға айналды. Жалпы топология сияқты аксиоматикалық негізделген жалпыланған теорияларды құру, әртүрлі нақты жағдайлар немесе аймақтар үшін ортақ құрылымдық өзекті бөліп көрсетуге және содан кейін осы бөліктердің барлығын арнайы жағдайлар ретінде қамтитын абстрактілік теорияны құруға көмектесті. Бұл жеңілдету мен үйлестіру арқылы үлкен жетістікке әкелді және соңында ойдың экономиясын қамтамасыз етті. Хаусдорф өзі бұл жақты «Принциптерде» атап көрсетті. Топологиялық тарауда негізгі ұғымдар әдістемелік тұрғыдан жаңашылдық тудырды және қазіргі математиканың дамуына жол ашты. Жинақтар теориясының «Принциптері» 1914 жылдың сәуір айында, Бірінші дүниежүзілік соғыстың алдында жарық көрді, ол Еуропадағы ғылыми өмірге зор әсер етті. Осы жағдайларда Хаусдорфтың кітабының математикалық ойға тигізген әсері оның жарық көргеніне бес-алты жылдан кейін ғана байқалды. Соғыстан кейін жас зерттеушілердің жаңа буыны осы еңбекте қамтылған көптеген ұсыныстарды кеңейтуге кірісті. Әрине, топология назардың басты ортасы болды. 1920 жылы Польшада құрылған «Fundamenta Mathematicae» журналы Хаусдорфтың идеяларын қабылдауда ерекше рөл атқарды. Бұл жинақтар теориясы, топология, нақты функциялар теориясы, өлшем және интеграция теориясы, функционалдық анализ, логика және математиканың негіздеріне ерекше назар аударатын алғашқы математикалық журналдардың бірі болды. Бұл спектрде топологияға ерекше мән берілді. Хаусдорфтың «Принциптері» «Fundamenta Mathematicae» журналының алғашқы томында сілтеме жасалды және сілтемелерді санау арқылы оның әсері таңғажайып қарқынмен жалғасты. 1920 жылдан 1933 жылға дейінгі «Fundamenta Mathematicae» журналының алғашқы жиырма томында жарияланған 558 еңбектердің (Хаусдорфтың өзінің үш еңбегі есепке алынбағанда) 88-і «Принциптерге» сілтеме жасайды. Хаусдорфтың идеялары кеңінен таралғандықтан, олар тікелей сілтеме жасамаған көптеген еңбектерде де қолданылғанын ескеру қажет. Поль Алексandroff және Пол Урысон құрған ресейлік топологиялық мектебі Хаусдорфтың «Принциптеріне» көп сүйенді. Бұл Хаусдорфтың мұрағатындағы Урысонмен, әсіресе Алексandroff және Урысонның «Канторлық көптіктер туралы естелік» деген кітабына ұқсас көлемдегі еңбегінде көрсетілген, онда Урысон өлшемдер теориясын дамытқан және «Принциптерге» кемінде 60 рет сілтеме жасайды. Екінші дүниежүзілік соғыстан кейін Хаусдорфтың кітабына үлкен сұраныс болды және 1949, 1965 және 1978 жылдары Chelsea баспасында үш рет қайта басылды.

According to previous notions, set theory included not only the general set theory and the theory of sets of points, but also dimension and measure theory. Hausdorff's textbook was the first to present all of set theory in this broad sense, systematically and with full proofs. Hausdorff was aware of how easily the human mind can err while also seeking for rigor and truth, so in the preface of his work he promises:

