Кіріспе

Неміс математигі (1862–1943)

Дэвид Гилберт (23 қаңтар 1862 – 14 ақпан 1943) – неміс математигі және 19-шы ғасырдың соңы мен 20-шы ғасырдың басындағы ең ықпалды математиктердің бірі. Гилберт инварианттар теориясы, вариациялар есебі, коммутативтік алгебра, алгебралық сандар теориясы, геометрияның негіздері, операторлардың спектрлік теориясы және оның интегралдық теңдеулерге қолданылуы, математикалық физика және математиканың негіздері (әсіресе дәлелдеу теориясы) сияқты маңызды идеялардың кең ауқымын ашты және дамытты. Гилберт Георг Кантордың жиын теориясы мен трансфинит сандарын қабылдап, қорғады. 1900 жылы ол 20-шы ғасырдағы математикалық зерттеулерге бағыт берген мәселелер жинағын ұсынды. Гилберт және оның шәкірттері қатаңдық орнатуға үлес қосты және қазіргі математикалық физикада қолданылатын маңызды құралдарды жасады. Гилберт дәлелдеу теориясы мен математикалық логиканың негізін қалаушылардың бірі болды.

Ерте өмір және білім

Гилберт екі баланың біріншісі және округ судьясы Отто мен саудагердің қызы Мария Тереза Гилберттің (қыздығы Эрдтманн) жалғыз ұлы ретінде Пруссия Корольдігінің Пруссия провинциясында, Кенигсбергте (Гилберттің өзінің айтуынша) немесе оның әкесі туған кезде жұмыс істеген Кенигсбергке жақын Вехлауда (1946 жылдан бастап Сзнаменск деп аталады) дүниеге келді. Оның әкесінің әкесі Дэвид Гилберт, судья және Геймрат болған. Анасы Мария философия, астрономия және жай сандарға қызығушылық танытса, әкесі Отто оған пруссиялық құндылықтарды сіңірді. Әкесі қалалық судья болғаннан кейін отбасы Кенигсбергке көшті. Дэвид алты жасында әпкесі Элизе дүниеге келді. Ол сегіз жасында мектепке барып, қалыпты жасқа қарағанда екі жыл кешіккен. 1872 жылдың соңында Гилберт Фридрихсколлед гимназиясына (Collegium fridericianum, 140 жыл бұрын Иммануил Кант оқыған мектеп) түсті; бірақ, ұнамсыз кезеңнен кейін, ол (1879 жылдың соңында) ауысып, (1880 жылдың басында) ғылымға бағытталған Вильгельм гимназиясын бітірді. 1880 жылдың күзінде Гилберт Кенигсберг университетіне, "Альбертинаға" оқуға түсті. 1882 жылдың басында Герман Минковский (Гилберттен екі жас кіші, сондай-ақ Кенигсбергтің тумасы, бірақ үш семестр бойы Берлинде оқыған) Кенигсбергке оралып, университетке түсті. Гилберт ұялшақ, талантты Минковскиймен өмір бойына созылған достық қарым-қатынас орнатты.

Мансап

1884 жылы Адольф Хурвиц Геттингеннен Extraordinarius (яғни доцент) ретінде келді. Үшеуі арасында қарқынды және жемісті ғылыми алмасу басталды, және Минковский мен Хилберт, әсіресе, ғылыми карьераларының әртүрлі кезеңдерінде бір-біріне өзара әсер ететін болды. Хилберт 1885 жылы Фердинанд фон Линдеманның жетекшілігімен жазылған диссертациясын қорғап, докторлық дәрежесін алды. Ол өмірінің соңына дейін сол жерде қалды.

Геттинген мектебі

Гилберттің шәкірттерінің арасында Герман Вейль, шахмат шебері Эммануэль Ласкер, Эрнст Зермело және Карл Густав Гемпель болды. Джон фон Нейман оның ассистенты болды. Геттинген университетінде Гилберттің төңірегінде 20 ғасырдың ең маңызды математиктерінің бірі, мысалы, Эмми Нотер және Алонзо Черч жиналды. Геттингендегі оның 69 докторлық диссертация қорғаған студенттерінің көптегені кейіннен белгілі математиктерге айналды, олардың ішінде (диссертация қорғаған жылы көрсетілген): Отто Блюменталь (1898), Феликс Бернштейн (1901), Герман Вейль (1908), Рихард Курант (1910), Эрих Гекке (1910), Хьюго Штайнхаус (1911) және Вильгельм Аккерман (1925). 1902 жылдан 1939 жылға дейін Гилберт сол кездегі жетекші математикалық журнал – Mathematische Annalen редакторы болды. 1907 жылы ол АҚШ Ұлттық ғылым академиясының халықаралық мүшесі болып сайланды.

