Феликс Хаусдорф: Жизнь и трагическая судьба математика

Введение

Немецкий математик Феликс Хаусдорф (Felix Hausdorff, произносится /ˈhaʊ̯sˌdɔrf/ HOWSdorf, /ˈhaʊ̯sˌdɔrf/ HOWZdorf; 8 ноября 1868 – 26 января 1942) – немецкий математик, использовавший псевдоним Пол Монгре (Paul Mongré) (à mon gré (фр.) = "по моему вкусу"), которого считают одним из основателей современной топологии и который внес значительный вклад в теорию множеств, описательную теорию множеств, теорию меры и функциональный анализ. Жизнь Хаусдорфа и его семьи стала невыносимой после Кристальной ночи 1938 года. В следующем году он начал предпринимать попытки эмигрировать в Соединенные Штаты, но не смог получить исследовательскую стипендию. 26 января 1942 года Феликс Хаусдорф вместе с женой и сестрой жены совершил самоубийство, приняв передозировку веронала, чтобы избежать перевода в лагерь Эндених и возможных последствий, в которых он не питал иллюзий.

Детство и юность

Отец Хаусдорфа, еврейский купец Луи Хаусдорф (1843–1896), переехал с молодой семьей в Лейпциг осенью 1870 года и со временем работал в различных компаниях, в том числе на фабрике льняных и хлопчатобумажных изделий. Он был образованным человеком и стал Морену в возрасте 14 лет. Он написал несколько трактатов, включая обширный труд о арамейских переводах Библии с точки зрения талмудического права. Мать Хаусдорфа, Хедвиг (1848–1902), которую в различных документах также называют Йоганной, происходила из еврейской семьи Тиц. Из другой ветви этой семьи вышел Герман Тиц, основатель первого универмага и впоследствии совладелец сети универмагов под названием "Герман Тиц". В период нацистской диктатуры название было "арианизировано" до Герти. С 1878 по 1887 год Феликс Хаусдорф учился в школе Святого Николая в Лейпциге, которая славилась как центр гуманитарного образования. Он был отличным учеником, на протяжении многих лет был старостой класса и часто читал на школьных праздниках стихи собственного сочинения на латыни или немецком языке. В старших классах Хаусдорфу было непросто выбрать основной предмет для изучения. Магда Диркесманн, которая часто гостила в доме Хаусдорфа в 1926–1932 годах, сообщила в 1967 году:

Его разносторонний музыкальный талант был настолько велик, что лишь настойчивость отца заставила его отказаться от планов изучать музыку и стать композитором. Он решил изучать естественные науки, и в выпускном классе 1887 года он был единственным, кто получил высший балл.

Степень, докторская степень и абилитация

С 1887 по 1891 год Хаусдорф изучал математику и астрономию, преимущественно в родном городе Лейпциге, с перерывами на один семестр во Фрайбурге (лето 1888) и Берлине (зима 1888/1889). Сохранившиеся свидетельства других студентов описывают его как исключительно разностороннего и любознательного молодого человека, который, помимо математических и астрономических лекций, посещал лекции по физике, химии и географии, а также по философии и истории философии, языкознанию, литературе и общественным наукам. В Лейпциге он посещал лекции по истории музыки музыковеда Оскара Пола. Его ранняя любовь к музыке сохранялась на протяжении всей жизни; в доме Хаусдорфа, по свидетельствам различных участников, проходили впечатляющие музыкальные вечера, за фортепиано играл домовладелец. Еще будучи студентом в Лейпциге, он был поклонником и ценителем музыки Рихарда Вагнера. В последние семестры обучения Хаусдорф был близок к Генриху Брунсу (1848–1919). Брунс был профессором астрономии и директором обсерватории Лейпцигского университета. Под его руководством Хаусдорф в 1891 году завершил работу по теории астрономического преломления света в атмосфере. Последовали две публикации на эту же тему, а в 1895 году он получил степень хабилитированного доктора наук (Habilitation) с диссертацией о поглощении света в атмосфере. Эти ранние астрономические работы Хаусдорфа, несмотря на их безупречную математическую формулировку, в конечном итоге не имели большого значения для научного сообщества. Во-первых, базовая идея Брунса впоследствии оказалась несостоятельной (требовались наблюдения за преломлением вблизи астрономического горизонта, и, как показал Юлиус Баушингер, добиться необходимой точности было невозможно). Во-вторых, прогресс в прямых измерениях атмосферных данных (с помощью подъемов метеозондов) сделал кропотливую точность данных, полученных из наблюдений за преломлением, ненужной. В период между защитой диссертации и получением хабилитации Хаусдорф выполнил годичную воинскую повинность и два года работал вычислителем в обсерватории в Лейпциге.