to be as economical as possible with the human privilege of error. This book went far beyond its masterful portrayal of already known concepts. It also contained a series of important original contributions by the author. The first few chapters deal with the basic concepts of general set theory. In the beginning Hausdorff provides a detailed set algebra with some pioneering new concepts (differences chain, set rings and set fields, and systems). The introductory paragraphs on sets and their connections included, for example, the modern set theoretic notion of functions. Chapters 3 to 5 discussed the classical theory of cardinal numbers, order types and ordinals, and in the sixth chapter "Relations between ordered and well ordered sets" Hausdorff presents, among other things, the most important results of his own research on ordered sets. In the chapters on "point sets"—the topological chapters—Hausdorff developed for the first time, based on the known neighborhood axioms, a systematic theory of topological spaces, where in addition he added the separation axiom later named after him. This theory emerges from a comprehensive synthesis of earlier approaches of other mathematicians and Hausdorff's own reflections on the problem of space. The concepts and theorems of classical point set theory are—as far as possible—transferred to the general case, and thus become part of the newly created general or set theoretic topology. But Hausdorff not only performed this "translation work", but he also developed basic construction methods of topology such as core formation (open core, self dense core) and shell formation (closure), and he works through the fundamental importance of the concept of an open set (called "area" by him) and of the concept of compactness introduced by Fréchet. He also founded and developed the theory of the connected set, particularly through the introduction of the terms "component" and "quasi component". With the first Hausdorff countability axiom, and eventually the second, the considered spaces were gradually further specialized. A large class of spaces satisfying the countable first axiom are metric spaces. They were introduced in 1906 by Fréchet under the name "classes (E)". The term "metric space" comes from Hausdorff. In Principles, he developed the theory of metric spaces and systematically enriched it through a series of new concepts: Hausdorff metric, complete, total boundedness, connectivity, reducible sets. Fréchet's work is not particularly famous; only through Hausdorff's Principles did metric spaces become common knowledge to mathematicians. The chapter on illustrations and the final chapter of Principles on measure and integration theory are enriched by the generality of the material and the originality of presentation. Hausdorff's mention of the importance of measure theory for probability had great historical effect, despite its laconic brevity. One finds in this chapter the first correct proof of the strong law of large numbers of Émile Borel. Finally, the appendix contains the single most spectacular result of the whole book, namely Hausdorff's theorem that one cannot define a volume for all bounded subsets of for The proof is based on Hausdorff's paradoxical ball decomposition, whose production requires the axiom of choice. During the 20th century, it became the standard to build mathematical theories on axiomatic set theory. The creation of axiomatically founded generalized theories, such as general topology, served among other things to single out the common structural core for various specific cases or regions and then set up an abstract theory, which contained all these parts as special cases. This brought a great success in the form of simplification and harmonization, and ultimately brought with itself an economy of thought. Hausdorff himself highlighted this aspect in the Principles. In the topological chapter, the basic concepts are methodologically a pioneering effort, and they paved the way for the development of modern mathematics. Principles of set theory appeared in April 1914, on the eve of the First World War, which dramatically affected scientific life in Europe. Under these circumstances, the effects Hausdorff's book on mathematical thought would not be seen for five to six years after its appearance. After the war, a new generation of young researchers set forth to expand on the abundant suggestions that were included in this work. Undoubtedly, topology was the primary focus of attention. The journal Fundamenta Mathematicae, founded in Poland in 1920, played a special role in the reception of Hausdorff's ideas. It was one of the first mathematical journals with special emphasis on set theory, topology, the theory of real functions, measure and integration theory, functional analysis, logic, and foundations of mathematics. Across this spectrum, a special focus was placed on topology. Hausdorff's Principles was cited in the very first volume of Fundamenta Mathematicae, and through citation counting its influence continued at a remarkable rate. Of the 558 works (Hausdorff's own three works not included), which appeared in the first twenty volumes of Fundamenta Mathematicae from 1920 to 1933, 88 of them cite Principles. One must also take into account the fact that, as Hausdorff's ideas became increasingly commonplace, so too were they used in a number of works that did not cite them explicitly. The Russian topological school, founded by Paul Alexandroff and Paul Urysohn, was based heavily on Hausdorff's Principles. This is shown by the surviving correspondence in Hausdorff's Nachlass with Urysohn, and especially Alexandroff and Urysohn's Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes, a work the size of a book, in which Urysohn developed dimension theory and Principles is cited no fewer than 60 times. After the Second World War there was a strong demand for Hausdorff's book, and there were three reprints at Chelsea from 1949, 1965 and 1978.

