Кіріспе
Физикадағы сигналдарды өңдеуге қарасты Вигнер үлестіру функциясы
Вигнер квази-ықтималдық үлестірімі (сонымен қатар Вигнер функциясы немесе Евгений Вигнер мен Жан Андре Вильдің есімдерімен аталатын Вигнер-Виль үлестірімі) – квази-ықтималдық үлестірімі. Оны 1932 жылы Евгений Вигнер классикалық статистикалық механиканың кванттық түзетулерін зерттеу үшін енгізді. Мақсаты Шредингер теңдеуінде пайда болатын толқындық функцияны фазалық кеңістіктегі ықтималдық үлестірімімен байланыстыру болды. Бұл белгілі бір кванттық механикалық толқындық функция ψ(x) үшін барлық кеңістіктік автокорреляциялық функциялардың туынды функциясы болып табылады. Осылайша, ол 1927 жылы Герман Вейль енгізген нақты фазалық кеңістік функциялары мен Эрмиттік операторлар арасындағы байланыстағы кванттық тығыздық матрицасына бейнелейді, бұл математикадағы бейнелеу теориясымен байланысты (Вейль квантталуына қараңыз). Фактыде, бұл тығыздық матрицасының Вигнер-Вейль түрлендірілімі, демек, осы оператордың фазалық кеңістікте жүзеге асырылуы. Кейіннен 1948 жылы Жан Виль оны сигналдың жергілікті уақыт-жиілік энергиясының квадраты ретінде қайта туындылады, бұл тиімді спектрограмма. 1949 жылы оны тәуелсіз түрде туындылаған Хосе Энрике Мояль оны кванттық моменттерді тудыратын функционал ретінде таныды, демек, барлық кванттық күту мәндерінің, сонымен қатар кванттық механиканың фазалық кеңістіктегі элегантты кодтамасының негізі ретінде таныды (Фазалық кеңістік формуласына қараңыз). Оның статистикалық механикада, кванттық химияда, кванттық оптикада, классикалық оптикада және электр инженериясы, сейсмология, музыка сигналдарының уақыт-жиілік талдауы, биология және сөйлеу өңдеудегі спектрограммалар, сондай-ақ қозғалтқыш дизайны сияқты әртүрлі салаларда қолданысы бар.
Классикалық механикамен байланысы
Классикалық бөлшектің белгілі бір орны мен импульсі болады, сондықтан ол фазалық кеңістіктегі нүкте арқылы бейнеленеді. Бөлшектер жиынтығын (ансамбльді) қарастыра отырып, фазалық кеңістіктегі белгілі бір позицияда бөлшекті табу ықтималдығы, ықтималдық үлестірімімен, яғни Лиувилл тығыздығымен анықталады. Кванттық бөлшек үшін бұл қатаң түсінік белгісіздік принципіне байланысты қолданылмайды. Оның орнына, жоғарыда аталған квази-ықтималдық Вигнер үлестірімі ұқсас рөл атқарады, бірақ дәстүрлі ықтималдық үлестіріміне тән барлық қасиеттерге ие болмайды; керісінше, классикалық үлестірімдерде кездеспейтін шектілік қасиеттерін қанағаттандырады. Мысалы, Вигнер үлестірімі классикалық аналогы жоқ күйлер үшін теріс мәндер қабылдауы мүмкін, тіпті әдетте қабылдайды және кванттық-механикалық интерференцияның ыңғайлы индикаторы болып табылады. (Вигнер функцияларының теріс емес таза күйлерді сипатталуына төменде қараңыз.) Вигнер үлестірімін ħ-ден үлкен өлшемді сүзгі арқылы тегістеу (мысалы, фазалық кеңістіктегі Гаусс функциясымен жиынтықтастыру, Вейерштрасс түрлендіруі арқылы Хусими бейнелеуін алу үшін), оң жартылай белгілі функцияға әкеледі, яғни ол жартылай классикалық деңгейге дейін жуықтатылған деп есептелуі мүмкін. Мұндай теріс мәнді аймақтардың "кішкентай" екендігі дәлелденеді (оларды кішкентай Гаусс функциясымен жиынтықтастыру арқылы): олар ħ-ден үлкен компактты аймақтарға тарала алмайды, сондықтан классикалық лимитте жоғалады. Олар белгісіздік принципімен қорғалады, ол фазалық кеңістіктегі ħ-ден кіші аймақтарда нақты орналасуға мүмкіндік бермейді, демек, мұндай "теріс ықтималдықтарды" азырақ парадоксалды етеді.