Жеке өмір

1892 жылы Хилберт Кенигсберг саудагерінің қызы Кэтэ Йерошкеге (1864–1945) үйленді, ол "Хилберт сияқты тәуелсіз ойлы, ашық сөйлейтін жас әйел" болды. Кенигсбергте тұрғанда олардың жалғыз баласы Франц Хилберт (1893–1969) дүниеге келді. Франц өмірі бойы психикалық аурудан қиналды, ал психиатриялық клиникаға жатқаннан кейін Хилберт: "Енді мен өзімді ұлы жоқ деп есептеуім керек", – деді. Францқа деген оның қатынасы Кэтэге үлкен қайғы келтірді. Хилберт математик Герман Минковскиді өзінің "ең жақсы және адал досы" деп есептеді. Хилберт Пруссия евангелистік шіркеуінде крещениеден өтіп, кальвинистік сенімде тәрбиеленді. Кейін ол шіркеуден шығып, агностик болды. Ол математикалық шындықтың Құдайдың немесе басқа априорлық пікірлердің болуына тәуелсіз екенін де айтты. Галилео Галилейге гелиоцентрлік теория бойынша өз нанымын қорғамағаны үшін сын айтылғанда, Хилберт: "Бірақ [Галилео] ақымақ емес еді. Ғылыми шындыққа шейіт болу қажеттігіне тек ақымақ адам ғана сене алады; мұндай нәрсе дінде қажет болуы мүмкін, бірақ ғылыми нәтижелер өз уақытында өздерін дәлелдейді", – деді.

Кейінгі жылдар

Альберт Эйнштейн сияқты, Гилберттің Берлин тобымен тығыз байланысы болды, оның жетекші негізін қалаушылары Геттингенде Гилбертпен бірге оқыған (Курт Греллинг, Ханс Райхенбах және Уолтер Дубислав). Шамамен 1925 жылы Гилбертке қатерлі анемия дамыды, сол кезде емделмейтін витамин жетіспеушілігі, оның басты белгісі – шаршау; оның ассистенті Юджин Вигнер оны "қатты шаршаған" және "өте қарт сияқты" деп сипаттады, тіпті диагноз қойылып, емделгеніне қарамастан, ол "1925 жылдан кейін ғалым болмады, әрине, Гилберт емес" деді. Гилберт 1932 жылы Америка философиялық қоғамының мүшесі болып сайланды. Гилберт 1933 жылы Геттинген университетінің көптеген көрнекті профессорларын нацистердің тазалауын көрді. Қуылғандардың ішінде Герман Вейл (1930 жылы зейнеткерлікке шыққанда Гилберттің орнына отырған), Эмми Нотер және Эдмунд Ландау болды. Германияны тастауға мәжбүр болған Пауль Бернейс Гилбертпен математикалық логика саласында ынтымақтасып, онымен бірге маңызды «Математика негіздері» (Grundlagen der Mathematik) кітабын жазды (бұл кітап ақырында 1934 және 1939 жылдары екі томдық болып жарық көрді). Бұл 1928 жылы жарық көрген Хилберт-Акерманнның «Математикалық логика принциптері» кітабының жалғасы болды. Герман Вейльдің орнын Гельмут Хассе басты. Шамамен бір жылдан кейін Гилберт бір банкетке қатысып, онда жаңа Білім министрі Бернхард Расттың жанына отырды. Раст: «Математика институты еврейлер кеткеннен кейін шынымен көп зиян шекті ме?» деп сұрады. Гилберт: «Зиян шекті ме? Енді ол жоқ, солай емес пе?» деп жауап берді.