Сипаттамалық жиынтық теориясы, өлшем теориясы және талдау

1916 жылы Александров пен Хаусдорф Борел жиынтықтарының континуум мәселесін тәуелсіз түрде шешті: толық бөлінетін метрикалық кеңістіктегі әрбір Борел жиынтығы санаулы немесе континуумның кардиналдығына тең болады. Бұл нәтиже Кантор-Бендикссон теоремасын жалпылайды. Сызықтық жиынтықтар үшін Уильям Генри Янг 1903 жылы осы нәтижені дәлелдеген, ал Хаусдорф 1914 жылы «Принциптер» еңбегінде сәйкес нәтиже алған. Александров пен Хаусдорфтың теоремасы сипаттамалық жиын теориясының одан әрі дамуына күшті серпіліс берді. Хаусдорфтың Грайфсвальдтағы жұмысының ішінде 1919 жылғы «Dimension and outer measure» еңбегі ерекше көзге түседі. Осы еңбекте қазір Хаусдорф өлшемі және Хаусдорф өлшемі деп аталатын ұғымдар енгізілді. Бұл мәселе өте өзекті болып қала берді және кейінгі жылдары 1910-1920 жылдар аралығында ең көп сілтеме жасалған математикалық еңбектердің біріне айналды. Хаусдорф өлшемінің ұғымы «өте кедір-бұдыр шамаларды» сипаттау және салыстыру үшін пайдалы. Өлшем және сыртқы өлшем ұғымдары динамикалық жүйелер теориясы, геометриялық өлшем теориясы, өзіне ұқсас жиынтықтар мен фракталдар теориясы, стохастикалық процестер теориясы, гармоникалық талдау, потенциал теориясы және сан теориясы сияқты көптеген салаларда қолданыс тауып, одан әрі дамыды. Хаусдорфтың маңызды талдамалық жұмысы Бонндағы екінші рет жұмыс істеген кезінде жасалды. 1921 жылы «Жығымдылық әдістер мен моменттік тізбектер» I еңбегінде ол дивергентті қатарлар үшін жиынтық әдістердің толық класын жасады, олар бүгін Хаусдорф әдістері деп аталады. Хардидің классикалық «Дивергентті қатарлар» еңбегінде Хаусдорф әдісіне арналған бөлім бар. Хольдер мен Чезароның классикалық әдістері Хаусдорф әдісінің ерекше жағдайлары болып шықты. Әрбір Хаусдорф әдісі моменттік тізбекпен беріледі; осы контексте Хаусдорф шекті аралық үшін моменттік мәселенің элегантты шешімін берді, жалғасқан бөлшектердің теориясын айналып өтті. 1923 жылы «Тек шекті аралықтағы моменттік мәселелер» еңбегінде ол тығыздықты қалыптастыру үшін белгілі бір шектеулері бар, мысалы, моменттік мәселелердің шешілу және анықталу критерийлері сияқты ерекше моменттік мәселелерді қарастырды. Моменттік мәселелердің шешілу және анықталу критерийлері Хаусдорфты көп жылдар бойы мазалады, оның қолжазбаларындағы жүзден астам беттік қолмен жазылған жазбалар осыны куәландырады. 1920 жылдары функционалдық талдаудың жаңа саласына жасаған маңызды үлесі – Хаусдорфтың 1923 жылғы «Фурье тізбектері туралы Парсеваль теоремасының кеңейтілуі» еңбегінде Риес-Фишер теоремасын кеңістікке кеңейтуі болды. Ол өзінің және В.Х. Янгтың есімімен аталатын теңсіздіктерді дәлелдеді. Хаусдорф-Янг теңсіздіктері жаңа дамулардың бастау нүктесі болды. Хаусдорфтың «Көпшілік теориясы» атты кітабы 1927 жылы жарық көрді. Бұл «Принциптердің» екінші басылымы деп жарияланды, бірақ шын мәнінде мүлдем жаңа кітап болды. Гошеннің оқу кітапханасында пайда болғандықтан масштаб айтарлықтай қысқартылғандықтан, реттелген жиынтықтар мен өлшемдер теориясының және интеграция теориясының үлкен бөліктері алынып тасталды. Оның алғы сөзінде Хаусдорф былай деп жазады: «Бәлкім, осы өшірулерден гөрі оқырман нүктелі жиынтық теориясында кеңістікті үнемдеу үшін, мен бірінші басылымның көптеген достарына ие болған топологиялық көзқарасты тастап, метрикалық кеңістіктердің қарапайым теориясына назар аударғанға өкінетін шығар». Бұл кейбір сыншылардың өкініші болды. Компенсация ретінде Хаусдорф алғаш рет сипаттамалық жиын теориясының қазіргі жағдайын көрсетті. Бұл факт кітапты «Принциптер» сияқты, әсіресе Fundamenta Mathematicae журналында қатты қабылдауға кепілдік берді. Оқулық ретінде ол өте танымал болды. 1935 жылы кеңейтілген басылым жарық көрді, ал оны 1944 жылы Dover баспасы қайта басып шығарды. 1957 жылы ағылшын тіліндегі аудармасы 1962 және 1967 жылдары қайта басылып шықты. Сондай-ақ орыс тілінде басылым да болды (1937), бірақ ол тек ішінара адал аударма, ал ішінара Александров пен Колмогоровтың қайта өңдеуі. Бұл аудармада топологиялық көзқарас қайтадан алдыңғы орынға шықты. 1928 жылы Ханс Хан жинақ теориясының шолуын жазды, ол, бәлкім, неміс антисемитизмінің қаупін ойда ұстаған шығар, өйткені ол өзінің талқылауын келесі сөйлеммен аяқтады: Қиын және тікенді аймақтың барлық жағынан үлгілі суреті, бүкіл әлемде неміс ғылымының атағын көтергендермен тең жұмыс, және барлық неміс математиктері мақтана алады.

