Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Математиканың бір саласы – жиындық теориясында, қатты тығыз кардинал – белгілі бір үлкен кардинал. Кардинал κ, егер және тек қана егер әрбір κ-толық сүзгісін κ-толық ультрасүзгіге дейін кеңейтуге болады, онда қатты тығыз болады. Қатты тығыз кардиналдар бастапқыда шексіздік логикасы тұрғысынан анықталды, онда логикалық операторларға шексіз көп аргументтерді қабылдауға рұқсат етіледі. Кәдімгі кардинал κ үшін логика, әр оператордың аргументтерінің саны κ-дан кем болуын талап ету арқылы анықталады; содан кейін κ, егер оның логикасы шекті логиканың тығыздық қасиетінің аналогын қанағаттандырса, қатты тығыз болады. Нақтырақ айтқанда, егер бір мәлімдеме басқа мәлімдемелер жиынтығынан туындайтын болса, онда ол κ-дан кіші кардиналдылығы бар кіші жиынтықтан да туындауы керек. Күшті тығыздық қасиетін, бастапқы мәлімдемелер жиынтығының кардиналдылығы белгілі бір кардинал λ-дан төмен болған жағдайда ғана осы тығыздық қасиетін сақтауды талап ету арқылы әлсіретуге болады; мұндай жағдайда λ-тығыздық деп айтуға болады. Кардинал әлсіз тығыз болады, егер және тек қана егер ол κ-тығыз болса; бұл осы ұғымның бастапқы анықтамасы еді. Қатты тығыздық өлшенуді білдіреді, ал супертығыздық оны білдіреді. Тиісті кардиналдар бар болғандықтан, ZFC жүйесімен сәйкес, алғашқы өлшенетін кардинал қатты тығыз немесе алғашқы қатты тығыз кардинал супертығыз болуы мүмкін; алайда, екеуі де бір уақытта дұрыс бола алмайды. Қатты тығыз кардиналдардың өлшенетін лимиті қатты тығыз болады, бірақ ең кіші лимит супертығыз емес. Қатты тығыздықтың консистенция күші Вуддин кардиналынан қатаң жоғары. Кейбір жиындық теорияшылар қатты тығыз кардиналдың болуы супертығыз кардиналдың болуымен эквиконсистенті екенін болжайды. Алайда, супертығыз кардиналдар үшін канондық ішкі модель теориясы әзірленгенше, дәлелдеу күмәнді. Jech қолжетімсіз кардинал үшін, егер және тек қана егер ол қатты тығыз болса, қолданылатын ағаш қасиетінің нұсқасын алды. Кеңейтілім – күшті тығыздықтың екінші реттік аналогы.
In set theory, a branch of mathematics, a strongly compact cardinal is a certain kind of large cardinal. A cardinal κ is strongly compact if and only if every κ complete filter can be extended to a κ complete ultrafilter. Strongly compact cardinals were originally defined in terms of infinitary logic, where logical operators are allowed to take infinitely many operands. The logic on a regular cardinal κ is defined by requiring the number of operands for each operator to be less than κ; then κ is strongly compact if its logic satisfies an analog of the compactness property of finitary logic. Specifically, a statement which follows from some other collection of statements should also follow from some subcollection having cardinality less than κ. The property of strong compactness may be weakened by only requiring this compactness property to hold when the original collection of statements has cardinality below a certain cardinal λ; we may then refer to λ compactness. A cardinal is weakly compact if and only if it is κ compact; this was the original definition of that concept. Strong compactness implies measurability, and is implied by supercompactness. Given that the relevant cardinals exist, it is consistent with ZFC either that the first measurable cardinal is strongly compact, or that the first strongly compact cardinal is supercompact; these cannot both be true, however. A measurable limit of strongly compact cardinals is strongly compact, but the least such limit is not supercompact. The consistency strength of strong compactness is strictly above that of a Woodin cardinal. Some set theorists conjecture that existence of a strongly compact cardinal is equiconsistent with that of a supercompact cardinal. However, a proof is unlikely until a canonical inner model theory for supercompact cardinals is developed. Jech obtained a variant of the tree property which holds for an inaccessible cardinal if and only if it is strongly compact. Extendibility is a second order analog of strong compactness.