Өлім

1943 жылы Хилберт қайтыс болған кезде нацистер университетті жаңадан қызметкерлермен толыққанды алмастырды, өйткені бұрынғы факультеттің көп бөлігі еврей болған немесе еврейлерге үйленген болатын. Хилберттің қосылу рәсіміне оннан кем адам қатысты, олардың ішінде тек екеуі ғана әріптес ғалымдар еді, солардың ішінде теориялық физик және Кенигсбергтің тумасы Арнольд Зоммерфельд болды. Оның қазасы туралы хабар әлемге ол қайтыс болғаннан кейін бірнеше ай өткен соң ғана жетті. Геттингендегі қабір тасындағы эпитафия 1930 жылғы 8 қыркүйекте Германия ғалымдары мен дәрігерлерінің қоғамына зейнетке шығар алдында айтқан атақты сөзінен тұрады. Бұл сөздер латын нақыл сөзіне жауап ретінде айтылды: "Ignoramus et ignorabimus" немесе "Біз білмейміз және білмейтін болармыз": Хилберт 1930 жылы Германия ғалымдары мен дәрігерлерінің қоғамының жылдық мәжілісінде бұл сөздерді айтқан күні бұрын Курт Гёдель – Қоғамның мәжілістерімен бірлесіп өткізілген Эпистемология конференциясындағы дөңгелек үстел талқылауында өзінің толық еместік теоремасының алғашқы тұжырымын ұсынып, сынақтан өткізді. Гёдельдің толық еместік теоремалары тіпті Пеано арифметикасы сияқты қарапайым аксиоматикалық жүйелердің өзіне қайшы келетінін немесе сол жүйе ішінде дәлелдеуге не жоққа шығаруға болмайтын логикалық тұжырымдарды қамтитынын көрсетеді.

Геометрияның аксиоматизациясы

1899 жылы Гилберт жариялаған «Геометрияның негіздері» (Grundlagen der Geometrie) Евклидтің дәстүрлі аксиомаларын алмастыратын, Гилберт аксиомалары деп аталатын формальды жиынтықты ұсынады. Олар Евклидтің еңбектерінде анықталған кемшіліктерден сақтануға мүмкіндік береді, оның еңбектері сол кезде оқулық ретінде кеңінен қолданылып келді. «Негіздердің» басылым тарихын ескермей, Гилберт қолданған аксиомаларды нақты анықтау қиын, себебі Гилберт оларды бірнеше рет өзгертіп, толықтырған. Бастапқы монографиядан кейін француз тіліне аударма шықты, онда Гилберт V.2, Толықтық аксиомасын қосты. Гилберттің рұқсатымен Е. Дж. Таунсенд 1902 жылы ағылшын тіліне аударма жасап, авторлық құқығын алды. Бұл аударма француз тіліндегі өзгерістерді қамтиды, сондықтан ол 2-ші басылымның аудармасы деп есептеледі. Гилберт мәтінді өзгертуді жалғастырды және неміс тілінде бірнеше басылымдар жарық көрді. 7-ші басылым – Гилберт тірі кезінде шыққан соңғы басылым болды. 7-ші басылымнан кейін де жаңа басылымдар жарық көрді, бірақ негізгі мәтін көбінесе қайта қарастырылмады. Гилберттің тәсілі – қазіргі заманғы аксиоматикалық әдіске көшуді білдірді. Бұл салаға Мориц Паш 1882 жылдан бері жасаған еңбектері үлкен үлес қосты. Аксиомалар өзінен-өзі түсінікті шындықтар ретінде қарастырылмайды. Геометрия бізде күшті сезімдер тудыратын нәрселерді зерттей алады, бірақ анықталмаған түсініктерге нақты мағына берудің қажеті жоқ. Нүкте, түзу, жазықтық және басқа да элементтер, Гилберттің Шенфлайз бен Кёттерге айтқанынша, үстелдермен, орындықтармен, сыра стакандарымен және басқа да заттармен алмастырылуы мүмкін. Маңыздысы – олардың анықталған қарым-қатынастарын қарастыру. Гилберт алдымен анықталмаған түсініктерді тізімдейді: нүкте, түзу, жазықтық, «жайда» (нүктелер мен түзулер, нүктелер мен жазықтықтар, түзулер мен жазықтықтар арасындағы қатынас), аралық орналасу, нүктелер жұбының (кеңіштердің) сәйкес келуі және бұрыштардың сәйкес келуі. Аксиомалар Евклидтің жазық және кеңістіктік геометриясын біртұтас жүйеге біріктіреді.