In 1916, Alexandroff and Hausdorff independently solved the continuum problem for Borel sets: Every Borel set in a complete separable metric space is either countable or has the cardinality of the continuum. This result generalizes the Cantor–Bendixson theorem that such a statement holds for the closed sets of For linear sets William Henry Young had proved the result in 1903, for sets Hausdorff obtained a corresponding result in 1914 in Principles. The theorem of Alexandroff and Hausdorff was a strong impetus for further development of descriptive set theory. Among the publications of Hausdorff in his time at Greifswald the work Dimension and outer measure from 1919 is particularly outstanding. In this work, the concepts were introduced which are now known as Hausdorff measure and the Hausdorff dimension. It has remained highly topical and in later years has been one of the most cited mathematical works from the decade of 1910 to 1920. The concept of Hausdorff dimension is useful for the characterization and comparison of "highly rugged quantities". The concepts of Dimension and outer measure have experienced applications and further developments in many areas such as in the theory of dynamical systems, geometric measure theory, the theory of self similar sets and fractals, the theory of stochastic processes, harmonic analysis, potential theory, and number theory. Significant analytical work of Hausdorff occurred in his second time at Bonn. In Summation methods and moment sequences I in 1921, he developed a whole class of summation methods for divergent series, which today are called Hausdorff methods. In Hardy's classic Divergent Series, an entire chapter is devoted to the Hausdorff method. The classical methods of Hölder and Cesàro proved to be special cases of the Hausdorff method. Every Hausdorff method is given by a moment sequence; in this context Hausdorff gave an elegant solution of the moment problem for a finite interval, bypassing the theory of continued fractions. In his paper Moment problems for a finite interval of 1923 he treated more special moment problems, such as those with certain restrictions for generating density , for instance Criteria for solvability and decidability of moment problems occupied Hausdorff for many years, as hundreds of pages of handwritten notes in his Nachlass attest. A significant contribution to the emerging field of functional analysis in the 1920s was Hausdorff's extension of the Riesz Fischer theorem to spaces in his 1923 work An extension of Parseval's theorem on Fourier series. He proved the inequalities now named after him and W. H. Young. The Hausdorff–Young inequalities became the starting point of major new developments. Hausdorff's book Set Theory appeared in 1927. This was declared as a second Edition of Principles, but it was actually a completely new book. Since the scale was significantly reduced due to its appearance in Goschen's teaching library, large parts of the theory of ordered sets and measures and integration theory were removed. In its preface, Hausdorff writes, "Perhaps even more than these deletions the reader will regret the most that, to further save space in point set theory, I have abandoned the topological point of view through which the first edition has apparently acquired many friends, and focused on the simpler theory of metric spaces". In fact, this was an explicit regret of some reviewers of the work. As a kind of compensation Hausdorff showed for the first time the then current state of descriptive set theory. This fact assured the book almost as intense a reception as Principles, especially in Fundamenta Mathematicae. As a textbook it was very popular. In 1935 there was an expanded edition published, and this was reprinted by Dover in 1944. An English translation appeared in 1957 with reprints in 1962 and 1967. There was also a Russian edition (1937), although it was only partially a faithful translation, and partly a reworking by Alexandroff and Kolmogorov. In this translation the topological point of view again moved to the forefront. In 1928 a review of Set Theory was written by Hans Hahn, who perhaps had the danger of German antisemitism in his mind as he closed his discussion with the following sentence:

An exemplary depiction in every respect of a difficult and thorny area, a work on par with those which have carried the fame of German science throughout the world, and such that all German mathematicians may be proud of.