for a quantum particle, due to the uncertainty principle. Instead, the above quasiprobability Wigner distribution plays an analogous role, but does not satisfy all the properties of a conventional probability distribution; and, conversely, satisfies boundedness properties unavailable to classical distributions. For instance, the Wigner distribution can and normally does take on negative values for states which have no classical model—and is a convenient indicator of quantum mechanical interference. (See below for a characterization of pure states whose Wigner functions are non negative.) Smoothing the Wigner distribution through a filter of size larger than ħ (e. g., convolving with a
phase space Gaussian, a Weierstrass transform, to yield the Husimi representation, below), results in a positive semidefinite function, i. e., it may be thought to have been coarsened to a semi classical one. Regions of such negative value are provable (by convolving them with a small Gaussian) to be "small": they cannot extend to compact regions larger than a few ħ, and hence disappear in the classical limit. They are shielded by the uncertainty principle, which does not allow precise location within phase space regions smaller than ħ, and thus renders such "negative probabilities" less paradoxical.
Вигнер функциясының кванттық механикадан тыс қолданылуы
Телескоптар немесе талшықты телекоммуникация құрылғылары сияқты оптикалық жүйелерді модельдеуде Вигнер функциясы қарапайым сәулелерді іздеу мен жүйенің толық толқындық талдауы арасындағы алшақтықты жою үшін қолданылады. Мұнда p/ħ кіші бұрыштағы (параксиалдық) жуықтаумен ауыстырылады. Бұл жағдайда Вигнер функциясы – жүйелерді x позициясы мен θ бұрышындағы сәулелер тұрғысынан сипаттауға ең жақын мүмкіндік, сонымен бірге интерференцияның әсерін де ескереді. Егер ол кез келген нүктеде теріс мәнге ие болса, онда жүйені модельдеу үшін қарапайым сәулелік іздеу жеткіліксіз болады. Яғни, бұл функцияның теріс мәндері – классикалық жарық сигналының Габор шегінің белгісі, ал ħ-мен байланысты жарықтың кванттық қасиеттері емес. Сигналды талдау кезінде уақыт өзгеретін электр сигналы, механикалық діріл немесе дыбыс толқыны Вигнер функциясы арқылы бейнеленеді. Мұнда x уақытпен, ал p/ħ бұрыштық жиілікпен ауыстырылады, мұнда f – тұрақты жиілік. Өте жылдам оптикада қысқа лазерлік импульстер жоғарыда көрсетілгендей f және t алмастыруларын қолдана отырып, Вигнер функциясымен сипатталады. Импульстің ақаулары, мысалы, чирп (уақыт бойынша жиіліктің өзгеруі) Вигнер функциясы арқылы визуализацияланады. Қоса берілген суретті қараңыз. Кванттық оптикада x және p/ħ электр өрісінің нақты және жорамал бөліктері (когерентті күйді қараңыз) болып табылатын X және P квадрураларымен ауыстырылады.
Тарихи мәлімет
Көрсетілгендей, Вигнер функциясының формуласы әртүрлі жағдайларда бірнеше рет тәуелсіз түрде шығарылды. Шын мәнінде, Вигнер кванттық теория аясында да, бұл функция бұрын Хайзенберг пен Дирактың еңбектерінде, тек формальды түрде енгізілгенін білмеген көрінеді: олар екеуі оның маңыздылығын, сондай-ақ теріс мәндерін елемеді, себебі олар оны атом сияқты жүйенің толық кванттық сипаттамасына жуықтау ретінде қарастырды. (Айта кетейік, кейін Дирак Вигнердің қарындасы Мансиге үйленіп, оның қайын інісі болды.) Сол сияқты, 1940 жылдардың ортасында Мояльмен болған 18 айлық хат алмасуының басым бөлігінде Дирак Мояльдің кванттық моменттерді тудыратын функциясының Вигнер функциясы екенін білмеді, және оны оның назарына жеткізген Мояль болды.