Формализм

ХХ ғасырдың ортасына қарай қалыпты стандартқа айналған мәліметтер бойынша, Гилберттің проблемалар жинағы сонымен қатар 20 ғасырдағы математиканың үш ірі мектебінің бірі – формалистік мектептің дамуына жол ашқан манифест сияқты нәрсе болды. Формалистерге сәйкес, математика – бұл келісілген формальды ережелер бойынша символдарды өңдеу. Сондықтан ол – дербес ойлау әрекеті. Алайда, Гилберттің жеке пікірлері осы мағынада қарапайым формалистік болды дегенге күмәнді қарауға болады.

Гёдельдің жұмысы

Гилберт пен онымен бірге жұмыс істеген математиктер осы жобаға толық берілді. Оның теориялық белгісіздіктерді жоя алатын, аксиоматикалық математиканы анық принциптермен қолдауға жасаған тырабы сәтсіз аяқталды. Гёдель, егер формальды жүйе өзінің аксиомалары арқылы толықтығын дәлелдей алмайтынын, оның ішінде кемінде арифметиканы қамтитын, қайшылықсыз болса, көрсетті. 1931 жылы оның толымсыздық туралы теоремасы Гилберттің ұлы жоспарының қалыптасқан түрінде мүмкін еместігін көрсетті. Аксиомалар жүйесі шынайы шекті болса, екінші мәселе бірінші мәселемен ешқандай мағыналы түрде біріктірілмейді. Дегенмен, дәлелдеу теориясының кейінгі жетістіктері математиктер үшін маңызды теорияларға қатысты сәйкестіктің мәнін ашты. Гилберттің жұмысы логиканы осы ашықтау жолына бастады; Гёдельдің еңбегін түсіну қажеттілігі 1930 жылдары рекурсия теориясының және содан кейін математикалық логиканың жеке ғылым ретінде дамуына әкелді. Аллонзо Черч пен Алан Тьюрингтің еңбектеріндегі кейінгі теориялық информатиканың негізі де осы "тартыстан" тікелей өркендеді.

Функционалдық талдау

1909 жыл шамасында Хилберт дифференциалдық және интегралдық теңдеулерді зерттеуге кірісті; оның еңбегі қазіргі заманғы функционалдық талдаудың маңызды бөлімдеріне тікелей әсер етті. Осы зерттеулерді жүргізу мақсатында Хилберт шексіз өлшемді Евклид кеңістігін енгізді, кейіннен ол Хилберт кеңістігі деп аталды. Оның талдаудың осы саласындағы жұмысы келесі екі онжылдықта физика математикасына маңызды үлес қосуға негіз болды, бірақ күтпеген бағыттан. Кейін Стефан Банах осы ұғымды дамытып, Банах кеңістіктерін анықтады. Хилберт кеңістіктері – функционалдық талдау саласындағы маңызды объектілер класы, әсіресе, 20 ғасырда оның айналасында дамыған өзіне-өзі қосымша сызықтық операторлардың спектрлік теориясы үшін.