Соңғы шығармалары

1938 жылы Хаусдорфтың соңғы жұмысы «Үздіксіз бейнені кеңейту» метрикалық кеңістіктің жабық ішкі жиынынан үздіксіз функцияны барлық кеңістікке кеңейтуге болатынын көрсетті (бейнесі кеңейтілуі қажет болуы мүмкін). Арнайы жағдай ретінде, кез келген гомеоморфизмді гомеоморфизмге дейін кеңейтуге болады. Бұл жұмыс бұрынғы жылдардағы зерттеулерді жалғастырды. 1919 жылы «Жартылай үздіксіз функциялар және олардың жалпыламалары туралы» еңбегінде Хаусдорф, басқа нәрселермен қатар, Тицзе кеңейту теоремасының тағы бір дәлелін келтірді. 1930 жылы «Гомеоморфизмді кеңейту» деген мақаласында ол келесіні көрсетті: Метрикалық кеңістік болсын, ал – жабық ішкі жиын. Егер топологияны өзгертпей жаңа метрика берілсе, онда бұл метриканы топологияны өзгертпей бүкіл кеңістікке кеңейтуге болады. 1935 жылы «Градиенттік кеңістіктер» атты жұмысы жарық көрді, онда Хаусдорф Куратовскийдің жабылу аксиомаларын идемпотенция аксиомасына дейін қанағаттандыратын кеңістіктерді талқылады. Бұл кеңістіктер көбінесе жабылу кеңістіктері деп аталады, ал Хаусдорф оларды Фреше лиміт кеңістіктері мен топологиялық кеңістіктер арасындағы байланыстарды зерттеу үшін пайдаланды.

Пол Монгре рөлін сомдады

Тек мәтінде жарияланған эсселердің таңдамалы бөлігі ғана көрсетілген. Сант-Иларио. «Заратустра пейзажынан ойлар». Verlag C. G. Naumann, Лейпциг, 1897 жыл. «Космостық таңдау арқылы туындаған хаос» — Танымдық сын тәжірибесі. Verlag C. G. Naumann, Лейпциг, 1898; Макс Бензедің алғы сөзімен қайта басылды: Баден-Баден: Agis Verlag, 1976, «Жаппай бақыт және жеке бақыт». Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 9 (1), (1898), 64–75-беттер. «Таза емес ғасыр». Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 9 (5), (1898), 443–452-беттер. «Экстаз». Өлеңдер жинағы. Verlag H. Seemann Nachf., Лейпциг, 1900 жыл. «Билікке ұмтылу». Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 13 (12), (1902), 1334–1338-беттер. Макс Клингер. «Бетховен». Zeitschrift für bildende Kunst, Neue Folge 13 (1902), 183–189-беттер. «Тілдік сын». Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 14 (12), (1903), 1233–1258-беттер. «Өзінің ар-ұятының дәрігері», «Гротеск». Die neue Rundschau (Freie Bühne) 15 (8), (1904), 989–1013-беттер. Жаңа басылым: «Der Arzt seiner Ehre». «Бір актілік комедия, эпилогпен». Уолтер Тиманның суреттері бойынша Ханс Александр Мюллер салған 7 портрет және ағаш кескінімен, 10 бет, 71 бет. Лейпцигтегі кітап сүйер қауым кештері, Лейпциг, 1910 жылғы бесінші басылым. Жаңа басылым: С. Фишер, Берлин, 1912 жыл, 88 бет.