From 1887 to 1891 Hausdorff studied mathematics and astronomy, mainly in his native city of Leipzig, interrupted by one semester in Freiburg (summer 1888) and Berlin (winter 1888/1889). Surviving testimony from other students depict him as an extremely versatile and interested young man, who, in addition to the mathematical and astronomical lectures, attended lectures in physics, chemistry and geography, and also lectures on philosophy and history of philosophy, as well as on issues of language, literature and social sciences. In Leipzig he attended lectures on the history of music from musicologist Oscar Paul. His early love of music lasted a lifetime; in Hausdorff's home he held impressive musical evenings with the landlord at the piano, according to witness statements made by various participants. Even as a student in Leipzig, he was an admirer and connoisseur of the music of Richard Wagner. In later semesters of his studies, Hausdorff was close to Heinrich Bruns (1848–1919). Bruns was professor of astronomy and director of the observatory at the University of Leipzig. Under his supervision, Hausdorff graduated in 1891 with a work on the theory of astronomical refraction of light in the atmosphere. Two publications on the same subject followed, and in 1895 his Habilitation also followed with a thesis on the absorbance of light in the atmosphere. These early astronomical works of Hausdorff, despite their excellent mathematical formulation, were ultimately of little importance to the scientific community. For one, the underlying idea of Bruns was later shown to not be viable (there was a need for refraction observations near the astronomical horizon, and as Julius Bauschinger would show, this could not be obtained with the required accuracy). And further, the progress in the direct measurement of atmospheric data (from weather balloon ascents) has since made the painstaking accuracy of this data from refraction observations unnecessary. In the time between defending his PhD and his Habilitation, Hausdorff completed his yearlong military requirement, and worked for two years as a human computer at the observatory in Leipzig.

Преподаватель в Лейпциге

После получения абилитации Хаусдорф стал лектором в Лейпцигском университете, где начал преподавать в самых разных областях математики. Помимо преподавания и научных исследований в математике, он также развивал свои литературные и философские наклонности. Будучи человеком широких интересов, он часто общался с известными писателями, художниками и издателями, такими как Герман Конради, Рихард Демель, Отто Эрих Хартлебен, Густав Кирштейн, Макс Клингер, Макс Регер и Фрэнк Ведекинд. Период с 1897 по 1904 год стал пиком его литературного и философского творчества, за это время было опубликовано 18 из 22 его произведений, написанных под псевдонимом, включая сборник стихов, пьесу, книгу по эпистемологии и сборник афоризмов. В 1899 году Хаусдорф женился на Шарлотте Гольдшмидт, дочери еврейского врача Зигизмунда Гольдшмидта. Ее мачехой была известная суфражистка и воспитательница в детском саду Генриетта Гольдшмидт. Единственный ребенок Хаусдорфа, его дочь Ленора (Нора), родилась в 1900 году; она пережила эпоху национал-социализма и прожила долгую жизнь, скончавшись в Бонне в 1991 году.

Первое профессорское место

В декабре 1901 года Хаусдорф был назначен адъюнкт-профессором в Лейпцигском университете. Часто повторяемый факт, что Хаусдорф получил предложение из Геттингена и отклонил его, не может быть подтвержден и, скорее всего, неверен. Рассмотрев заявление Хаусдорфа в Лейпциге, декан Кирхнер почувствовал себя обязанным добавить следующее к весьма положительному заключению коллег, написанному Генрихом Брунсом:

«Факультет, однако, считает своим долгом доложить Королевскому министерству, что вышеупомянутое заявление, рассмотренное 2 ноября сего года на заседании факультета, было принято не единогласно, а 22 голосами против 7. Меньшинство выступило против, поскольку доктор Хаусдорф исповедует мозаическую веру». Эта цитата подчеркивает нескрытый антисемитизм, который особенно резко возрос по всей Германской империи после краха фондового рынка 1873 года. Лейпциг был очагом антисемитских настроений, особенно среди студенчества, что, возможно, и стало причиной того, что Хаусдорф не чувствовал себя комфортно в Лейпциге. Другим фактором, возможно, также был стресс, вызванный иерархическими порядками лейпцигских профессоров. После получения Habilitation Хаусдорф написал другие работы по оптике, неевклидовой геометрии и гиперкомплексным системам чисел, а также две статьи по теории вероятностей. Однако его основной областью работы вскоре стала теория множеств, особенно теория упорядоченных множеств. Изначально Хаусдорф начал изучать работы Георга Кантора лишь из философского интереса, примерно с 1897 года, но уже в 1901 году он начал читать лекции по теории множеств. Его лекции были одними из первых лекций по теории множеств; ранее лекции Эрнста Зермело в Геттингенском колледже проходили зимой 1900/1901 года. В том же году он опубликовал свою первую статью о типах упорядочения, в которой исследовал обобщение полных упорядочений, называемых градуированными типами упорядочения, где линейное упорядочение градуировано, если ни у каких двух его сегментов нет одинакового типа упорядочения. Он обобщил теорему Кантора — Бернштейна, которая гласит, что множество счетных типов упорядочения имеет мощность континуума, и показал, что множество всех градуированных типов одинаковой потенции имеет мощность 2. На летний семестр 1910 года Хаусдорф был назначен профессором Боннского университета. Там он начал курс лекций по теории множеств, который существенно переработал и расширил для летнего семестра 1912 года. Летом 1912 года он также начал работу над своим главным трудом — книгой «Основы теории множеств». Она была завершена в Грайфсвальде, куда Хаусдорф был назначен на летний семестр в качестве полного профессора в 1913 году, и опубликована в апреле 1914 года. Грайфсвальдский университет был самым маленьким из прусских университетов. Математический институт там также был небольшим; летом 1916 года и зимой 1916/17 года Хаусдорф был единственным математиком в Грайфсвальде. Это означало, что он был почти полностью занят преподаванием базовых курсов. Поэтому назначение Хаусдорфа в Бонн в 1921 году стало существенным улучшением его академической карьеры. Там он мог свободно преподавать более широкий круг тем и часто читал лекции о своих последних исследованиях. Особенно примечательной была его лекция по теории вероятностей (NL Hausdorff: Capsule 21: Fasz 64) в летнем семестре 1923 года, в которой он заложил основы теории вероятностей в аксиоматической теории меры, за десять лет до публикации А. Н. Колмогорова «Основные понятия теории вероятностей» (полностью перепечатаны в собрании сочинений, том V). В Бонне Хаусдорф был дружен и сотрудничал с Эдуардом Штуди, а позже с Отто Топлицем, которые оба были выдающимися математиками.