Физика

1912 жылға дейін Гилберт негізінен таза математик болды. Физиканы зерттеп жүрген Бонн қаласына сапарды жоспарлағанда, оның математик әріптесі және досы Герман Минковский Гилбертпен кездесу үшін 10 күн карантинде болу керектігін әзілдеп айтқан. Шындығында, Минковский 1912 жылға дейінгі Гилберттің физикалық зерттеулерінің көп бөлігіне, соның ішінде 1905 жылғы осы тақырыптағы бірлескен семинарға жауапты болған сияқты. 1912 жылы, досының қайтысынан үш жыл өткен соң, Гилберт назарын дерлік толығымен осы салаға бұрды. Ол өзіне "физикадан сабақ беретін оқытушы" іздеді. Ол кинетикалық газ теориясын зерттей бастады, содан кейін элементарлық сәулелену теориясы мен материяның молекулалық теориясына көшті. 1914 жылы соғыс басталғаннан кейін де ол семинарлар мен сабақтарды өткізіп тұрды, онда Альберт Эйнштейннің және басқалардың еңбектері жақыннан қадағаланды. 1907 жылға қарай Эйнштейн гравитация теориясының негіздерін қалыптастырған, бірақ теорияны соңғы түріне келтіруге шамамен 8 жыл бойы күрескен. 1915 жылдың жазында Гилберттің физикаға деген қызығушылығы жалпы салыстырмалылық теориясына ауысты, ол Эйнштейнді Геттингенге осы тақырыпта бір апталық лекция оқуға шақырды. Эйнштейн Геттингенде ыстық қарсылықты күтті. Жаз бойы Эйнштейн Гилберттің өріс теңдеулері бойынша жұмыс істеп жатқанын біліп, өз күшін екі есе арттырды. 1915 жылдың қарашасында Эйнштейн бірнеше мақала жариялады, олардың ең маңыздысы "Гравитацияның өрістік теңдеулері" (Эйнштейннің өрістік теңдеулеріне қараңыз) болды. Сол кезде Гилберт "Физика негіздері" атты еңбек жариялады, онда өріс теңдеулерінің аксиоматикалық туындылануы келтірілген (Эйнштейн-Гилберт әрекетіне қараңыз). Гилберт теорияның бастамашысы ретінде Эйнштейнді толыққанды мойындады және екеуінің өмірінде өріс теңдеулеріне қатысты ешқандай дау туындаған жоқ. Қараңыз: priority. Сонымен қатар, Гилберттің жұмысы кванттық механиканың математикалық тұжырымдамасындағы бірнеше жетістіктерді болжады және оларға көмектесті. Оның еңбегі Герман Вейл мен Джон фон Нейманның Вернер Гейзенбергтің матрицалық механикасы мен Эрвин Шредингердің толқындық теңдеуінің математикалық эквиваленттігі жөніндегі жұмысының маңызды бөлігі болды, ал оның атымен аталған Гилберт кеңістігі квант теориясында маңызды рөл атқарады. 1926 жылы фон Нейман кванттық күйлерді Гилберт кеңістігіндегі векторлар ретінде қарастырса, олар Шредингердің толқындық функция теориясымен де, Гейзенбергтің матрицаларымен де сәйкес келетінін көрсетті. Физикаға терең бойлаған кезде Гилберт физика математикасына қатаңдық енгізуге ұмтылды. Жоғары математикаға қатты тәуелді болғанымен, физиктер көбінесе онымен "шалақұлақ" қарым-қатынас жасады. Гилберт сияқты таза математик үшін бұл жағымсыз және түсіну қиын болды. Физиканы және физиктердің математиканы қалай қолданатынын түсінгеннен кейін, ол осы сала үшін үйлесімді математикалық теорияны жасады – ең маңыздысы интегралдық теңдеулер саласында. Оның әріптесі Ричард Курант қазір классикалық "Математикалық физика әдістері" (Methoden der mathematischen Physik) кітабын жазғанда, Гилберттің кейбір идеяларын қосты, тіпті Гилберт тікелей жазуға үлес қоспағанмен, оның есімін автор ретінде көрсетті. Гилберт "Физика физиктер үшін тым қиын" деген пікірін білдірді, яғни қажетті математика олардың қабілеттерінен асып түседі; ал Курант-Гилберт кітабы олар үшін оны жеңілдетті.

Сандар теориясы

Гилберт алгебралық сандар теориясын өзінің 1897 жылғы "Zahlbericht" (сөзбе-сөз "сандар туралы есеп") трактатымен біріктірді. Ол сонымен қатар 1770 жылы Уэринг тұжырымдаған маңызды сан теориясының мәселесін шешті. Шектілік теоремасындай, ол жауаптарды табу механизмін көрсетудің орнына, мәселенің шешімдері болуы керек екенін көрсететін барлық шешімнің болуын дәлелдеді. Ол бұл тақырыпта көп нәрсе жариялаған жоқ, бірақ студенттің диссертациясында Гилберт модульдік формаларының пайда болуы оның есімін осы маңызды саламен байланыстырды. Ол кластық өріс теориясы бойынша бірнеше болжамдар жасады. Бұл идеялардың өте зор әсері болды, ал оның өзінің үлесі Хилберт кластық өрісінің және жергілікті кластық өріс теориясының Хилберт символының аттарында сақталды. Нәтижелер көбінесе 1930 жылға дейін, Тейджи Такагидің жұмысынан кейін дәлелденді. Гилберт сандардың аналитикалық теориясының негізгі салаларында жұмыс істемеді, бірақ оның есімі анекдоттық себептермен Гилберт-Поля болжамымен байланысты болды. Гилберттің студенті Эрнст Хелингер бірде Андре Вейльге, Гилберттің 1900 жылдардың басындағы семинарында Риман гипотезасының дәлелі симметриялық ядросы бар интегралдық теңдеулер бойынша Фредгольмнің жұмысының салдары болады деп күткенін айтқан екен.