Феликс Хаусдорф рөлін сомдады

Ықтималдық есептеуге үлестер. Лейпцигтегі Корольдік Саксон ғылымдар қоғамының еңбектері. Математикалық-физикалық сынып 53 (1901), 152–178 беттер. Реттелген жиындардың белгілі бір түрі туралы. Лейпцигтегі Корольдік Саксон ғылымдар қоғамының еңбектері. Математикалық-физикалық сынып 53 (1901), 460–475 беттер. Кеңістік мәселесі (Лейпциг университетінде 4 шілдеде өткен ашылу лекциясы). Оствальдтың Табиғи философия жылнамасы 3 (1903), 1–23 беттер. Жиын теориясындағы дәреже түсінігі. DMV 13 (1904) жылдық есебі, 569–571 беттер. Реттік типтер бойынша зерттеулер I, II, III. Лейпцигтегі Корольдік Саксон ғылымдар қоғамының еңбектері. Математикалық-физикалық сынып 58 (1906), 106–169 беттер. Реттік типтер бойынша зерттеулер IV, V. Лейпцигтегі Корольдік Саксон ғылымдар қоғамының еңбектері. Математикалық-физикалық сынып 59 (1907), 84–159 беттер. Тығыз реттік типтер туралы. DMV 16 (1907) жылдық есебі, 541–546 беттер. Реттелген жиындар теориясының негіздері. Math. Annalen 65 (1908), 435–505 беттер. Соңғы аяқталу бойынша жіктеу. Лейпцигтегі Корольдік Саксон ғылымдар қоғамының еңбектері. Математикалық-физикалық сынып 31 (1909), 295–334 беттер. Жиын теориясы. Veit & Co баспасы, Лейпциг. 476 бет, 53 суретпен. Қайта басылымдар: Chelsea Pub. Co. 1949, 1965, 1978 жылдар. Борель жиындарының қуаты. Math. Annalen 77 (1916), 430–437 беттер. Өлшем және сыртқы өлшем. Math. Annalen 79 (1919), 157–179 беттер. Жартылай үзділіссіз функциялар және олардың жалпыламалары. Math. Zeitschrift 5 (1919), 292–309 беттер. Қосу әдістері және моменттер тізбегі I, II. Math. Zeitschrift 9 (1921), I: 74–109, II: 280–299 беттер. Фурье қатарлары үшін Parseval теоремасын кеңейту. Math. Zeitschrift 16 (1923), 163–169 беттер. Шешімді аралық үшін моменттік мәселелер. Math. Zeitschrift 16 (1923), 220–248 беттер. Жиын теориясы, екінші қайта жөнделген басылым. Walter de Gruyter & Co баспасы, Берлин. 285 бет, 12 суретпен. Гомоморфизмді кеңейту (PDF; 389 кБ) Fundamenta Mathematicae 16 (1930), 353–360 беттер. Жиын теориясы, үшінші басылым. Қосымша тарау және бірнеше қосымшалармен. Walter de Gruyter & Co баспасы, Берлин. 307 бет, 12 суретпен. Қайта басылым: Dover Pub. New York, 1944 жыл. Ағылшын басылымы: Жиын теориясы. J. R. Aumann және басқалар аударған, неміс тілінен. Chelsea Pub. Co., New York 1957, 1962, 1967 жылдар. Сатылы кеңістіктер. (PDF; 1,2 МБ) Fundamenta Mathematicae 25 (1935), 486–502 беттер. Үзділіссіз бейнелеуді кеңейту (PDF; 450 кБ) Fundamenta Mathematicae 30 (1938), 40–47 беттер. Жазылмаған еңбектер. 2 томдық. Ред.: G. Bergmann, Teubner, Stuttgart 1969. Жазылмаған еңбектерден I том 510–543, 545–559, 561–577, II том 578–584, 598–658 парақшаларды (барлық парақшалар факсимилде келтірілген) қамтиды. Хаусдорф реттелген жиындар туралы. Аударған және редакциялаған: Jacob M. Plotkin, American Mathematical Society 2005.