The faculty, however, considers itself obliged to report to the Royal Ministry that the above application, considered on November 2nd of this year when a faculty meeting had taken place, was not accepted by all, but with 22 votes to 7. The minority was opposed, because Dr. Hausdorff is of the Mosaic faith. This quote emphasizes the undisguised antisemitism present, which especially took a sharp upturn throughout the German Reich after the stock market crash of 1873. Leipzig was a focus of antisemitic sentiment, especially among the student body, which may well be the reason that Hausdorff did not feel at ease in Leipzig. Another contributing factor may also have been the stresses due to the hierarchical posturing of the Leipzig professors. After his Habilitation, Hausdorff wrote other works on optics, on non Euclidean geometry, and on hypercomplex number systems, as well as two papers on probability theory. However, his main area of work soon became set theory, especially the theory of ordered sets. Initially, it was only out of philosophical interest that Hausdorff began to study Georg Cantor's work, beginning around 1897, but already in 1901 Hausdorff began lecturing on set theory. His was one of the first ever lectures on set theory; only Ernst Zermelo's lectures in Göttingen College during the winter of 1900/1901 were earlier. That same year, he published his first paper on order types in which he examined a generalization of well orderings called graded order types, where a linear order is graded if no two of its segments share the same order type. He generalized the Cantor–Bernstein theorem, which said the collection of countable order types has the cardinality of the continuum and showed that the collection of all graded types of an idempotent cardinality has a cardinality of 2. For the summer semester of 1910 Hausdorff was appointed as professor to the University of Bonn. There he began a lecture series on set theory, which he substantially revised and expanded for the summer semester of 1912. In the summer of 1912 he also began work on his magnum opus, the book Basics of set theory. It was completed in Greifswald, where Hausdorff had been appointed for the summer semester as full professor in 1913, and was released in April 1914. The University of Greifswald was the smallest of the Prussian universities. The mathematical institute there was also small; during the summer of 1916 and the winter of 1916/17, Hausdorff was the only mathematician in Greifswald. This meant that he was almost fully occupied in teaching basic courses. It was thus a substantial improvement for his academic career when Hausdorff was appointed in 1921 to Bonn. There he was free to teach about wider ranges of topics, and often lectured on his latest research. He gave a particularly noteworthy lecture on probability theory (NL Hausdorff: Capsule 21: Fasz 64) in the summer semester of 1923, in which he grounded the theory of probability in measure theoretic axiomatic theory, ten years before A. N. Kolmogorov's "Basic concepts of probability theory" (reprinted in full in the collected works, Volume V). In Bonn, Hausdorff was friends and colleagues with Eduard Study, and later with Otto Toeplitz, who were both
outstanding mathematicians.

"Великий труд": "Принципы теории множеств"