Шығармалары

Оның жинақталған еңбектері (Gesammelte Abhandlungen) бірнеше рет жарық көрді. Оның мақалаларының бастапқы нұсқаларында "әр түрлі деңгейдегі көптеген техникалық қателер" кездесті; жинақ алғаш жарияланғанда қателер түзетілді және теоремалардың тұжырымдамаларында елеулі өзгерістерсіз түзетулер жасау мүмкін болды, континуум гипотезасының дәлелінен басқа. Дегенмен, қателердің саны көп және маңызды болғандықтан, Ольга Тауски Тодд оларды түзетуге үш жыл жұмсады.

Ағылшын тіліндегі негізгі әдебиеттер

1918 жыл. "Аксиомалық ойлау", 1114–1115. 1922 жыл. "Математиканың жаңа негіздері: бірінші баяндама", 1115–1133. 1923 жыл. "Математиканың логикалық негіздері", 1134–1147. 1930 жыл. "Логика және табиғатты білу", 1157–1165. 1931 жыл. "Элементар сандар теориясының негізі", 1148–1156. 1904 жыл. "Логика мен арифметика негіздері", 129–138. 1925 жыл. "Шексіз туралы", 367–392. 1927 жыл. "Математика негіздері", Вейлдің түсініктемесімен және Бернейстің қосымшасымен, 464–489.

Екіншілік әдебиет

, Gallica сайтынан алуға болады. Габриэль Бертранның 1943 жылғы 20 желтоқсандағы Француз академиясындағы "Сөз" - ол жақында қайтыс болған мүшелердің өмірбаянының очерктерін ұсынады, соның ішінде Питер Земан, Дэвид Гильберт және Жорж Жиро. Боттаццини Умберто, 2003 жыл. Гилберт флейтасы. Математика тарихы. UTET, Corry, L., Renn, J. және Stachel, J., 1997, "Хилберт-Эйнштейн басымдық дауындағы кейінірек қабылданған шешім", Science 278: nn nn. Доусон, Джон У. Джуньор, 1997 жыл. Логикалық дилемма: Курт Гёдельдің өмірі мен еңбектері. Уэлсли, Массачусетс: A. K. Peters. Граттан Гиннес, Айвор, 2000 жыл. Математикалық түбірлерді іздеу 1870–1940 жылдар. Принстон университеті Баспасы. Грей, Джереми, 2000 жыл. Гилберт сындырғысы. Мехра, Джагдиш, 1974 жыл. Эйнштейн, Гильберт және гравитация теориясы. Reidel. Пьерджо Одифредди, 2003 жыл. Геометриялық дивертименто. Евклидтен Гильбертке дейінгі логиканың геометриялық бастаулары. Bollati Boringhieri, Евклидтің "қателіктерінің" және «Геометрия негіздері» еңбегінде ұсынылған шешімдердің нақты түсіндірмесі, Евклид емес геометрияға сілтеме жасап. Гильберттің толыққанды ағылшын тіліндегі өмірбаяны. Зиг, Вильфрид және Раваглиа, Марк, 2005 жыл. "Grundlagen der Mathematik" Grattan Guinness, I. (ред.), Батыс математикасының маңызды жазбалары. Elsevier: 981–99. (ағылшын тілінде) Торн, Кип, 1995 жыл. Қара тесіктер және уақыт бұрмалаулары: Эйнштейннің таңғажайып мұрасы. W. W. Norton & Company; қайта басылым. Георг фон Валльвиц: Мырзалар, бұл жуынатын орын емес. Математик 20-ғасырды қалай өзгертті. Berenberg Verlag, Берлин 2017, ISBN 978 3 946334 24 8. Гильберттің толыққанды неміс тіліндегі өмірбаяны.