Beiträge zur Wahrscheinlichkeitsrechnung. Proceedings of the Royal Saxon Society for the Sciences at Leipzig. Math. phys. Classe 53 (1901), S. 152–178. Über eine gewisse Art geordneter Mengen. Proceedings of the Royal Saxon Society for the Sciences at Leipzig. Math. phys. Classe 53 (1901), S. 460–475. Das Raumproblem (Inaugural lecture at the University of Leipzig on 4. July 1903). Ostwald's Annals of Natural Philosophy 3 (1903), S. 1–23. Der Potenzbegriff in der Mengenlehre. Annual report of the DMV 13 (1904), S. 569–571. Untersuchungen über Ordnungstypen I, II, III. Proceedings of the Royal Saxon Society for the Sciences at Leipzig. Math. phys.\ Klasse 58 (1906), S. 106–169. Untersuchungen über Ordnungstypen IV, V. Proceedings of the Royal Saxon Society for the Sciences at Leipzig. Math. phys. Klasse 59 (1907), S. 84–159. Über dichte Ordnungstypen. Annual report of the DMV 16 (1907), S. 541–546. Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen. Math. Annalen 65 (1908), S. 435–505. Die Graduierung nach dem Endverlauf. Proceedings of the Royal Saxon Society for the Sciences at Leipzig. Math. phys. Klasse 31 (1909), S. 295–334. Grundzüge der Mengenlehre. Verlag Veit & Co, Leipzig. 476 S. mit 53 Figuren. Further printings: Chelsea Pub. Co. 1949, 1965, 1978. Die Mächtigkeit der Borelschen Mengen. Math. Annalen 77 (1916), S. 430–437. Dimension und äußeres Maß. Math. Annalen 79 (1919), S. 157–179. Über halbstetige Funktionen und deren Verallgemeinerung. Math. Zeitschrift 5 (1919), S. 292–309. Summationsmethoden und Momentfolgen I, II. Math. Zeitschrift 9 (1921), I: S. 74 109, II: S. 280–299. Eine Ausdehnung des Parsevalschen Satzes über Fourierreihen. Math. Zeitschrift 16 (1923), S. 163–169. Momentprobleme für ein endliches Intervall. Math. Zeitschrift 16 (1923), S. 220–248. Mengenlehre, second reworked edition. Verlag Walter de Gruyter & Co., Berlin. 285 S. with 12 figures. Erweiterung einer Homöomorphie (PDF; 389 kB) Fundamenta Mathematicae 16 (1930), S. 353–360. Mengenlehre, third edition. With an additional chapter and several appendices. Verlag Walter de Gruyter & Co., Berlin. 307 S. mit 12 Figuren. Nachdruck: Dover Pub. New York, 1944. Englisch edition: Set theory. Translated from the German by J. R. Aumann et al. Chelsea Pub. Co., New York 1957, 1962, 1967. Gestufte Räume. (PDF; 1,2 MB) Fundamenta Mathematicae 25 (1935), S. 486–502. Erweiterung einer stetigen Abbildung (PDF; 450 kB) Fundamenta Mathematicae 30 (1938), S. 40–47. Nachgelassene Schriften. 2 volumes. Ed. : G. Bergmann, Teubner, Stuttgart 1969. From the Nachlass, Volume I includes fascicles 510–543, 545–559, 561–577, Volume II fascicles 578–584, 598–658 (all fascicles given in facsimile). Hausdorff on Ordered Sets. Trans. and Ed. : Jacob M. Plotkin, American Mathematical Society 2005.

Жинақталған шығармалары

"Хаусдорф басылымы" Е. Брискорн (†), Ф. Хирцебрук (†), В. Пуркерт (барлығы Бонн қаласынан), Р. Реммерт (†) (Мюнстер қаласынан) және Э. Шолц (Вуппертал қаласынан) редакциялаған, сондай-ақ жиырмадан астам математик, тарихшы, философ және ғалымдардың қатысуымен дайындалған. Бұл Солтүстік Рейн-Вестфалия ғылымдар, гуманитарлық ғылымдар және өнер академиясының Хаусдорфтың еңбектерін түсіндірмелермен және көптеген қосымша материалдармен ұсыну бойынша үздіксіз жобасы болып табылады. Томдар Гейдельберг қаласындағы Springer Verlag баспасынан шығарылды. Қазірге дейін тоғыз том жарық көрді, I том IA және IB томдарына бөлінді. Толық ақпарат алу үшін Hausdorff Edition жобасының (неміс тілінде) веб-сайтына кіріңіз. Томдар: IA том: Allgemeine Mengenlehre. 2013, IB том: Феликс Хаусдорф – Пол Монгре (Биография). 2018, II том: Grundzüge der Mengenlehre (1914). 2002, III том: Mengenlehre (1927, 1935); Дескриптивтік Менгенлере және Топология. 2008, IV том: Анализ, алгебра және сандар теориясы. 2001, V том: Астрономия, оптика және ықтималдықтар теориясы. 2006, VI том: Геометрия, кеңістік және уақыт. 2020, VII том: Философиялық еңбектер. 2004, VIII том: Әдеби шығармалар. 2010, IX том: Хабарламалар. 2012.