Согласно прежним представлениям, теория множеств включала не только общую теорию множеств и теорию множеств точек, но и теорию размерности и меры. Учебник Гаусдорфа был первым, в котором вся теория множеств была представлена в этом широком смысле, систематически и с полными доказательствами. Гаусдорф осознавал, как легко человеческий разум может ошибаться, стремясь при этом к строгости и истине, поэтому в предисловии к своей работе он обещает: быть максимально бережливым к человеческому праву на ошибку. Эта книга не только мастерски излагала уже известные понятия, но и содержала ряд важных оригинальных результатов, полученных автором. Первые несколько глав посвящены основным понятиям общей теории множеств. В начале Гаусдорф представляет подробную алгебру множеств с некоторыми новаторскими новыми концепциями: цепочкой различий, кольцами множеств и полями множеств, а также системами. Вводные параграфы о множествах и их связях включают, например, современное теоретико-множественное понятие функции. Главы 3–5 посвящены классической теории кардинальных чисел, типов упорядочения и ординалов, а в шестой главе «Отношения между упорядоченными и вполне упорядоченными множествами» Гаусдорф представляет, среди прочего, наиболее важные результаты своих собственных исследований упорядоченных множеств. В главах о «точечных множествах» — топологических главах — Гаусдорф впервые, основываясь на известных аксиомах окрестности, разработал систематическую теорию топологических пространств, дополнив её аксиомой разделения, впоследствии названной его именем. Эта теория возникла в результате всестороннего синтеза ранних подходов других математиков и собственных размышлений Гаусдорфа о проблеме пространства. Понятия и теоремы классической теории точечных множеств, насколько это возможно, переносятся на общий случай и, таким образом, становятся частью вновь созданной общей, или теоретико-множественной, топологии. Но Гаусдорф не только выполнял эту «переводческую работу», но и разработал основные методы построения топологии, такие как образование ядра (открытое ядро, самоплотное ядро) и образование оболочки (замыкание), а также раскрыл фундаментальную важность понятия открытого множества (называемого им «областью») и понятия компактности, введенного Фреше. Он также основал и развил теорию связных множеств, в частности, путем введения терминов «компонента» и «квазикомпонента». С первой аксиомой счетности Гаусдорфа и, в конечном итоге, второй, рассматриваемые пространства постепенно становились все более специализированными. Большой класс пространств, удовлетворяющих первой аксиоме счетности, — это метрические пространства. Они были введены Фреше в 1906 году под названием «классы (E)». Термин «метрическое пространство» принадлежит Гаусдорфу. В «Принципах» он разработал теорию метрических пространств и систематически обогатил её рядом новых понятий: метрика Гаусдорфа, полнота, полная ограниченность, связность, редуцируемые множества. Работа Фреше не получила широкой известности; только благодаря «Принципам» Гаусдорфа метрические пространства стали общеизвестными среди математиков. Глава об иллюстрациях и заключительная глава «Принципов» о теории меры и интегрирования обогащены общностью материала и оригинальностью изложения. Упоминание Гаусдорфом о важности теории меры для теории вероятностей оказало большое историческое влияние, несмотря на его лаконичность. В этой главе содержится первое корректное доказательство сильного закона больших чисел Эмиля Бореля. Наконец, в приложении содержится самый впечатляющий результат всей книги, а именно теорема Гаусдорфа о невозможности определения объема для всех ограниченных подмножеств. Доказательство основано на парадоксальном разложении шара Гаусдорфа, для которого требуется аксиома выбора. В течение XX века стало общепринятым строить математические теории на аксиоматической теории множеств. Создание аксиоматически обоснованных обобщенных теорий, таких как общая топология, служило, в частности, для выделения общего структурного ядра для различных конкретных случаев или областей, а затем для построения абстрактной теории, которая содержала бы все эти части как частные случаи. Это принесло большой успех в виде упрощения и гармонизации и, в конечном итоге, экономию мысли. Сам Гаусдорф подчеркнул этот аспект в «Принципах». В топологической главе основные понятия являются методологически новаторскими и проложили путь для развития современной математики. «Принципы теории множеств» вышли в свет в апреле 1914 года, накануне Первой мировой войны, которая резко повлияла на научную жизнь в Европе. В этих условиях влияние книги Гаусдорфа на математическую мысль проявилось лишь через пять–шесть лет после её публикации. После войны новое поколение молодых исследователей приступило к расширению обильных предложений, содержащихся в этой работе. Несомненно, топология была в центре внимания. Журнал Fundamenta Mathematicae, основанный в Польше в 1920 году, сыграл особую роль в восприятии идей Гаусдорфа. Это был один из первых математических журналов с особым акцентом на теорию множеств, топологию, теорию вещественных функций, теорию меры и интегрирования, функциональный анализ, логику и основания математики. В этом спектре особое внимание уделялось топологии. «Принципы» Гаусдорфа были упомянуты в самом первом томе Fundamenta Mathematicae, и благодаря количественному анализу цитирований его влияние продолжало расти значительными темпами. Из 558 работ (не включая три работы самого Гаусдорфа), опубликованных в первых двадцати томах Fundamenta Mathematicae с 1920 по 1933 год, 88 из них ссылаются на «Принципы». Следует также учитывать тот факт, что по мере того, как идеи Гаусдорфа становились все более распространенными, они использовались и в ряде работ, которые не цитировали их явно. Русская топологическая школа, основанная Павлом Александровым и Павлом Урысоном, во многом опиралась на «Принципы» Гаусдорфа. Это подтверждается сохранившейся перепиской в архиве Гаусдорфа с Урысоном, а особенно работой Александрова и Урысона «Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes» — работой, по объему сопоставимой с книгой, в которой Урысон развил теорию размерности и «Принципы» цитируются не менее 60 раз. После Второй мировой войны спрос на книгу Гаусдорфа был высоким, и она была переиздана трижды в Chelsea в 1949, 1965 и 1978 годах.

According to previous notions, set theory included not only the general set theory and the theory of sets of points, but also dimension and measure theory. Hausdorff's textbook was the first to present all of set theory in this broad sense, systematically and with full proofs. Hausdorff was aware of how easily the human mind can err while also seeking for rigor and truth, so in the preface of his work he promises:

to be as economical as possible with the human privilege of error. This book went far beyond its masterful portrayal of already known concepts. It also contained a series of important original contributions by the author. The first few chapters deal with the basic concepts of general set theory. In the beginning Hausdorff provides a detailed set algebra with some pioneering new concepts (differences chain, set rings and set fields, and systems). The introductory paragraphs on sets and their connections included, for example, the modern set theoretic notion of functions. Chapters 3 to 5 discussed the classical theory of cardinal numbers, order types and ordinals, and in the sixth chapter "Relations between ordered and well ordered sets" Hausdorff presents, among other things, the most important results of his own research on ordered sets. In the chapters on "point sets"—the topological chapters—Hausdorff developed for the first time, based on the known neighborhood axioms, a systematic theory of topological spaces, where in addition he added the separation axiom later named after him. This theory emerges from a comprehensive synthesis of earlier approaches of other mathematicians and Hausdorff's own reflections on the problem of space. The concepts and theorems of classical point set theory are—as far as possible—transferred to the general case, and thus become part of the newly created general or set theoretic topology. But Hausdorff not only performed this "translation work", but he also developed basic construction methods of topology such as core formation (open core, self dense core) and shell formation (closure), and he works through the fundamental importance of the concept of an open set (called "area" by him) and of the concept of compactness introduced by Fréchet. He also founded and developed the theory of the connected set, particularly through the introduction of the terms "component" and "quasi component". With the first Hausdorff countability axiom, and eventually the second, the considered spaces were gradually further specialized. A large class of spaces satisfying the countable first axiom are metric spaces. They were introduced in 1906 by Fréchet under the name "classes (E)". The term "metric space" comes from Hausdorff. In Principles, he developed the theory of metric spaces and systematically enriched it through a series of new concepts: Hausdorff metric, complete, total boundedness, connectivity, reducible sets. Fréchet's work is not particularly famous; only through Hausdorff's Principles did metric spaces become common knowledge to mathematicians. The chapter on illustrations and the final chapter of Principles on measure and integration theory are enriched by the generality of the material and the originality of presentation. Hausdorff's mention of the importance of measure theory for probability had great historical effect, despite its laconic brevity. One finds in this chapter the first correct proof of the strong law of large numbers of Émile Borel. Finally, the appendix contains the single most spectacular result of the whole book, namely Hausdorff's theorem that one cannot define a volume for all bounded subsets of for The proof is based on Hausdorff's paradoxical ball decomposition, whose production requires the axiom of choice. During the 20th century, it became the standard to build mathematical theories on axiomatic set theory. The creation of axiomatically founded generalized theories, such as general topology, served among other things to single out the common structural core for various specific cases or regions and then set up an abstract theory, which contained all these parts as special cases. This brought a great success in the form of simplification and harmonization, and ultimately brought with itself an economy of thought. Hausdorff himself highlighted this aspect in the Principles. In the topological chapter, the basic concepts are methodologically a pioneering effort, and they paved the way for the development of modern mathematics. Principles of set theory appeared in April 1914, on the eve of the First World War, which dramatically affected scientific life in Europe. Under these circumstances, the effects Hausdorff's book on mathematical thought would not be seen for five to six years after its appearance. After the war, a new generation of young researchers set forth to expand on the abundant suggestions that were included in this work. Undoubtedly, topology was the primary focus of attention. The journal Fundamenta Mathematicae, founded in Poland in 1920, played a special role in the reception of Hausdorff's ideas. It was one of the first mathematical journals with special emphasis on set theory, topology, the theory of real functions, measure and integration theory, functional analysis, logic, and foundations of mathematics. Across this spectrum, a special focus was placed on topology. Hausdorff's Principles was cited in the very first volume of Fundamenta Mathematicae, and through citation counting its influence continued at a remarkable rate. Of the 558 works (Hausdorff's own three works not included), which appeared in the first twenty volumes of Fundamenta Mathematicae from 1920 to 1933, 88 of them cite Principles. One must also take into account the fact that, as Hausdorff's ideas became increasingly commonplace, so too were they used in a number of works that did not cite them explicitly. The Russian topological school, founded by Paul Alexandroff and Paul Urysohn, was based heavily on Hausdorff's Principles. This is shown by the surviving correspondence in Hausdorff's Nachlass with Urysohn, and especially Alexandroff and Urysohn's Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes, a work the size of a book, in which Urysohn developed dimension theory and Principles is cited no fewer than 60 times. After the Second World War there was a strong demand for Hausdorff's book, and there were three reprints at Chelsea from 1949, 1965 and 1978.

Теория множеств, теория измерений и анализ

В 1916 году Александров и Хаусдорф независимо друг от друга решили проблему континуума для множеств Бореля: каждое множество Бореля в полном сепарабельном метрическом пространстве либо счетно, либо имеет кардинальность континуума. Этот результат обобщает теорему Кантора–Бендикссона, утверждающую, что такое утверждение верно для замкнутых множеств. Для линейных множеств Уильям Генри Янг доказал результат в 1903 году, а для множеств Хаусдорф получил соответствующий результат в 1914 году в работе «Принципы». Теорема Александрова и Хаусдорфа стала мощным стимулом для дальнейшего развития описательной теории множеств. Среди публикаций Хаусдорфа, созданных в период его работы в Грайфсвальде, особенно выделяется работа «Размерность и внешняя мера» 1919 года. В этой работе были введены понятия, известные сегодня как мера Хаусдорфа и размерность Хаусдорфа. Она оставалась и остается весьма актуальной, и в последующие годы стала одной из наиболее цитируемых математических работ десятилетия 1910–1920 годов. Понятие размерности Хаусдорфа полезно для характеристики и сравнения «сильно изрезанных объектов». Понятия размерности и внешней меры нашли применение и дальнейшее развитие во многих областях, таких как теория динамических систем, геометрическая теория меры, теория самоподобных множеств и фракталов, теория стохастических процессов, гармонический анализ, потенциальная теория и теория чисел. Значительная аналитическая работа Хаусдорфа была выполнена во время его второго пребывания в Бонне. В работе «Методы суммирования и последовательности моментов I» (1921) он разработал целый класс методов суммирования расходящихся рядов, которые сегодня называются методами Хаусдорфа. В классическом труде Харди «Расходящиеся ряды» целая глава посвящена методу Хаусдорфа. Классические методы Гёльдера и Чезаро оказались частными случаями метода Хаусдорфа. Каждый метод Хаусдорфа задается последовательностью моментов; в этом контексте Хаусдорф дал элегантное решение проблемы моментов для конечного интервала, обойдя теорию цепных дробей. В своей статье «Проблемы моментов для конечного интервала» (1923) он рассмотрел более специальные проблемы моментов, например, те, которые имеют определенные ограничения на порождающую плотность. Критерии разрешимости и определяемости проблем моментов занимали Хаусдорфа на протяжении многих лет, о чем свидетельствуют сотни страниц рукописных заметок в его наследии. Значительным вкладом в развивающуюся область функционального анализа в 1920-х годах стало расширение Хаусдорфом теоремы Рисса-Фишера до пространств в его работе 1923 года «Расширение теоремы Парсеваля о рядах Фурье». Он доказал неравенства, названные в честь него и У. Х. Янга. Неравенства Хаусдорфа–Янга стали отправной точкой для важных новых разработок. Книга Хаусдорфа «Теория множеств» вышла в 1927 году. Она была объявлена вторым изданием «Принципов», но фактически представляла собой совершенно новую книгу. Поскольку масштаб был значительно уменьшен из-за публикации в учебной библиотеке Гошена, большие части теории упорядоченных множеств, теории меры и теории интегрирования были исключены. В предисловии Хаусдорф пишет: «Возможно, читатель пожалеет даже больше, чем об этих исключениях, что для дальнейшей экономии места в теории точечных множеств я отказался от топологической точки зрения, благодаря которой первое издание, по-видимому, приобрело много сторонников, и сосредоточился на более простой теории метрических пространств». На самом деле, это было явным сожалением некоторых рецензентов работы. В качестве своеобразной компенсации Хаусдорф впервые представил современное состояние описательной теории множеств. Этот факт обеспечил книге почти такой же широкий прием, как и «Принципам», особенно в журнале Fundamenta Mathematicae. В качестве учебника она пользовалась большой популярностью. В 1935 году было опубликовано расширенное издание, которое было переиздано Dover в 1944 году. Английский перевод появился в 1957 году с переизданиями в 1962 и 1967 годах. Существует также русское издание (1937), хотя оно было лишь частично точным переводом, а частично переработкой Александрова и Колмогорова. В этом переводе топологическая точка зрения снова вышла на первый план. В 1928 году Ханс Хан написал рецензию на «Теорию множеств», в которой, возможно, учитывал опасность немецкого антисемитизма, когда завершил свою дискуссию следующим предложением:

In 1916, Alexandroff and Hausdorff independently solved the continuum problem for Borel sets: Every Borel set in a complete separable metric space is either countable or has the cardinality of the continuum. This result generalizes the Cantor–Bendixson theorem that such a statement holds for the closed sets of For linear sets William Henry Young had proved the result in 1903, for sets Hausdorff obtained a corresponding result in 1914 in Principles. The theorem of Alexandroff and Hausdorff was a strong impetus for further development of descriptive set theory. Among the publications of Hausdorff in his time at Greifswald the work Dimension and outer measure from 1919 is particularly outstanding. In this work, the concepts were introduced which are now known as Hausdorff measure and the Hausdorff dimension. It has remained highly topical and in later years has been one of the most cited mathematical works from the decade of 1910 to 1920. The concept of Hausdorff dimension is useful for the characterization and comparison of "highly rugged quantities". The concepts of Dimension and outer measure have experienced applications and further developments in many areas such as in the theory of dynamical systems, geometric measure theory, the theory of self similar sets and fractals, the theory of stochastic processes, harmonic analysis, potential theory, and number theory. Significant analytical work of Hausdorff occurred in his second time at Bonn. In Summation methods and moment sequences I in 1921, he developed a whole class of summation methods for divergent series, which today are called Hausdorff methods. In Hardy's classic Divergent Series, an entire chapter is devoted to the Hausdorff method. The classical methods of Hölder and Cesàro proved to be special cases of the Hausdorff method. Every Hausdorff method is given by a moment sequence; in this context Hausdorff gave an elegant solution of the moment problem for a finite interval, bypassing the theory of continued fractions. In his paper Moment problems for a finite interval of 1923 he treated more special moment problems, such as those with certain restrictions for generating density , for instance Criteria for solvability and decidability of moment problems occupied Hausdorff for many years, as hundreds of pages of handwritten notes in his Nachlass attest. A significant contribution to the emerging field of functional analysis in the 1920s was Hausdorff's extension of the Riesz Fischer theorem to spaces in his 1923 work An extension of Parseval's theorem on Fourier series. He proved the inequalities now named after him and W. H. Young. The Hausdorff–Young inequalities became the starting point of major new developments. Hausdorff's book Set Theory appeared in 1927. This was declared as a second Edition of Principles, but it was actually a completely new book. Since the scale was significantly reduced due to its appearance in Goschen's teaching library, large parts of the theory of ordered sets and measures and integration theory were removed. In its preface, Hausdorff writes, "Perhaps even more than these deletions the reader will regret the most that, to further save space in point set theory, I have abandoned the topological point of view through which the first edition has apparently acquired many friends, and focused on the simpler theory of metric spaces". In fact, this was an explicit regret of some reviewers of the work. As a kind of compensation Hausdorff showed for the first time the then current state of descriptive set theory. This fact assured the book almost as intense a reception as Principles, especially in Fundamenta Mathematicae. As a textbook it was very popular. In 1935 there was an expanded edition published, and this was reprinted by Dover in 1944. An English translation appeared in 1957 with reprints in 1962 and 1967. There was also a Russian edition (1937), although it was only partially a faithful translation, and partly a reworking by Alexandroff and Kolmogorov. In this translation the topological point of view again moved to the forefront. In 1928 a review of Set Theory was written by Hans Hahn, who perhaps had the danger of German antisemitism in his mind as he closed his discussion with the following sentence:

Образцовое изложение во всех отношениях сложной и тернистой области, работа, равная тем, которые принесли славу немецкой науке во всем мире, и которой могут гордиться все немецкие математики.

Его последние работы

В 1938 году последняя работа Хаусдорфа «Расширение непрерывного отображения» показала, что непрерывная функция из замкнутого подмножества метрического пространства может быть продолжена на всё пространство (хотя область значений может потребовать расширения). В качестве частного случая, любой гомеоморфизм из может быть продолжен до гомеоморфизма из. Эта работа стала продолжением исследований, начатых ранее. В 1919 году в работе «О полунепрерывных функциях и их обобщениях» Хаусдорф, в частности, привел еще одно доказательство теоремы о продолжении Тице. В 1930 году в работе «Продолжение гомеоморфизма» он показал следующее: пусть – метрическое пространство, – замкнутое подмножество. Если задана новая метрика без изменения топологии, то эту метрику можно продолжить на всё пространство, не меняя топологию. В 1935 году вышла работа «Градированные пространства», в которой Хаусдорф рассматривал пространства, удовлетворяющие аксиомам замыкания Куратовского до аксиомы идемпотентности. Эти пространства часто также называют пространствами замыканий, и Хаусдорф использовал их для изучения связей между пространствами пределов Фреше и топологическими пространствами.

Как Пол Монгре

Здесь представлена лишь подборка эссе, опубликованных в тексте. Сант'Иларио. Мысли о ландшафте Заратустры. Verlag C. G. Naumann, Лейпциг 1897. "Хаос в космическом отборе" — Эскиз критического исследования. Verlag C. G. Naumann, Лейпциг 1898; Переиздание с предисловием Макса Бенсе: Баден-Баден: Agis Verlag 1976. Massenglück und Einzelglück. Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 9 (1), (1898), С. 64–75. "Нечистый век". Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 9 (5), (1898), С. 443–452. Экстазы. Сборник стихов. Verlag H. Seemann Nachf., Лейпциг 1900. "Воля к власти". В: Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 13 (12) (1902), С. 1334–1338. Макс Клингер. Бетховен. Zeitschrift für bildende Kunst, Новая серия 13 (1902), С. 183–189. Sprachkritik Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 14 (12), (1903), С. 1233–1258. "Врач своей чести", Гротеск. В: Die neue Rundschau (Freie Bühne) 15 (8), (1904), С. 989–1013. Новое издание: "Der Arzt seiner Ehre". Комедия в одном акте с эпилогом. С 7 портретами и ксилографиями Ханса Александра Мюллера по рисункам Вальтера Тимана, 10 л., 71 с. Пятое издание Leipziger Bibliophilen Abends, Лейпциг 1910. Новое издание: S. Fischer, Берлин 1912, 88 с.

Как Феликс Хаусдорф

Вклад в теорию вероятностей. Сборник Королевского саксонского общества наук в Лейпциге. Математико-физический класс 53 (1901), S. 152–178. Об определенном виде упорядоченных множеств. Сборник Королевского саксонского общества наук в Лейпциге. Математико-физический класс 53 (1901), S. 460–475. Проблема пространства (Инаугурационная лекция в Лейпцигском университете 4 июля 1903 г.). Annalen der Naturphilosophie Оствальда 3 (1903), S. 1–23. Понятие степени в теории множеств. Годовой отчет DMV 13 (1904), S. 569–571. Исследования о типах упорядочения I, II, III. Сборник Королевского саксонского общества наук в Лейпциге. Математико-физический класс 58 (1906), S. 106–169. Исследования о типах упорядочения IV, V. Сборник Королевского саксонского общества наук в Лейпциге. Математико-физический класс 59 (1907), S. 84–159. О плотных типах упорядочения. Годовой отчет DMV 16 (1907), S. 541–546. Основы теории упорядоченных множеств. Math. Annalen 65 (1908), S. 435–505. Градация по конечному поведению. Сборник Королевского саксонского общества наук в Лейпциге. Математико-физический класс 31 (1909), S. 295–334. Основы теории множеств. Издательство Veit & Co, Лейпциг. 476 с. с 53 рисунками. Переиздания: Chelsea Pub. Co. 1949, 1965, 1978. Мощность борелевских множеств. Math. Annalen 77 (1916), S. 430–437. Размерность и внешняя мера. Math. Annalen 79 (1919), S. 157–179. О полунепрерывных функциях и их обобщениях. Math. Zeitschrift 5 (1919), S. 292–309. Методы суммирования и последовательности моментов I, II. Math. Zeitschrift 9 (1921), I: S. 74–109, II: S. 280–299. Расширение предложения Парсеваля о рядах Фурье. Math. Zeitschrift 16 (1923), S. 163–169. Проблема моментов для конечного интервала. Math. Zeitschrift 16 (1923), S. 220–248. Теория множеств, второе переработанное издание. Издательство Walter de Gruyter & Co., Берлин. 285 с. с 12 рисунками. Erweiterung einer Homöomorphie (PDF; 389 кБ) Fundamenta Mathematicae 16 (1930), S. 353–360. Теория множеств, третье издание. С дополнительной главой и несколькими приложениями. Издательство Walter de Gruyter & Co., Берлин. 307 с. с 12 рисунками. Переиздание: Dover Pub. New York, 1944. Английское издание: Set theory. Перевод с немецкого Дж. Р. Ауманна и др. Chelsea Pub. Co., New York 1957, 1962, 1967. Ступенчатые пространства. (PDF; 1,2 МБ) Fundamenta Mathematicae 25 (1935), S. 486–502. Erweiterung einer stetigen Abbildung (PDF; 450 кБ) Fundamenta Mathematicae 30 (1938), S. 40–47. Неопубликованные работы. 2 тома. Под ред. Г. Бергманна, Teubner, Штутгарт 1969. Из наследия, том I включает в себя фасцикулы 510–543, 545–559, 561–577, том II фасцикулы 578–584, 598–658 (все фасцикулы представлены в факсимиле). Хаусдорф об упорядоченных множествах. Перевод и редакция: Jacob M. Plotkin, American Mathematical Society 2005.

Beiträge zur Wahrscheinlichkeitsrechnung. Proceedings of the Royal Saxon Society for the Sciences at Leipzig. Math. phys. Classe 53 (1901), S. 152–178. Über eine gewisse Art geordneter Mengen. Proceedings of the Royal Saxon Society for the Sciences at Leipzig. Math. phys. Classe 53 (1901), S. 460–475. Das Raumproblem (Inaugural lecture at the University of Leipzig on 4. July 1903). Ostwald's Annals of Natural Philosophy 3 (1903), S. 1–23. Der Potenzbegriff in der Mengenlehre. Annual report of the DMV 13 (1904), S. 569–571. Untersuchungen über Ordnungstypen I, II, III. Proceedings of the Royal Saxon Society for the Sciences at Leipzig. Math. phys.\ Klasse 58 (1906), S. 106–169. Untersuchungen über Ordnungstypen IV, V. Proceedings of the Royal Saxon Society for the Sciences at Leipzig. Math. phys. Klasse 59 (1907), S. 84–159. Über dichte Ordnungstypen. Annual report of the DMV 16 (1907), S. 541–546. Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen. Math. Annalen 65 (1908), S. 435–505. Die Graduierung nach dem Endverlauf. Proceedings of the Royal Saxon Society for the Sciences at Leipzig. Math. phys. Klasse 31 (1909), S. 295–334. Grundzüge der Mengenlehre. Verlag Veit & Co, Leipzig. 476 S. mit 53 Figuren. Further printings: Chelsea Pub. Co. 1949, 1965, 1978. Die Mächtigkeit der Borelschen Mengen. Math. Annalen 77 (1916), S. 430–437. Dimension und äußeres Maß. Math. Annalen 79 (1919), S. 157–179. Über halbstetige Funktionen und deren Verallgemeinerung. Math. Zeitschrift 5 (1919), S. 292–309. Summationsmethoden und Momentfolgen I, II. Math. Zeitschrift 9 (1921), I: S. 74 109, II: S. 280–299. Eine Ausdehnung des Parsevalschen Satzes über Fourierreihen. Math. Zeitschrift 16 (1923), S. 163–169. Momentprobleme für ein endliches Intervall. Math. Zeitschrift 16 (1923), S. 220–248. Mengenlehre, second reworked edition. Verlag Walter de Gruyter & Co., Berlin. 285 S. with 12 figures. Erweiterung einer Homöomorphie (PDF; 389 kB) Fundamenta Mathematicae 16 (1930), S. 353–360. Mengenlehre, third edition. With an additional chapter and several appendices. Verlag Walter de Gruyter & Co., Berlin. 307 S. mit 12 Figuren. Nachdruck: Dover Pub. New York, 1944. Englisch edition: Set theory. Translated from the German by J. R. Aumann et al. Chelsea Pub. Co., New York 1957, 1962, 1967. Gestufte Räume. (PDF; 1,2 MB) Fundamenta Mathematicae 25 (1935), S. 486–502. Erweiterung einer stetigen Abbildung (PDF; 450 kB) Fundamenta Mathematicae 30 (1938), S. 40–47. Nachgelassene Schriften. 2 volumes. Ed. : G. Bergmann, Teubner, Stuttgart 1969. From the Nachlass, Volume I includes fascicles 510–543, 545–559, 561–577, Volume II fascicles 578–584, 598–658 (all fascicles given in facsimile). Hausdorff on Ordered Sets. Trans. and Ed. : Jacob M. Plotkin, American Mathematical Society 2005.

Сборник произведений

"Издание Хаусдорфа" под редакцией Э. Брискорна (†), Ф. Хирцебруха (†), В. Пуркерта (все Бонн), Р. Реммерта (†) (Мюнстер) и Э. Шолца (Вупперталь) при участии более двадцати математиков, историков, философов и исследователей является продолжающимся проектом Северо-Рейн-Вестфальской академии наук, гуманитарных и искусств, направленным на публикацию работ Хаусдорфа с комментариями и обширным дополнительным материалом. Тома издаются издательством Springer Verlag, Гейдельберг. Выпущено девять томов, при этом том I разделен на тома IA и IB. Более подробную информацию можно найти на сайте проекта Hausdorff, на сайте "Издания Хаусдорфа" (на немецком языке). Тома:
Том IA: Общая теория множеств. 2013, Том IB: Феликс Хаусдорф – Поль Монгре (биография). 2018, Том II: Основы теории множеств (1914). 2002,
Том III: Теория множеств (1927, 1935); Дескриптивная теория множеств и топология. 2008,
Том IV: Анализ, алгебра и теория чисел. 2001,
Том V: Астрономия, оптика и теория вероятностей. 2006,
Том VI: Геометрия, пространство и время. 2020, Том VII: Философские работы. 2004,
Том VIII: Литературные произведения. 2010,
Том IX: Переписка. 2012.